Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał
Przykład 1

Dane są punkty A=(-1,1)B=(5,-1). Wyznacz równanie symetralnej odcinka AB.
Pokażemy dwa sposoby rozwiązania tego zadania.

  • sposób I

Symetralna odcinka jest prostą prostopadłą do tego odcinka i przechodzącą przez jego środek
Współrzędne S środka odcinka o końcach w punktach A=(-1,1)B=(5,-1) są równe
xS=-1+52=2yS=1-12=0, czyli S=(2,0).
Współczynnik kierunkowy prostej AB jest równy

a=-1-15+1=-13.

Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej jest więc równy a1=3. Zatem symetralną można opisać równaniem

y=3x+b.

Punkt S=(2,0) leży na symetralnej. Po podstawieniu współrzędnych punktu S do równania otrzymujemy 0=32+b, czyli b=-6.
Równanie symetralnej ma postać y=3x-6.

  • sposób II

Z własności symetralnej odcinka wynika, że każdy punkt P leżący na symetralnej jest równo oddalony od końców odcinka.

R1PJveZV4ijFu1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wynika z tego, że AP=BP.
Wykorzystując wzór na długość odcinka, otrzymujemy

x+12+y-12= x-52+y+12
x+12+y-12=x-52+y+12

Po zastosowaniu wzorów skróconego mnożenia

x2+2x+1+y2-2y+1=x2-10x+25+y2+2y+1

Stąd otrzymujemy równanie ogólne

12x-4y-24=0.

Zapisując to równanie w postaci kierunkowej, mamy

y=3x-6.
Przykład 2

Sprawdź, czy trójkąt o wierzchołkach w punktach: A=-3,6, B=0,2, C=(4,4) jest prostokątny.

  • sposób I

Trójkąt jest prostokątny, jeśli dwa jego boki są prostopadłe. Sprawdzimy, czy wśród trzech prostych zawierających boki trójkąta jest para prostych prostopadłych.
Obliczymy współczynniki kierunkowe każdej z trzech prostych.

  1. Współczynnik kierunkowy prostej AB: aAB=6-2-3=-43.

  2. Współczynnik kierunkowy prostej BC: aBC=4-24=12.

  3. Współczynnik kierunkowy prostej AC: aAC=6-4-3-4=-27.

Jeśli proste są prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy -1. Sprawdźmy:
aABaBC=-4312-1, zatem boki ABBC nie leżą na prostych prostopadłych. Podobnie
aBCaAC=-2712-1, zatem boki BCAC nie leżą na prostych prostopadłych.
Zauważmy, że boki ABAC również nie są prostopadłe (ich współczynniki kierunkowe są ujemne, więc ich iloczyn nie może być równy -1).
Wynika z tego, że żadne dwa boki trójkąta nie są prostopadłe, więc ten trójkąt nie jest prostokątny.
Uwaga.
Jeśli wcześniej zaznaczymy punkty w układzie współrzędnych, to zauważymy, że tylko boki ABAC mogą być prostopadłe. Wystarczy w tym przypadku pokazać, że aABaAC-1.

Rt2AadcEcpliy1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
  • sposób II

Krok 1
Obliczamy długości boków trójkąta.

AB=-32+2-62=25=5
AC=-3-42+6-42=53
BC=-42+2-42=20

Krok 2
Sprawdzamy, czy suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości trzeciego boku. Sprawdzamy, czy jest spełniony warunek wynikający z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa.

AB2+BC2=25+20
AC2=53
5325+20

Wynika z tego, że trójkąt nie jest prostokątny.

Przykład 3

Punkty: A=-3,7, B=0,-2, C=6,0, D=(3,9) są wierzchołkami czworokąta. Uzasadnij, że czworokąt ABCD jest prostokątem.

  • sposób I

Krok 1
Sprawdzimy, czy czworokąt ABCD jest równoległobokiem (ma dwie pary boków równoległych).
Obliczymy współczynniki kierunkowe prostych zawierających boki czworokąta.

aAB=7+2-3=-3
 aBC=-2-6=13
aCD=93-6=-3
aDA=9-73+3=13

Ponieważ aAB=aCD=-3aBC=aDA=13, więc czworokąt ABCD ma dwie pary boków równoległych.
Krok 2
Sprawdzamy, czy kąty wewnętrzne równoległoboku są proste.
Ponieważ aABaBC=-313=-1, to proste zawierające boki ABBC są prostopadłe. Wynika z tego , że jeden z kątów wewnętrznych równoległoboku jest prosty. Z własności kątów w równoległoboku (suma kątów, których wspólnym ramieniem jest bok równoległoboku jest równa 180°) wynika, że pozostałe kąty są również proste.

RlIoX0JC1bwKj1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Uzasadniliśmy, że czworokąt ABCD jest równoległobokiem, którego kąty wewnętrzne są proste, a więc ten czworokąt jest prostokątem.

  • sposób II

  • Krok 1

Sprawdzamy, czy przekątne czworokąta są równe.
Długość przekątnej AC: AC=-3-62+72=130.
Długość przekątnej BD: BD=32+9+22=130.
Wynika z tego, że przekątne czworokąta ABCD są równe.

  • Krok 2

Sprawdzamy, czy środek przekątnej AC jest jednocześnie środkiem przekątnej BD.
Środek przekątnej AC: S1=-3+62,72=32,72.
Środek przekątnej BD: S2=32,-2+92=32,72.
Wynika z tego, że S1=S2. Jest to zatem punkt wspólny obu przekątnych i jednocześnie jest środkiem każdej z nich.

R1OMYrXSVCM5K1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zatem czworokąt ABCD ma równe przekątne, które przecinają się w punkcie dzielącym każdą z nich na połowę. Z tego wynika, że czworokąt ABCD jest prostokątem.

iDpzUxWz9D_d5e314
Przykład 4

Oblicz pole trapezu prostokątnego, którego wierzchołkami są punkty: A=(-2,-1), B=(6,3), C=(-1,7) ,D=(-5,5).
Aby obliczyć pole trapezu, potrzebne są długości obu podstaw trapezu i jego wysokość.

R1UgytCX0cA5R1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Długości podstaw trapezu:

a=DC=-1+52+7-52=20=25
b=BA=-2-62+-1-32=80=45

Wysokość trapezu:

h=DA=-2+52+-1-52=45=35

Pole trapezu:

P=a+b2h=65235=95=45
Przykład 5

Punkty: S1=4,5,  S2=132,1,S3=32,0 są środkami boków trójkąta ABC. Wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta.
Współrzędne wierzchołków oznaczamy odpowiednio: A=(xA, yA), B=xB,yB, C=(xC,yC). Korzystając ze wzoru na współrzędne środka odcinka, możemy zapisać

S1=4,5=xA+xB2,yA+yB2
 S2=132,1=xB+xC2,yB+yC2
S3=32,0=xA+xC2,yA+yC2

Stąd otrzymujemy następujące układy równań:

4=xA+xB2132=xB+xC232=xA+xC25=yA+yB21=yB+yC20=yA+yC2

czyli

8=xA+xB13=xB+xC3=xA+xC10=yA+yB2=yB+yC0=yA+yC
xA=-1xB=9xC=4yA=4yB=6yC=-4

Wierzchołki trójkąta mają współrzędne: A=(-1, 4), B=(9, 6), C=(4, -4).

R1Gd3ReuOO2BH1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
iDpzUxWz9D_d5e394
Przykład 6

Oblicz pole trójkąta, którego wierzchołkami są punkty: A= (-2,6), B=(6,-2) , C=(9,5).

  • sposób I

Obliczymy pole tego trójkąta, wykorzystując wzór PABC=12ABh. Potrzebna więc będzie długość jednego z boków i długość wysokości opuszczonej na ten bok.

R12owQiDaIfS21
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
  • Krok 1

Obliczamy długość boku AB.

AB=-2-62+6+22=82
  • Krok 2

Obliczamy wysokość trójkąta poprowadzoną z wierzchołka C do boku AB.

RDsmQvBr7sxw71
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wysokość jest równa długości odcinka CD, gdzie D jest spodkiem tej wysokości na bok AB. Punkt D jest punktem wspólnym prostej zawierającej bok AB i prostej do niej prostopadłej, przechodzącej przez wierzchołek C.
Krok 2.1
Wyznaczymy równanie prostej zawierającej bok AB.
Współczynnik kierunkowy a=6+2-2-6=-1. Do tej prostej należy punkt A=(-2,6), zatem jej równanie można zapisać

y=-1(x-(-2))+6
y=-x+4.

Krok 2
Wyznaczymy równanie prostej zawierającej wysokość CD.
Prosta CD jest prostopadła do AB, więc jej współczynnik kierunkowy jest równy 1.
Jej równanie możemy zapisać w postaci y=x+b.
Podstawiamy współrzędne punktu C=(9,5) leżącego na tej prostej i obliczamy współczynnik b.

5=9+b

czyli b=-4. Równanie prostej AB ma postać

y=x-4

Krok 3
Obliczamy współrzędne punktu wspólnego obu wyznaczonych prostych.
Współrzędne punktu D są rozwiązaniem układu równań złożonych z równań obu prostych:

y=-x+4y=x-4

Rozwiązaniem jest x=4y=0. Stąd D=(4,0).
Krok 4
Obliczamy wysokość h.

h=CD=9-42+52=52

Krok 5
Obliczymy pole trójkąta ABC.

P=12ABh=128252=40

Uwaga.
Potrzebna do obliczenia pola wysokość trójkąta h jest równa odległości punktu C od prostej zawierającej bok AB.

R1XV8qFqfPePl1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odległość punktu P=(x0,y0) od prostej o równaniu
Ax+By+C=0 jest równa

d=Ax0+By0+CA2+B2

Równanie prostej AB ma postać kierunkową y=-x+4 i ogólną x+y-4=0.
Wysokość h jest odległością punktu C=(9,5) od prostej o równaniu x+y-4=0.
Zatem, wstawiając do wzoru odpowiednie liczby, otrzymujemy

h=x0+y0-412+12=9+5-42=102=102=52
  • sposób II

Trójkąt ABC możemy wpisać w taki prostokąt, którego boki są równoległe do osi układu współrzędnych. Wtedy pole trójkąta można obliczyć jako różnicę pól prostokąta i trzech trójkątów prostokątnych.

R1BaT79v4UZit1
Animacja pokazuje trójkąt A B C w układzie współrzędnych. Obliczamy pole trójkąta. Trójkąt A B C wpisujemy w prostokąt A K L M, którego boki są równoległe do osi układu współrzędnych. Zauważamy, że pole trójkąta A B C można obliczyć jako różnicę pola prostokąta A K L M i pól trzech powstałych trójkątów. Wstawiając dane liczby, do odpowiednich wzorów, obliczamy pole trójkąta A B C.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 7

Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach w punktach: A= (-2,6), B=(6,-3) , C=(5,3).
Pole trójkąta rozwartokątnego ABC można obliczyć jako sumę pól dwóch trójkątów ACFCFB.

R8tyU2bSz0xP61
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
PACF=77-1277+1273=14 
PCFB=62-1222+1226=4

Pole trójkąta ABC:

PABC=PACF+PCFB=14+4=18
Przykład 8

Punkt A leży na prostej k o równaniu y=2x-1, a punkt B na prostej m o równaniu y=-x+3. Wyznacz współrzędne punktów AB tak, aby punkt P=(0,0) był środkiem odcinka AB.

R1RJsHomDg8k21
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Współrzędne punktu możemy zapisać, wykorzystując fakt, że A leży na prostej y=2x-1:
A=(xA,2xA-1). Podobnie zapisujemy współrzędne punktu leżącego na prostej y=-x+3:
B=(xB, -xB+3).
Punkt P=(0,0) jest środkiem odcinka AB, zatem wykorzystując wzory na współrzędne środka odcinka, otrzymujemy:
xA+xB2=02xA-1+(-xB+3)2=0.
Po uporządkowaniu otrzymujemy układ równań

xA+xB=02xA-xB=-2

Rozwiązaniem układu jest xA=-23xB=23.
Z tego wynika, że

=-23, 2-23-1=-23, -73
B=23,-23+3=23,73
iDpzUxWz9D_d5e587
A
Ćwiczenie 1

Wyznacz równanie symetralnej odcinka AB.

  1. A=(-2,4), B=(3,2)

  2. A=(-3,-1), B=(1,1)

  3. A=(1,2), B=(-2,-1)

  4. A=(6,3), B=(-2,5)

  5. A=(0,-2), B=(5,3)

  6. A=(22,-82), B=(-22,82)

A
Ćwiczenie 2

Wyznacz równanie prostej zawierającej środkową AD trójkąta ABC, którego wierzchołkami są podane punkty.

  1. A=-2,3, B=1,-2, C=(4,2)

  2. A=-3,3, B=4,-1, C=(-2,3)

  3. A=6,1, B=(7,0), C=(1,0)

  4. A=-3,2, B=3,5, C=(-2,-1)

A
Ćwiczenie 3

Wykaż, że trójkąt o wierzchołkach w punktach: A=0,4, B=(5,3), C=(-1,-1) jest prostokątny. Czy ten trójkąt jest równoramienny?

A
Ćwiczenie 4

Wykaż, że czworokąt ABCD, którego wierzchołkami są punkty: A=(4,-1), B=(8,6), C=0,5, D=(-4,-2), jest rombem.

A
Ćwiczenie 5

Punkty A=0,1, B=6,-1, C=7,2 są wierzchołkami równoległoboku ADBC. Punkt E jest punktem przecięcia się przekątnych równoległoboku. Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt E i równoległej do boku AB

A
Ćwiczenie 6

Punkty B=(5,-2)D=(3,6) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD. Wyznacz równanie prostej AC.

A
Ćwiczenie 7

Oblicz pole trójkąta prostokątnego ABC, którego wierzchołkami są podane punkty

  1. A=(5,4), B=(-3,0), C=3,6

  2. A=5,2, B=-3,8, C=6,5

A
Ćwiczenie 8

W trójkącie ABC bok AB leży na prostej y=-x-2, wierzchołek C=3,5. Wyznacz równanie wysokości opuszczonej na bok AB oraz oblicz długość tej wysokości.

A
Ćwiczenie 9

Oblicz pole równoległoboku ABCD o wierzchołkach w punktach: A=11,4, B=5,-3, C=1,-2.

B
Ćwiczenie 10

Punkty: K=(-3,2),L=(1,4),  M=3,0 są środkami kolejnych boków kwadratu ABCD. Wyznacz współrzędne wierzchołków kwadratu.