Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał

Przypomnijmy pojęcia, które wprowadziliśmy w poprzednim rozdziale.

Funkcja kwadratowa zmiennej x
Definicja: Funkcja kwadratowa zmiennej x

Funkcją kwadratową zmiennej x nazywamy funkcję określoną wzorem

fx=ax2+bx+c,

gdzie a, b oraz c to liczby rzeczywiste, przy czym liczba a jest różna od zera.
Powyższy wzór funkcji kwadratowej nazywamy jej postacią ogólną.

  • Wzór funkcji kwadratowej możemy też zapisać w postaci kanonicznej

fx=ax-p2+q,

gdzie a, p oraz q to liczby rzeczywiste i a0.

Pokażemy, że istnieją ścisłe zależności między wartościami współczynników występujących we wzorach funkcji kwadratowej zapisanych w postaci ogólnej i w postaci kanonicznej.

Funkcja kwadratowa w postaci kanonicznej i ogólnej
Twierdzenie: Funkcja kwadratowa w postaci kanonicznej i ogólnej

Każdą funkcję kwadratową można zapisać w postaci ogólnej fx=ax2+bx+c lub w równoważnej postaci kanonicznej f(x)=ax-p2+q, gdzie p=-b2aq=-Δ4a.
Symbolem (delta) oznaczyliśmy liczbę Δ=b2-4ac, którą nazywamy wyróżnikiem funkcji kwadratowej f.

Dowód

Zauważmy, że po rozwinięciu wyrażenia x-p2, postać kanoniczną funkcji f możemy zapisać jako

fx=ax2-2px+p2+q,

stąd

fx=ax2-2apx+ap2+q.

Aby dla każdego x zachodziła równość

ax2-2apx+ap2+q=ax2+bx+c

potrzeba i wystarcza, żeby równe były współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej x. Zatem
-2ap=b oraz ap2+q=c, stąd p=-b2aq=c-a-b2a2=c-ab24a2=c-b24a=4ac-b24a. Przyjmując oznaczenie Δ=b2-4ac, otrzymujemy q=-Δ4a.
Należy zauważyć, że do przekształcenia wzoru funkcji kwadratowej z postaci ogólnej do kanonicznej można też zastosować wzór skróconego mnożenia (tę metodę stosowaliśmy w kilku poprzednich przykładach). Przekształcamy wtedy według poniższego schematu

fx=ax2+bx+c=ax2+bax+c=ax+b2a2-b24a2+c=
=ax+b2a2-b24a+c=ax+b2a2-b2-4a24a=ax+b2a2-Δ4a.
i6DI3bt4cP_d5e198
Przykład 1

Zapiszemy w postaci kanonicznej funkcję

  1. fx=x2-14x+25 
    Odczytujemy: a=1, b=-14, c=25, stąd p=--1421=7. Obliczamy wyróżnik
    Δ=-142-4125=96.A więc q=-9641=-24. Zatem postacią kanoniczną tej funkcji jest fx=x-72-24.
    Zauważmy, że ten wynik można otrzymać, przekształcając wzór funkcji f jak poniżej
    fx=x2-14x+25=x2-14x+49-49+25=x-72-24.

  2. gx=2x2+8x+11 
    Odczytujemy: a=2, b=8, c=11, stąd p=-822=-2. Obliczamy wyróżnik
    Δ=82-4211=-24.Zatem q=--2442=3. Postacią kanoniczną tej funkcji jest gx=2x+22+3.
    Wynik ten można otrzymać, przekształcając wzór jak poniżej
    gx=2x2+8x+11=2x2+4x+4-8+11=2x+22+3.

  3. hx=-x2+6x+7
    Odczytujemy: a=-1, b=6, c=7, stąd p=-62-1=3. Obliczamy wyróżnik
    Δ=62-4-17=64.Zatem q=-644-1=16. Postacią kanoniczną tej funkcji jest więc hx=-x-32+16.
    Wzór ten można otrzymać w wyniku następujących przekształceń:
    gx=-x2+6x+7=-x2-6x+9+9+7=-x-32+16.

  4. kx=-3x2+5x-4 
    Odczytujemy: a=-3, b=5, c=-4, stąd p=-52-3=56. Obliczamy wyróżnik
    Δ=52-4-3-4=-23.Zatem q=--234-3=-2312. Postacią kanoniczną tej funkcji jest
    kx=-3x-562-2312.

Przykład 2
RBmNWayeQ6ux91
Animacja prezentuje wzory różnych funkcji kwadratowych. W kolejnych krokach należy odczytać ze wzoru wartość współczynnika a, obliczyć współrzędne wierzchołka paraboli, podać wartość najmniejszą i największą funkcji, zbiór wartości oraz narysować oś symetrii podać monotoniczność funkcji i narysować jej wykres. Wykres funkcji rysowany jest w układzie współrzędnych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.