Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał
A
Ćwiczenie 1

A
Ćwiczenie 2

Punkty A, B, leżą na okręgu o środku S. Miara kąta ASC jest równa 120°, a kąt ASB jest prosty (jak na rysunku).

R4EBa8AG6Kxpc1

Wtedy

RTfrAin3N0PZd
A
Ćwiczenie 3

Odcinek AC jest średnicą okręgu o środku S, punkty BD leżą na tym okręgu. Kąty w tym okręgu zaznaczono na rysunku.

R1CuGFMJsWINH1

Zaznacz poprawne stwierdzenie.

R1cUWA7DwUgXC
A
Ćwiczenie 4

Połącz w pary określenie wzajemnego położenia dwóch okręgów z odpowiednimi własnościami tych okręgów.

  1. okręgi są styczne wewnętrznie

  2. okręgi są styczne zewnętrznie

  3. okręgi są rozłączne wewnętrznie (jeden okrąg leży w drugim)

  4. okręgi przecinają się

  5. okręgi są rozłączne zewnętrznie (jeden leży na zewnątrz drugiego)

  1. promienie okręgów są równe r1=2, r2=42-2, a odległość między środkami S1S2=42

  2. promienie okręgów są równe  r1=3+4, r2=53, a odległość między środkami S1S2=43

  3. promienie okręgów są równe r1=2, r2=7 ,a odległość między środkami S1S2=10

  4. promienie okręgów są równe, r1=2, r2=5, a odległość między środkami S1S2=1

  5. promienie okręgów są równe r1=3-2, r2=2+2, a odległość między środkami S1S2=1

A
Ćwiczenie 5
  1. Trzy okręgi, każdy o promieniu 1, są styczne zewnętrznie każdy do każdego. Okręgi wpisano w prostokąt, jak na rysunku. Oblicz długość boków tego prostokąta.

    R1Xsb5FEc2Nxj1

  2. Trzy okręgi, każdy o promieniu 1, są parami styczne zewnętrznie. Każdy z tych okręgów jest wewnętrznie styczny do czwartego okręgu, jak na rysunku. Uzasadnij, że  promień czwartego okręgu jest równy 1+233.

    RduiFKEbEjgJR1

A
Ćwiczenie 6

Poprowadzono styczne do okręgu o środku S, w punktach AB, które przecięły się w punkcie O. Odcinek AO ma długość 12. Przez punkt C, leżący na krótszym z łuków AB, poprowadzono styczną do okręgu, która przecina odcinki OAOB w punktach DE (jak na rysunku). Oblicz obwód trójkąta DEO.

RsfK2mpEASBo51
A
Ćwiczenie 7

W okręgu o promieniu 13 poprowadzono cięciwę długości 24. Oblicz odległość środka okręgu od tej cięciwy.

A
Ćwiczenie 8

Na rysunku jest przedstawiony kąt o wierzchołku O oraz okrąg o środku S i promieniu 4, styczny w punktach AB do ramion tego kąta.

RnQ22htkeGZyT1

Wtedy

R1MdfPbucdPkX
A
Ćwiczenie 9

Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny ABC jest styczny do przeciwprostokątnej AB w punkcie D takim, że |AD|=4|BD|=21. Suma długości przyprostokątnych tego trójkąta jest równa 31. Wtedy

RMm3PQ9jPz3Xn
A
Ćwiczenie 10

Dany jest prostokąt ABCD. Okręgi o średnicach ABAD przecinają się w punktach AP. Wykaż, że punkty B, PD leżą na jednej prostej.

RsQ3Si7TBwCDS1
B
Ćwiczenie 11
  1. Odległość środków dwóch kół jest równa 2 i promień każdego z nich jest równy 2. Oblicz pole części wspólnej tych kół.

    RHtfG26XLrDTm1

  2. W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 68. Trzy półokręgi, których średnicami są boki tego trójkąta, wyznaczają figurę zaznaczoną na rysunku (są to tzw. księżyce Hipokratesa). Oblicz pole tej figury.

    R83JuQf47sfZO1

A
Ćwiczenie 12

Odcinek AB jest średnicą okręgu o środku O. Punkt C leży na tym okręgu. Punkty D, EF leżą na okręgu o środku S.

Rln1OhH0rsQMW1
R181RuKMgFgP61

Wówczas

R9oKfoQhPzTlK
A
Ćwiczenie 13

Punkty A, B, C leżące na okręgu o środku S są wierzchołkami trójkąta równobocznego. Miara kąta SAB jest równa

RFg44VCg6sbz0
A
Ćwiczenie 14

Pole wycinka koła o promieniu 3 i kącie 40° jest równe

R1YeVxOEfvwn6
A
Ćwiczenie 15

Odległość środków S1S2 dwóch przecinających się okręgów jest równa 17. Promienie tych okręgów mogą być równe

R9MtoeX3SYnN8
A
Ćwiczenie 16

Kąt środkowy i kąt wpisany oparte są na tym samym łuku okręgu. Wynika z tego, że miara kąta środkowego jest większa od miary kąta wpisanego o

R6dUhnClv6h5B
A
Ćwiczenie 17

Kąt środkowy, oparty na łuku stanowiącym 518 długości okręgu, ma miarę

R8nYaQlF0I18z
A
Ćwiczenie 18

Dwa okręgi o promieniach 35 są zewnętrznie styczne. Każdy z nich jest styczny wewnętrznie do okręgu o promieniu 10. Środki tych wszystkich trzech okręgów tworzą trójkąt, którego obwód jest równy

Rf4wHoflo2vn9
A
Ćwiczenie 19

Środek okręgu o promieniu 10 jest oddalony od cięciwy AB tego okręgu o 6. Długość tej cięciwy jest równa

RBd1XUeP5KNeJ
A
Ćwiczenie 20

Dane są trzy okręgi o środkach S1, S2, S3 i promieniu 4. Każdy z tych okręgów przechodzi przez środki dwóch pozostałych.

R1EkHUffdVTNi1

Pole zacienionej figury (zwanej trójkątem Rellaux) jest równe

RLWxHQjvjNSZr
A
Ćwiczenie 21

Odległość między środkami stycznych wewnętrznie okręgów o promieniach rR jest równa 7. Odległość między środkami stycznych zewnętrznie okręgów o promieniach rR jest równa 23. Promienie rR mają długości

RWgBXU7aA6cGT
A
Ćwiczenie 22

Dany jest okrąg o środku S i promieniu 17 oraz dwie równoległe cięciwy tego okręgu, każda o długości 30. Oblicz odległość między tymi cięciwami.

A
Ćwiczenie 23

Okrąg wpisany w  trójkąt ABC jest styczny do jego boków w punktach D, EF tak, jak pokazano na rysunku. Długości odcinków BE, CFAD są równe BE=10, CF=5 oraz AD=6. Oblicz obwód trójkąta ABC.

RFULyNbvmJzHV1
A
Ćwiczenie 24

Punkty AB leżą na okręgu o środku S. Kąt środkowy ASB ma miarę 110°. Oblicz miarę kąta, pod jakim przecinają się styczne do tego okręgu poprowadzone przez punkty AB.

A
Ćwiczenie 25

Na okręgu koła o promieniu 5 leżą punkty A, B, C (patrz rysunek). Oblicz pole zacieniowanego odcinka koła.

RrYHDRrhuuK8S1
A
Ćwiczenie 26

Dwa okręgi o promieniach 26 są styczne zewnętrznie, a także są styczne do ramion kąta (patrz rysunek). Oblicz odległości środków tych okręgów od wierzchołka kąta.

R1R4en4O5aEcR1
A
Ćwiczenie 27

Dwa okręgi o promieniach 513 są współśrodkowe. Oblicz długość cięciwy większego okręgu, która jest styczna do mniejszego okręgu.

A
Ćwiczenie 28

Do okręgu o promieniu 8 poprowadzono styczne odpowiednio w punktach AB. Styczne te przecinają się w punkcie O. Długości odcinków AOBO tych stycznych są równe 15. Oblicz długość odcinka AB.

A
Ćwiczenie 29

W okręgu o środku S dane są kąty środkowe ASB oraz BSC takie, że ∢ASB=32° oraz ∢BSC=70°. Oblicz miary kątów trójkąta ABC.

B
Ćwiczenie 30

Dane są dwa okręgi: pierwszy o środku S1 i promieniu 2, a drugi o środku S2 i promieniu 6. Odległość między środkami tych okręgów jest równa 10. Wspólna styczna do tych okręgów przecina prostą S1S2 w punkcie O. Oblicz długości odcinków S1OS2O . Rozważ dwa przypadki.

B
Ćwiczenie 31

Trzy okręgi o środkach A, B, C i promieniach odpowiednio równych 2, 3, 10 są parami styczne zewnętrznie. Punktami styczności są punkty D, E, F. Wykaż, że okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny do jego boków w punktach D, E, F.

R1SUcJbNKZ5Vl1