Zgłoś uwagi
Pokaż spis treści
Wróć do informacji o e-podręczniku Udostępnij materiał

Za pomocą funkcji wykładniczej można opisać wiele zjawisk z życia codziennego. Funkcję tę stosujemy do opisu wielkości, które w stałym tempie się zmieniają, czyli w kolejnych odcinkach czasu tyle samo razy lub o ten sam procent się zwiększają lub zmniejszają. Wielkości takie mają tę własność, że ich przyrost od pewnego momentu jest dużo szybszy niż wzrost liniowy. Za to spadek w tempie wykładniczym jest wolniejszy niż spadek w tempie liniowym. Z wzrostem i spadkiem wykładniczym mamy do czynienia w biologii, chemii, demografii, gospodarce. Podamy poniżej kilka zastosowań funkcji wykładniczej.

Przykład 1

Żeby określić liczebność pewnej populacji osobników, można skorzystać ze wzoru

Lt=L0at

gdzie
L(0) jest początkową liczbą osobników w populacji,
a pewną stałą większą od zera, charakterystyczną dla tej populacji.
Populacja osobników w tempie wykładniczym rozmnaża się najczęściej przez pewien czas, po którym następuje czas względnej równowagi pomiędzy ilością osobników tworzących się i obumierających.
Przyrost populacji, przebieg epidemii czy zasięg sieci społecznościowych w  internecie nie mogą wzrastać w nieskończoność, gdyż istnieją ograniczenia środowiska czy przestrzeni, w której dane zjawiska występują.
Pewna kolonia bakterii liczy na początku obserwacji 500 osobników. Co godzina ich liczba wzrasta o 10%. Oblicz, ile bakterii będzie w tej kolonii po 3 godzinach, ile po 5 godzinach, a ile po 10 godzinach.
Liczbę osobników tej kolonii obliczymy ze wzoru Lt=5001,1t.
Zatem

L3=5001,13=665,5
L5=5001,15=805,255
L10=5001,110=1296,87
Przykład 2

W pewnym mieście odnotowano w kolejnych latach podaną w tabeli liczbę mieszkańców.

Tabela. Dane

rok

Liczba ludności (w tysiącach)

Przyrost ludności (w tysiącach)

2009
30,30
 
2010
31,00
0,7
2011
31,71
0,71
2012
32,44
0,73
2013
33,19
0,75
2014
33,95
0,76

Zauważmy, że liczba mieszkańców nie przyrasta w sposób liniowy, ponieważ w kolejnych latach przyrost jest coraz większy. Obliczmy stosunek liczby mieszkańców w danym roku do liczby mieszkańców w poprzednim roku.

liczba mieszkańców w 2014liczba mieszkańców w 2013=33,9533,19=1,023
liczba mieszkańców w 2013liczba mieszkańców w 2012=33,1932,44=1,023
liczba mieszkańców w 2012liczba mieszkańców w 2011=32,4431,71=1,023
liczba mieszkańców w 2011liczba mieszkańców w 2010=31,7131=1,023
liczba mieszkańców w 2010liczba mieszkańców w 2009=3130,3=1,023

Ponieważ otrzymane ilorazy są równe, wynika stąd, że liczba mieszkańców rośnie każdego roku o około 2,3%. Liczbę ludności w tym mieście po t latach od 2009 roku możemy opisać wzorem

Xt=30,31,023t

Zatem przyrost ludności w tym mieście ma charakter wykładniczy. Jeżeli w kolejnych latach przyrost ludności zachowa ten charakter, ile osób będzie mieszkało w tym mieście w latach 2016, 2020?
W roku 2016 będzie 33,951,0232=35,53, czyli 35,53.
Liczba mieszkańców w 2020 roku to

X11=30,31,02311=38,91,

czyli 38,91 tysięcy.

Przykład 3

Pierwiastki promieniotwórcze samoistnie rozpadają się. Czasem połowicznego rozpadu nazywamy czas, po którym masa próbki takiego pierwiastka zmniejszy się o połowę. Masę próbki po upływie czasu t możemy obliczyć ze wzoru

mt=m012tT

gdzie
m(0)- jest masą próbki na początku,
T to okres połowicznego rozpadu.
Izotop jodu ma czas połowicznego rozpadu 8 dni. Ile miligramów jodu zostanie z 20 mg próbki po upływie 32 dni? Jaki procent izotopu ulegnie rozpadowi w tym czasie?
32 dni to 4 okresy połowicznego rozpadu izotopu jodu, bo tT=328=4. Mamy więc

m32=20124=2016=54=1,25

Zatem z próbki złożonej z 20 mg pozostanie po 32 dniach 1,25 mg. Rozpadowi ulegnie więc 18,75 mg20 mg. Układamy proporcję

100%-20 mgx-18,75 mg

Stąd

x=18,75100%20=93,75%
Przykład 4

W naturze występują trzy izotopy węgla C-12, C-13C-14, różniące się między sobą liczbą protonów i neutronów w jądrze. Węgiel C-14 jest radioaktywny i jego czas połowicznego rozpadu jest równy 5730 lat. Powstaje on w górnych warstwach atmosfery w wyniku bombardowania atomów azotu neutronami o wysokiej energii z promieniowania kosmicznego. Izotopu C-14 jest bardzo mało w zawartym w powietrzu dwutlenku węgla, jeden atom przypada na około 1012atomów węgla C-12. Wszystkie rośliny pobierają z atmosfery oba rodzaje węgla. Także zwierzęta, jedząc rośliny, pobierają oba rodzaje węgla. Okazuje się, że zawartość węgla C-14 w organizmach jest podobna do jego zawartości w atmosferze. Po śmierci kończy się dopływ węgla z zewnątrz i wtedy węgiel C-12 pozostaje w komórkach, a węgiel C-14 ulega rozpadowi.
Liczbę atomów węgla C-14 w próbce po czasie t obliczymy ze wzoru

Nt=N012t5730
  1. Ile lat temu zginął człowiek, jeżeli w jego szczątkach znajduje się tylko 6,25% ilości węgla, jaka jest w żywym organizmie?
    Zbadajmy, jaka ilość węgla C-14 pozostanie po kolejnych okresach.

    Tabela. Dane

    Okres, jaki upłynął

    Ilość węgla C-14, jaka pozostanie

    5730
    50%
    11 460
    25%
    17 190
    12,5%
    22 920
    6,25%

    Zatem człowiek ten żył około 22 920 lat temu.

  2. Znaleziono kość pewnego zwierzęcia, w której 1 atom węgla C-14 przypada na 41012atomów zwykłego węgla. Jaki czas upłynął od śmierci tego zwierzęcia?

Ponieważ w atmosferze na 1 atom węgla C-14 przypada 1012atomów zwykłego węgla, więc ilość węgla zmniejszyła się czterokrotnie. Po pierwszym okresie, czyli łącznie po 5730 latach, ilość węgla zmniejszyła się o połowę i po kolejnym okresie, czyli po 11 460 latach, ilość węgla zmniejszyła się czterokrotnie. Zatem zwierzę żyło około 11 500 lat temu.

Przykład 5

Po podaniu pewnego leku do organizmu substancja czynna tego leku przenika do krwiobiegu. Następnie z każdą godziną ilość tej substancji maleje o około 40%. Jeżeli podana dawka leku zawierała 250 mg substancji, to po ilu godzinach zostanie w krwiobiegu pacjenta mniej niż 32,4 mg substancji?

  • sposób I
    Jeżeli z każdą następną godziną ilość substancji w krwiobiegu maleje o 40%, to znaczy, że po każdej godzinie pozostanie 0,6 ilości substancji obecnej w poprzedniej godzinie. Zatem Xt=2500,6t, gdzie t oznacza ilość czasu w godzinach, jaki upłynął od podania leku, a X(t) to ilość leku w organizmie po t godzinach.
    Mamy więc 2500,6t<32,4. Stąd 0,6t<0,1296. Ponieważ 0,1296=0,64, więc nierówność ma postać 0,6t<0,64. Funkcja y=0,6x jest funkcją malejącą, więc dla większych argumentów przyjmuje mniejsze wartości. Stąd wynika, że t>4.

  • sposób II
    W kolejnych godzinach mamy:

X1=2500,6=150
X2=1500,6=90
X3=900,6=54
X4=540,6=32,4

Funkcja opisująca ilość leku we krwi jest funkcją malejącą oraz dla argumentu 4 przyjmuje dokładnie wartość 32,4, zatem dla argumentów większych przyjmuje wartości mniejsze.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Po czasie dłuższym niż 4 godziny w organizmie pacjenta pozostanie mniej niż 32,4 g leku.

Przykład 6

Jeżeli umieścimy przedmiot w stałej temperaturze otoczenia, niższej od jego temperatury, to przedmiot ten będzie stygł aż do osiągnięcia temperatury otoczenia. Temperaturę po określonym czasie obliczymy za pomocą wzoru

Tt=TO+TP-TOa-t

TO to temperatura otoczenia, TP to temperatura początkowa przedmiotu, a jest stałą charakterystyczną dla danego przedmiotu.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zagotowaliśmy wodę do temperatury 100°C, a następnie umieściliśmy w pomieszczeniu o temperaturze 25°C. Po 10 minutach zmierzyliśmy temperaturę wody i okazało się, że wynosi ona 70°C. Jaką temperaturę będzie miała woda po następnych 10 minutach?
Temperaturę wody po 10 minutach opisuje wzór

T10=25°+100°-25°a-10=70°

stąd

75°a-10=45°

Otrzymujemy więc a-10=0,6. Stąd a10=10,6=1,67, a więc a=1,67101,053.
Po następnych 10 minutach, czyli po 20 minutach od zagotowania wody jej temperatura będzie równa

T20=25°+75°1,053-20=25°+75°0,356=25°+27°=52°
Przykład 7

Przykładem zastosowania funkcji wykładniczej w medycynie jest zanik monochromatycznej wiązki promieniowania rentgenowskiego przy przechodzeniu przez materię. W tym przypadku natężenie promieniowania I przy przejściu przez ciało grubości x dane jest wzorem:

I(x)=I0e-kx

gdzie
I0 – natężenie wychodzące z lampy rentgenowskiej,
k – liniowy współczynnik pochłaniania promieniowania w materii,
x – grubość warstwy pochłaniającej.
e – liczba niewymierna, e2,718
Jednostką liniowego współczynnika pochłaniania (absorpcji) jest [1/m].

Ćwiczenie 1

Kolonia bakterii składała się z 500 organizmów. Po każdej godzinie liczba bakterii rośnie o 20%. Ile bakterii będzie po 3 godzinach?

Ćwiczenie 2

Na początku obserwacji kolonia liczyła 500, a na końcu 845 bakterii. O ile procent przyrastała liczba bakterii w ciągu godziny, jeżeli liczba bakterii przyrasta w tempie wykładniczym, czyli według wzoru Lt=L0at, a eksperyment trwał 2 godziny?

Ćwiczenie 3

Na początku obserwacji kolonia liczyła 1000 bakterii. Po 5 godzinach liczba ta wzrosła do 1800. Ile osobników będzie liczyła kolonia po 20 godzinach?

Ćwiczenie 4

W pewnej kolonii liczba bakterii zwiększa się co godzinę o 25%. Po ilu godzinach liczba ta uległa podwojeniu?

Ćwiczenie 5

W pewnej miejscowości mieszkało 1400 osób. Miejscowość rozwija się prężnie, tak że każdego roku liczba ta zwiększa się o 10%. Po ilu latach liczba mieszkańców przekroczy 2000?

Ćwiczenie 6

W pewnej kolonii bakterii po 4 godzinach od rozpoczęcia doświadczenia liczba organizmów była równa 7500, a po 6 godzinach była już równa 37 500. Wiedząc, że liczba bakterii przyrastała w sposób wykładniczy oblicz, ile bakterii było na początku doświadczenia oraz ile po 12 godzinach.

Ćwiczenie 7

Dla uranu 235 czas połowicznego rozpadu wynosi 713 milionów lat. Ile lat potrzeba, żeby z 1 g pierwiastka pozostało nie więcej niż 0,125 g?

Ćwiczenie 8

Po upływie 15 dni z początkowej próbki o masie 2 g pozostanie 0,25 g bizmutu 210. Jaki jest czas połowicznego rozpadu tego pierwiastka?

Ćwiczenie 9

W próbce znajduje się 0,05 g izotopu wapnia. Jaka masa izotopu była 3 lata wcześniej, jeżeli okres połowicznego rozpadu dla wapnia wynosi 6 miesięcy?

Ćwiczenie 10

Ile wynosi okres połowicznego rozpadu kobaltu, jeżeli wiadomo, że podczas doświadczenia, które trwało 20 lat, z próbki ważącej 40 g pozostało 2,5 g tego pierwiastka?

Ćwiczenie 11

W pewnej kości zawartość węgla C-14 jest mniejsza o 75% od zawartości w atmosferze. Oblicz wiek znaleziska.

Ćwiczenie 12

Określ wiek znaleziska archeologicznego, wiedząc, że jeden atom węgla C-14 przypada na 161012 atomów węgla C-12.

Ćwiczenie 13

Jaki procent węgla C-14 pozostał w znalezisku archeologicznym, które ma 15 000 lat?

Ćwiczenie 14

Pewien płyn podgrzano do temperatury 80°, a następnie odstawiono, żeby wystygł. Po 15 minutach temperatura płynu wynosiła 60°C. Jaką temperaturę miał płyn po godzinie od podgrzania?