Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał

Zadania tekstowe z zastosowaniem równań wymiernych

W poniższych przykładach prezentujemy zadania tekstowe dotyczące pracy i czasu potrzebnego na jej wykonanie.
Praca to miara wysiłku włożonego w wytworzenie danego dobra.
Efektem pracy jest pewna wartość ekonomiczna. W poniższych zadaniach jest to najczęściej towar lub usługa.
Wydajność pracy to wartość produkcji wytworzonej w określonym czasie (najczęściej w jednostce czasu, np. w ciągu jednego dnia, w ciągu jednej godziny).

Przykład 1

Dwa różne automaty wykonują razem daną pracę w ciągu 5 godzin. Gdyby pierwszy automat pracował sam 3 godziny, a następnie drugi pracował sam przez 6 godzin, to wykonałyby razem 70% całej pracy. W ciągu ilu godzin każdy automat wykonuje całą pracę samodzielnie?
Oznaczmy:

  • przez x – czas, w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko pierwszy automat,

  • przez y – czas, w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko drugi automat.

Ponieważ w ciągu godziny pierwszy automat wykonuje 1x całej pracy, drugi – 1y całej pracy, a razem wykonują całą pracę w ciągu 5 godzin, to

1x+1y=15

W ciągu 3 godzin pierwszy automat wykonuje 3x całej pracy, a drugi w ciągu 6 godzin wykonuje 6y całej pracy.
Ponadto po 3 godzinach samodzielnej pracy pierwszego automatu i po 6 godzinach samodzielnej pracy drugiego automatu wykonane zostanie 70% całej pracy, zatem

3x+6y=710

Wówczas

1y=15-1x

więc

3x+615-1x=710

Po rozwiązaniu otrzymanego równania mamy x=6, stąd y=30.
Odpowiedź. Pierwszy automat – 6 godzin, drugi automat – 30 godzin.

Przykład 2

Dwa różne automaty wykonują pewną pracę. Gdyby pierwszy automat pracował sam przez 3,5 godziny, to do zakończenia pracy musiałyby razem pracować jeszcze przez 4,5 godziny. Drugi automat pracujący samodzielnie wykonuje tę pracę w czasie o 7 godzin krótszym niż pierwszy automat pracujący samodzielnie. W ciągu ilu godzin każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę pracę?
Szkic. Oznaczmy przez x – czas, w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko pierwszy automat. Wtedy x-7 to czas, w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko drugi automat.
Stąd

3,5x+4,51x+1x-7=1

co prowadzi do równania

2x2-39x+112=0

Tylko jedno rozwiązanie (x=16) otrzymanego równania spełnia warunki zadania.
Odpowiedź. Pierwszy automat – 16 godzin, drugi automat – 9 godzin.

Przykład 3

Dwa automaty wykonały pewną pracę, pracując kolejno: najpierw tylko pierwszy, potem tylko drugi. Pierwszy automat pracował wtedy 5/9 tego czasu, w którym drugi automat może wykonać całą pracę.
Gdyby oba automaty pracowały razem, to wówczas wykonałyby całą pracę w czasie o 6 godzin i 40 minut krótszym, przy czym pierwszy automat wykonałby 45 pracy, którą wykonałby wówczas drugi.
W jakim czasie każdy z automatów może wykonać tę pracę samodzielnie?
Oznaczmy:

  • przez x – czas (w godzinach), w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko pierwszy automat,

  • przez y – czas (w godzinach), w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko drugi automat.

Ponieważ w ciągu wspólnej pracy godziny I automat wykonuje 45 tego, co wykonuje drugi, to y=45x.
W ciągu godziny pierwszy automat wykonuje 1x całej pracy, drugi – 1y całej pracy.
Zatem kiedy automaty pracowały jedne po drugim, to pierwszy automat wykonał 59y1x=5945x1x=49 całej pracy.
Wobec tego drugi automat pracował wtedy przez 59y godzin, czyli cała praca została wykonana w ciągu 59y+59y=109y godzin.
Stąd gdyby oba automaty pracowały razem, to pracowałyby przez 109y-203 godzin. Ponieważ wtedy wykonałyby całą pracę, to

109y-2031x+1y=1
10945x-2031x+145x=1
8x-60994x=1
8x-60=4x

x=15.
Odpowiedź. I automat – 15 godzin, II automat – 12 godzin.

Przykład 4

Dwa różne automaty wykonują razem zadaną pracę w ciągu 5 godzin. Gdyby pierwszy automat pracował sam 3 godziny, a następnie drugi pracował sam przez 6 godzin, to wykonałyby razem 70% całej pracy. W ciągu ilu godzin każdy automat wykonuje całą pracę samodzielnie?
Oznaczmy

  • przez x – czas, w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko I automat,

  • przez y – czas, w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko II automat.

Ponieważ w ciągu godziny I automat wykonuje 1x całej pracy, drugi – 1y całej pracy, a razem wykonują całą pracę w ciągu 5 godzin, to

1x+1y=15

W ciągu 3 godzin I automat wykonuje 3x całej pracy, a drugi w ciągu 6 godzin wykonuje 6y całej pracy.
Ponadto po 3 godzinach samodzielnej pracy I automatu i po 6 godzinach samodzielnej pracy II automatu wykonane zostanie 70% całej pracy, zatem

3x+6y=710

Wówczas

1y=15-1x

więc

3x+615-1x=710

Po rozwiązaniu otrzymanego równania dostajemy x=6, skąd y=30.
Odpowiedź. I automat – 6 godzin, II automat – 30 godzin.

Przykład 5

Automat wykonał 720 detali, pracując na niższym poziomie wydajności. Gdyby przestawić ten automat na wyższy poziom wydajności, to w ciągu godziny będzie wykonywał o 40 detali więcej i  wtedy wykona 720 detali, pracując o 54 minuty krócej.
W ciągu ilu godzin ten automat wykonał 720 detali?
Rozwiązanie.

xy=720x-910y+40=720

stąd 10x2-9x-162=0, x=412 (x=-335 nie spełnia).
Odpowiedź. 4,5 godziny.

Przykład 6

Dwa automaty, pracując jednocześnie wykonały pewną liczbę detali. Aby wykonać taką liczbę detali, pracując samodzielnie pierwszy automat musiałby pracować 3 razy dłużej, a drugi – o 1 godzinę dłużej.
W jakim czasie każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę liczbę detali?
Rozwiązanie.

13x+1x+1=1x,

stąd 23x=1x+1x=2.
Odpowiedź. I: 4 godziny, II: 12 godzin.

iezjqGA4u8_d5e282
A
Ćwiczenie 1

Do wykonania pewnej liczby detali można użyć każdego z dwóch automatów. Oba automaty, pracując jednocześnie, wykonałyby tę liczbę detali w ciągu 4 godzin. Gdyby pierwszy pracował samodzielnie przez 5 godzin, to aby wykonać wymaganą liczbę detali oba automaty musiałby pracować jeszcze przez 3 godziny.
W jakim czasie każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę liczbę detali?

A
Ćwiczenie 2

Do wykonania pewnej liczby detali można użyć każdego z dwóch automatów. Oba automaty, pracując jednocześnie, wykonałyby tę liczbę detali w ciągu 6 godzin. Gdyby pracowały kolejno: najpierw pierwszy samodzielnie wykonał połowę detali, a następnie drugi również samodzielnie dokończył pracę, to wymaganą liczbę detali wykonałyby przez 16 godzin.
W jakim czasie każdy z tych automatów może samodzielnie wykonać tę liczbę detali?

A
Ćwiczenie 3

Dwa automaty, pracując razem, wykonały pewną pracę w ciągu 3 godzin. Gdyby pracowały kolejno i najpierw tylko pierwszy wykonał połowę pracy, a następnie tylko drugi wykonał resztę, to wykonałyby całą pracę w ciągu 8 godzin. W ciągu ilu godzin każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę pracę?

A
Ćwiczenie 4

Dwa automaty wykonały pewną pracę, pracując kolejno: najpierw tylko pierwszy, potem tylko drugi. Pierwszy automat pracował wtedy 5/6 tego czasu, w którym drugi automat może wykonać całą pracę.
Gdyby oba automaty pracowały razem, to wówczas wykonałyby całą pracę w czasie o 8 i pół godziny krótszym, przy czym pierwszy automat wykonałby 3/5 tego, co wykonałby wówczas drugi. W jakim czasie każdy z automatów może wykonać tę pracę samodzielnie?

A
Ćwiczenie 5

Dwa różne automaty wykonały pewną liczbę detali, przy czym pierwszy automat najpierw przez godzinę pracował sam, a następnie oba razem pracowały jeszcze przez pewien czas. Po trzech godzinach od momentu rozpoczęcia pracy pierwszego automatu wykonano 45% całej pracy, a po jej zakończeniu okazało się, że każdy z automatów wykonał po tyle samo detali. W ciągu ilu godzin każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę liczbę detali?

A
Ćwiczenie 6

Dwa różne automaty mają wykonać pewną pracę. Gdyby pierwszy automat pracował sam przez półtorej godziny, to do zakończenia pracy musiałyby pracować razem jeszcze przez 5,5 godziny. Pierwszy automat pracujący samodzielnie wykonuje tę pracę w czasie o 3 godziny dłuższym niż drugi automat pracujący samodzielnie. W ciągu ilu godzin każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę pracę?

A
Ćwiczenie 7

Dwa różne automaty wykonują razem pewną pracę w ciągu 2 godzin. Pierwszy automat, pracując samodzielnie, potrzebuje na wykonanie tej pracy o 3 godziny mniej niż drugi automat pracujący samodzielnie. W ciągu ilu godzin każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę pracę?

A
Ćwiczenie 8

Trzy różne automaty, pracując razem, wykonały pewną pracę. Gdyby każdy z tych automatów miał wykonać tę pracę sam, to pierwszy wykonałby ją w czasie o 1 godzinę dłuższym, drugi – w czasie o 17 godzin dłuższym, a trzeci – w czasie o 27 godzin dłuższym, niż gdy wykonały tę pracę razem. W ciągu ilu godzin każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę pracę?

A
Ćwiczenie 9

Trzy różne automaty, pracując razem, wykonały pewną pracę. Gdyby każdy z tych automatów miał wykonać tę pracę sam, to pierwszy wykonałby ją w czasie o 2 godziny dłuższym, drugi – w czasie o 4 godziny dłuższym, a trzeci – w czasie o 10 godzin dłuższym, niż wtedy gdy wykonały tę pracę razem. W ciągu ilu godzin każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę pracę?

A
Ćwiczenie 10

Trzy różne automaty, pracując razem, wykonały pewną pracę. Gdyby każdy z tych automatów miał wykonać tę pracę sam, to pierwszy wykonałby ją w czasie o 1 godzinę dłuższym, drugi – w czasie o 7 godzin dłuższym, a trzeci – w czasie o 16 godzin dłuższym, niż wtedy gdy wykonały tę pracę razem. W ciągu ilu godzin każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę pracę?