Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał
A
Ćwiczenie 1

W trójkącie nierównoramiennym ABC punkt D jest środkiem boku  AB. Wykaż, że odległości punktów AB od prostej CD są równe.

A
Ćwiczenie 2

Pięciokąt ABCDE jest foremny. Wykaż, że wszystkie przekątne tego pięciokąta są równe.

A
Ćwiczenie 3

Ośmiokąt ABCDEFGH jest foremny. Wykaż, że czworokąt ACEG jest kwadratem.

A
Ćwiczenie 4

Na przekątnej AC równoległoboku ABCD wybrano punkty EF, takie że |AE| = |CF|.
Wykaż, że |BF| = |DE|.

B
Ćwiczenie 5

W trapezie równoramiennym ABCD podstawa AB jest dłuższa od podstawy CD. Na przekątnych ACBD wybrano punkty odpowiednio PQ tak, że AP=13ACBQ=13BD.
Wykaż, że |AQ| = |BP|.

A
Ćwiczenie 6

Na bokach AB, BC, CDDA kwadratu ABCD wybrano takie punkty odpowiednio K, L, MN, że |AK|=3|KB|, |BL|=3|LC|, |CM|=3|MD| i |DN|=3|NA|. Wykaż, że czworokąt KLMN jest kwadratem.

A
Ćwiczenie 7

Na bokach ABBC kwadratu ABCD zbudowano na zewnątrz trójkąty równoboczne AEBBFC.
Uzasadnij, że trójkąt DEF jest równoboczny.

A
Ćwiczenie 8

Czworokąty ABCDAPQR, przedstawione na rysunku, są kwadratami.

R16IDC4CgweOw1

Wykaż, że |BP| = |DR|.

A
Ćwiczenie 9

Na odcinku AC wybrano punkt B różny od końców tego odcinka. Trójkąty ABDBCE są równoboczne.

R1NzAnYZ2dzVT1

Wykaż, że |AE| = |CD|.

A
Ćwiczenie 10

Trójkąty ABCBDE, przedstawione na rysunku, są równoboczne.

R1VjeBq6Lcc8d1

Wykaż, że |AE| = |DC|.

A
Ćwiczenie 11

W trójkącie równoramiennym ABC boki ACBC są równe. Na podstawie AB i ramieniu BC zbudowano trójkąty równoboczne ABKBCL, jak przedstawiono na rysunku.

R1b2mZwNSuRcV1

Wykaż, że AL=CK.

B
Ćwiczenie 12

Na bokach BCCD równoległoboku ABCD zbudowano kwadraty CDEFBCGH. Udowodnij, że |AC| = |FG|.

R16B6App63KuF1
A
Ćwiczenie 13

W trójkącie ostrokątnym ABC na bokach BCAC leżą odpowiednio takie punkty DE, że AD=BE∡ADC=∡BEC=110°. Wykaż, że trójkąt ABC jest równoramienny.

A
Ćwiczenie 14

W trójkącie prostokątnym ABC punkt D leży na przeciwprostokątnej AB. Punkt E jest symetryczny do punktu D względem prostej AC, a punkt F jest symetryczny do punktu D względem prostej BC.

R10MWza3J5J2P1

Wykaż, że punkty C, EF leżą na jednej prostej.

A
Ćwiczenie 15

Na bokach ABCD równoległoboku ABCD zbudowano kwadraty ABKLCDMN.

R163dkJK1Df611

Wykaż, że trójkąty BNKDLM są przystające.

A
Ćwiczenie 16

Na bokach trójkąta równobocznego ABC, przedstawionego na rysunku, zbudowano kwadraty ABDE, CBGHACKL.

R11MMOSAudqCl1

Wykaż, że trójkąt KGE jest równoboczny.

B
Ćwiczenie 17

Na ramionach ACBC trójkąta równoramiennego ABC zbudowano kwadraty ACKLBCMN. Wykaż, że trójkąty MLAKNB są przystające.

RrUdX2IlS94Wo1
B
Ćwiczenie 18

Wewnątrz kwadratu ABCD wybrano takie punkty MN, że trójkąty ABMBCN są równoboczne (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt DNM jest równoboczny.

R1FZL47UiIoSz1
B
Ćwiczenie 19

Na rysunku przedstawiony jest trójkąt prostokątny ABC. Punkt C jest wierzchołkiem kąta prostego. Na bokach ACBC zbudowano kwadraty ACKLCBMN.

Rf3zrlAd4uTZe1

Wykaż, że suma odległości punktów LM od prostej AB jest równa długości przeciwprostokątnej AB.

A
Ćwiczenie 20

Na bokach BCCD równoległoboku ABCD, przedstawionego na rysunku, zbudowano trójkąty równoboczne BCKCDL.

R5UTDwnLs0BWK1

Wykaż, że dwusieczna kąta LAK dzieli odcinek KL na połowy.

B
Ćwiczenie 21

Punkty A, B, C leżą na jednej prostej, a czworokąty ABDEBCFG przedstawione na rysunku są kwadratami.

R1OnWJMISVnAz1

Punkt K jest środkiem odcinka AG, punkt L jest środkiem odcinka DC. Wykaż, że |∡KBL|=90°.

B
Ćwiczenie 22

W trójkącie ostrokątnym ABC kąt przy wierzchołku A ma miarę  45°. Wysokości BDCE tego trójkąta przecinają się w punkcie H.

RGPXHSUExIzoT1

Wykaż, że |AH| = |BC|.

B
Ćwiczenie 23

Trójkąt ABC, przedstawiony na rysunku, jest równoramienny i |AC|= |BC|. Punkty C, B, M są współliniowe.
Na boku AC wybrano punkt N tak, że |AN| = |BM|. Proste NMAB przecinają się w punkcie P. Wykaż, że |NP| = |PM|.

R1TIZxokfATf61
B
Ćwiczenie 24

W prostokącie ABCD, przedstawionym na rysunku, dane są długości boków |AB| = 3|BC| = 1. Punkty EG leżą na boku AB, a punkty FH leżą na boku CD tak, że czworokąty AEFD, EGHFGBCH są kwadratami.

R1QVV1hD9BKGP1

Wykaż, że |AED| + |AGD| + |ABD| = 90°.

B
Ćwiczenie 25

Bok kwadratu ABCD ma długość 1. Punkty MK leżą na bokach odpowiednio BCCD tego kwadratu, przy czym |BAM| = 12° oraz |DAK| = 33°.

RZpmof4feN7S61

Wykaż, że w trójkącie MAK wysokość opuszczona z wierzchołka A na bok MK ma długość 1.