Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał

Praca i czas potrzebny na jej wykonanie

W poniższych przykładach prezentujemy zadania tekstowe dotyczące pracy i czasu potrzebnego na jej wykonanie.
Przypomnijmy, że praca to miara wysiłku włożonego w wytworzenie danego dobra, a efektem pracy jest pewna wartość ekonomiczna; w poniższych zadaniach jest to zazwyczaj wykonany towar lub usługa.
Przez wydajność pracy będziemy rozumieli wartość produkcji wytworzonej w określonym czasie (najczęściej w jednostce czasu, np. w ciągu jednego dnia, w ciągu jednej godziny).
W rozpatrywanych poniżej przykładach i zadaniach zakładamy, że średnia wydajność wykonywanej pracy przez opisanych w zadaniu robotników, firmy, automaty itp. nie zmienia się wraz z upływem czasu.

Przykład 1

Dwie firmy: firma A i firma B otrzymały do wykonania pewną pracę. Firma A samodzielnie wykonałaby tę pracę w ciągu 5 dni, a firma B sama wykonałaby tę pracę w ciągu 20 dni. W ciągu ilu dni wykonałyby tę pracę firmy AB, pracując razem?
Z treści zadania wynika, że firma A wykonywałaby dziennie 15 zaplanowanej pracy, a firma B120 tej pracy. Oznacza to, że razem wykonywałaby dziennie 15+120=520=14 całej pracy. Zatem pracując razem, wykonałyby całą tę pracę w ciągu 4 dni.

Przykład 2

W firmie świadczącej usługi obróbki plastycznej są dwa różne automaty, które tłoczą plastikowe pojemniki o takiej samej wielkości i takim samym kształcie. Firma przyjęła zlecenie wykonania pewnej liczby takich pojemników. Gdyby oba automaty pracowały razem, to zlecenie zostałoby wykonane w ciągu 4 godzin. Gdyby zaś najpierw połowę tych detali wytłoczył pierwszy automat, to drugi, do zakończenia zleconej pracy musiałby pracować jeszcze przez 6 godzin. W ciągu ilu godzin pierwszy automat wytłoczyłby wszystkie pojemniki?
Ponieważ drugi automat w ciągu 6 godzin wykonał połowę zleconej pracy, więc na wykonanie wszystkich pojemników potrzebuje 12 godzin. Zatem w ciągu godziny automat ten wykonuje 112 wszystkich pojemników.
Z treści zadania wynika, że oba automaty w ciągu godziny wykonują 14 całej pracy, co oznacza, że pierwszy automat wykonuje w tym czasie 14-112=212=16 wszystkich pojemników. Wobec tego pierwszy automat wytłoczyłby wszystkie pojemniki w ciągu 6 godzin.

Przykład 3

Firma budowlana planowała w ciągu 10 dni wykonać prace wykończeniowe w budowanym bloku mieszkalnym. W tym celu zatrudniła dwa zespoły robotników: zespół A i zespół B. Po 4 dniach od rozpoczęcia wspólnej pracy zespół A zrezygnował z udziału w tym przedsięwzięciu, więc zespół B sam dokończył tę pracę, na co potrzebował jeszcze 9 dni. W ciągu ilu dni każdy z tych zespołów wykonałby tę pracę samodzielnie?
Z treści zadania wynika, że w ciągu 4 dni wspólnej pracy zespoły wykonały 4110 całej pracy. Do wykonania zostało jeszcze 610 całej pracy, którą zespół B wykonał w ciągu 9 dni. Zatem zespół B wykonywał w ciągu jednego dnia 61019=115 całej pracy, czyli samodzielnie wykonałby całe zamówienie w ciągu 15 dni. Oznacza to, że zespół A wykonywał w ciągu jednego dnia 110-115=130 całej pracy, czyli wykonałby samodzielnie całą tę pracę w ciągu 30 dni.

Przykład 4

Dwie firmy AB podjęły się wyprodukować wspólnie w ciągu 12 dni ustaloną liczbę jednakowych okien. Firma A po dwóch dniach wycofała się z udziału w realizacji zamówienia, więc pozostałą część okien wyprodukowała firma B. W ciągu ilu dni zostało wykonane zamówienie, jeżeli dzienna produkcja firmy B stanowi 23 dziennej produkcji firmy A?
Oznaczmy przez a – liczbę okien, które w ciągu jednego dnia produkuje firma A. Wtedy dzienna produkcja firmy B to 23a, a obie firmy produkują razem a+23a=53a okien dziennie.
Ponieważ według planu całe zamówienie miało być wykonane przez obie firmy w ciągu 12 dni, więc do wykonania było 1253a=20a okien.
W ciągu dwóch dni obie firmy wykonały razem 253a=103a okien. Zatem firmie B pozostało do wykonania 20a-103a=503a okien.
Ponieważ dzienna wydajność firmy B to 23a, więc firma B wykona tę pracę w ciągu 503a:23a=25 dni.
Oznacza to, że całe zamówienie zostało wykonane w ciągu 27 (dni).

Przykład 5

Dwa zespoły robotników: AB mają wykonać pewną pracę. Zespół A samodzielnie wykonałby tę pracę o 7 dni szybciej niż pracujący samodzielnie zespół B.
Przyjmując, że x to liczba dni potrzebnych zespołowi A na samodzielne wykonanie tej pracy, wyrazimy za pomocą x tę część pracy, która zostanie wykonana w ciągu jednego dnia przez zespoły AB pracujące razem.
Z warunków zadania otrzymujemy, że x+7 to liczba dni, które zespół B potrzebuje na wykonanie zleconej pracy.
Zatem

  • zespół A w ciągu jednego dnia wykonuje 1x całej pracy,

  • zespół B w ciągu jednego dnia wykonuje 1x+7 całej pracy.

Oznacza to, że oba zespoły, pracując razem, w ciągu jednego dnia wykonują 1x+1x+7 całej pracy.
Sprowadzając do wspólnego mianownika ułamki, wyrażenie to zapiszemy w postaci

1x+1x+7=x+7+xxx+7=2x+7xx+7

W powyższym przykładzie pojawiły się wyrażenia wymierne 1x, 1x+7, 2x+7xx+7.
Zauważmy, że dla każdej wartości (która jest liczbą dodatnią dni) wyrażenia te są określone.
Gdyby na przykład w opisanej sytuacji zespół A potrzebował na wykonanie całej pracy 21 dni, to zespół B potrzebowałby na jej wykonanie 28 dni. Ponieważ 121+128=112, więc oba zespoły, pracując razem, wykonałyby całą pracę w ciągu 12 dni.
Zauważmy też, że w przedstawionej sytuacji za pomocą wyrażenia xx+72x+7 opisujemy liczbę dni potrzebnych do wykonania całej pracy przez zespoły AB pracujące razem.

Przykład 6

Dwa automaty, pracując jednocześnie, wykonały pewną pracę. Pierwszy automat, aby wykonać tę pracę samodzielnie, musiałby pracować trzy razy dłużej, a drugi – o godzinę dłużej niż wtedy, gdy pracowały razem. W jakim czasie każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę pracę?
Oznaczmy przez x – czas (w godzinach), w którym oba automaty razem wykonały pracę. Wtedy czas potrzebny pierwszemu automatowi i czas potrzebny drugiemu automatowi na samodzielne wykonanie tej pracy to odpowiednio 3x oraz x+1.
Zatem w ciągu godziny:

  • razem wykonają 1x całej pracy,

  • pierwszy wykona 13x całej pracy,

  • drugi wykona 1x+1 całej pracy.

Otrzymujemy więc równanie

13x+1x+1=1x

stąd

23x=1x+1
x>0

a więc x=2.
Zatem pierwszy automat samodzielnie wykonałby pracę w ciągu 6 godzin, a drugi – w ciągu 3 godzin.

iYcmaHaJ3L_d5e225
Przykład 7

Dwie firmy wykonały prace drogowe w ciągu 32 dni, przy czym najpierw połowę pracy wykonała tylko pierwsza firma, a następnie resztę pracy wykonała tylko druga firma. Gdyby obie firmy pracowały razem, to wykonałyby te prace w ciągu 15 dni. Ilu dni potrzebowałaby każda z tych firm na samodzielne wykonanie całej pracy?
Z treści zadania wynika, że wykonując po połowie pracy, obie firmy pracowały w sumie 32 dni, więc suma liczb dni, w ciągu których każda z firm wykonuje całą pracę, jest równa 64.
Oznaczmy przez x liczbę dni potrzebnych pierwszej firmie na wykonanie całej pracy, wtedy liczba dni potrzebnych drugiej firmie na wykonanie całej pracy to 64-x.
Oznacza to, że pierwsza firma wykonuje dziennie 1x całej pracy, a druga 164-x.
Otrzymujemy więc równanie

1x+164-x=115

stąd

1564-x+15x=x64-x
x2-64x+960=0

Równanie to ma dwa rozwiązania: x1=24 oraz x2=40. Każde z nich spełnia warunki zadania.
Wynika z tego, że jedna z tych firm wykonałaby samodzielnie całe zlecenie w ciągu 24 dni, a druga – w ciągu 40 dni.

Przykład 8

Automat do obróbki plastycznej wykonał 720 metalowych detali, pracując na niższym poziomie wydajności. Gdyby przestawić ten automat na wyższy poziom wydajności, to w ciągu godziny będzie wykonywał o 40 detali więcej i tę samą liczbę detali wykona, pracując o 54 minuty krócej. W ciągu ilu godzin ten automat wykonał 720 detali?
Oznaczmy przez x czas, w ciągu którego automat wykonał wszystkie detale. Wtedy 720x to liczba detali wykonanych przez ten automat w ciągu godziny.
Z treści zadania wynika, że na wyższym poziomie wydajności automat wytwarza 720x+40 detali na godzinę, a do wykonania 720 detali potrzebowałby x-910 godziny.
Otrzymujemy więc równanie

x-910720x+40=720

stąd

720-648x+40x-36=720
40x-36-648x=0
10x2-9x-162=0

Równanie to ma dwa rozwiązania: x1=412 oraz x2=-335. Tylko pierwsze z nich spełnia warunki zadania.
Wynika z tego, że automat wykonał 720 detali w ciągu 4,5 godziny.

Przykład 9

Dwa zespoły robotników w ciagu 14 godzin wykonały zlecone prace murarskie, pracując kolejno: najpierw tylko pierwszy, a następnie tylko drugi. Drugi zespół pracował wtedy 110 tego czasu, w którym pierwszy wykonał tę pracę samodzielnie. Gdyby oba zespoły pracowały razem, to wykonałyby tę pracę w ciągu 4 godzin. Ilu godzin potrzebowałby każdy z tych zespołów, aby wykonać tę pracę samodzielnie?
Oznaczmy przez x – czas (w godzinach), w którym praca zostałaby wykonana, gdyby pracował tylko pierwszy zespół.
Drugi zespół pracował zatem przez 110x godzin, a więc pierwszy pracował przez 14-110x godzin.
Ponadto wiemy, że oba zespoły, pracując razem, wykonałyby w ciągu godziny 14 całej pracy i pierwszy zespół wykonałby w tym czasie 1x całej pracy, więc drugi w ciągu godziny wykonałby 14-1x zleconej pracy.
Wobec tego otrzymujemy równanie

110x14-1x+14-110x1x=1

stąd

140x+14x-65=0
x2-48x+560=0

Równanie to ma dwa rozwiązania: x1=20 oraz x2=28. Oba spełniają warunki zadania.
Mam więc dwie możliwości:

  1. x=20, wtedy zespół pierwszy do wykonania całej pracy potrzebuje 20 godzin, a drugi – 5 godzin,

  2. x=28, wtedy zespół pierwszy do wykonania całej pracy potrzebuje 28 godzin, a drugi – 4 godzin i 40 minut.

Przykład 10

Dwa różne automaty wykonują pewną pracę. Gdyby pierwszy automat pracował sam przez 3,5 godziny, to do zakończenia pracy oba automaty musiałyby pracować razem jeszcze przez 4,5 godziny. Drugi automat pracujący samodzielnie wykonuje tę pracę w czasie o 7 godzin krótszym niż pierwszy. W ciągu ilu godzin każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę pracę?
Oznaczmy przez x – czas, w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko I automat. Wtedy x-7 to czas, w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko II automat.
Stąd

3,5x+4,51x+1x-7=1

co prowadzi do równania

2x2-39x+112=0

Równanie to ma dwa rozwiązania: x1=16 oraz x2=3,5. Tylko pierwsze z nich spełnia warunki zadania. Wobec tego pierwszy automat może samodzielnie wykonać tę pracę w ciągu 16 godzin, a drugi – w ciągu 9 godzin.

Przykład 11

Dwa automaty wykonały pewną pracę. Najpierw pracował tylko pierwszy, a potem pracę dokończył drugi. Pierwszy automat pracował wtedy 59 tego czasu, w którym drugi automat może wykonać całą pracę.
Gdyby oba automaty pracowały razem, to wówczas wykonałyby całą pracę w czasie o 6 godzin i 40 minut krótszym, przy czym pierwszy automat wykonałby 45 tej pracy, którą wykonałby wówczas drugi.
W jakim czasie każdy z automatów może wykonać tę pracę samodzielnie?
Oznaczmy:
przez x – czas (w godzinach), w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko pierwszy automat,
przez y – czas (w godzinach), w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracował tylko drugi automat.
Ponieważ w czasie wspólnej pracy pierwszy automat wykonuje 45 pracy, którą wykonuje drugi, więc y=45x.
W ciągu godziny pierwszy automat wykonuje 1x całej pracy, drugi – 1y całej pracy.
Zatem, kiedy automaty pracowały jeden po drugim, to pierwszy automat wykonał
59y1x=5945x1x=49 całej pracy.
Wobec tego drugi automat wykonał 59 całej pracy, więc pracował przez 59y godzin. Oznacza to, że cała praca została wykonana w ciągu
59y+59y=109y godzin.
Stąd, wynika, że gdyby oba automaty pracowały razem, to wykonałyby całą pracę w ciągu 109y-203 godzin.
Zatem

109y-2031x+1y=1
10945x-2031x+145x=1
8x-60994x=1
8x-60=4x
x=15

Oznacza to, że pierwszy automat samodzielnie wykonałby tę pracę w ciągu 15 godzin, a drugi – w ciągu 12 godzin.

iYcmaHaJ3L_d5e405
A
Ćwiczenie 1

Firma budująca pewien odcinek autostrady zatrudniła do prac geodezyjnych trzy zespoły: G1, G2G3. Zespół G1 wykonałby tę pracę w ciągu 12 dni, zespół G2 – w ciągu 15 dni, a zespół G3 – w ciągu 60 dni. W ciągu ilu dni zostaną wykonane prace geodezyjne, gdy wszystkie trzy zespoły będą pracować jednocześnie?

A
Ćwiczenie 2

Do wykonania pewnej pracy można użyć każdego z dwóch automatów. Pierwszy z nich samodzielnie wykonuje tę pracę w ciągu 4 godzin, a drugi – w ciągu 5 godzin. Oba automaty włączono do wspólnej pracy na 2 godziny. Ile czasu potrzebowałby każdy z tych automatów, żeby dokończyć pracę samodzielnie?

A
Ćwiczenie 3

W firmie świadczącej usługi obróbki plastycznej pracują trzy różne automaty, które tłoczą metalowe detale. Firma przyjęła zlecenie wykonania pewnej liczby takich detali. Gdyby automaty pracowały oddzielnie, to pierwszy z nich wykonałby zleconą liczbę detali w ciągu 16 godzin, drugi – w ciągu 10 godzin, a trzeci – w ciągu 24 godzin. Do wykonania tej pracy najpierw włączono na 2 godziny tylko pierwszy automat, następnie drugi pracował sam przez 5 godzin. Ile godzin musiał potem pracować trzeci automat, żeby dokończyć zleconą pracę?

A
Ćwiczenie 4

Do wykonania pewnej liczby detali można użyć każdego z dwóch automatów. Oba automaty, pracując jednocześnie, wykonałyby tę liczbę detali w ciągu 4 godzin. Gdyby pierwszy pracował samodzielnie przez 5 godzin, to oba automaty, aby wykonać wymaganą liczbę detali, musiałyby pracować jeszcze przez 3 godziny.
W jakim czasie każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę liczbę detali?

A
Ćwiczenie 5

Pewna firma planowała wykonać w ciągu 12 dni prace zbrojeniowe przy budowie wiaduktu drogowego, wykorzystując do tego celu dwa zespoły zbrojarzy: zespół A i zespół B. Po 3 dniach od rozpoczęcia wspólnej pracy zespół B został przeniesiony do pracy w innym miejscu, więc zespół A dokończył tę pracę sam. W tych warunkach prace trwały dwa razy dłużej, niż planowano. W ciągu ilu dni każdy z tych zespołów robotników wykonałby samodzielnie zlecone prace zbrojeniowe?

A
Ćwiczenie 6

Dwa różne automaty wykonują razem daną pracę w ciągu 5 godzin. Gdyby najpierw przez 3 godziny pracował tylko pierwszy automat, a następnie przez 6 godzin pracował tylko drugi, to wykonałyby razem 70% całej pracy. W ciągu ilu godzin każdy z tych automatów wykonuje całą pracę?

A
Ćwiczenie 7

Dwa zespoły robotników, pracując wspólnie, wykonały pewną pracę. Aby wykonać tę pracę oddzielnie, pierwszy zespół musiałby pracować o 4 godziny dłużej, a drugi 3,5 raza dłużej niż wtedy, gdy pracowały razem. W jakim czasie każdy z tych zespołów może samodzielnie wykonać tę pracę?

iYcmaHaJ3L_d5e581
A
Ćwiczenie 8

Do wykonania pewnej liczby detali można użyć każdego z dwóch automatów. Oba automaty, pracując jednocześnie, wykonałyby tę liczbę detali w ciągu 6 godzin. Gdyby pracowały kolejno: najpierw pierwszy samodzielnie wykonałby połowę detali, a następnie drugi samodzielnie dokończyłby pracę, to wymaganą liczbę detali wykonałyby w ciągu 16 godzin. W jakim czasie każdy z tych automatów może samodzielnie wykonać tę liczbę detali?

A
Ćwiczenie 9

Do zbiornika o pojemności 840 m3 można doprowadzić wodę dwiema rurami. W ciągu jednej godziny pierwsza rura dostarcza do zbiornika o 7 m3 wody więcej niż druga rura. Czas napełniania zbiornika wodą tylko z pierwszej rury jest o 6 godzin krótszy od czasu napełniania tego zbiornika wodą tylko z drugiej rury. Oblicz, w ciągu ilu godzin pusty zbiornik zostanie napełniony, jeśli woda będzie doprowadzana przez obie rury jednocześnie.

A
Ćwiczenie 10

Do zbiornika o pojemności 900 m3 można doprowadzić wodę dwiema rurami. W ciągu jednej godziny pierwsza rura dostarcza do zbiornika o 7,5 m3 wody mniej niż druga rura. Czas napełniania zbiornika wodą tylko z  pierwszej rury jest o 20 godzin dłuższy od czasu napełniania tego zbiornika wodą tylko z drugiej rury. Oblicz, w ciągu ilu godzin pusty zbiornik zostanie napełniony, jeśli woda będzie doprowadzana przez obie rury jednocześnie.

A
Ćwiczenie 11

Dwa różne automaty wykonują razem pewną pracę w ciągu 2 godzin. Pierwszy automat, pracując samodzielnie, potrzebuje na wykonanie tej pracy o 3 godziny mniej niż drugi automat pracujący samodzielnie. W ciągu ilu godzin każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę pracę?

A
Ćwiczenie 12

Dwa różne automaty mają wykonać pewną pracę. Gdyby pierwszy automat pracował sam przez półtorej godziny, to aby dokończyć pracę oba automaty musiałyby pracować razem jeszcze przez 5,5 godziny. Pierwszy automat pracujący samodzielnie wykonuje tę pracę w czasie o 3 godziny dłuższym niż drugi automat pracujący samodzielnie. W ciągu ilu godzin każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę pracę?

A
Ćwiczenie 13

Dwa różne automaty wykonały pewną liczbę detali, przy czym pierwszy automat najpierw przez godzinę pracował sam, a następnie oba razem pracowały jeszcze przez pewien czas. Po trzech godzinach od momentu rozpoczęcia pracy pierwszego automatu wykonano 45% całej pracy, a po jej zakończeniu okazało się, że każdy z automatów wykonał po tyle samo detali. W ciągu ilu godzin każdy z automatów może samodzielnie wykonać tę liczbę detali?

A
Ćwiczenie 14

Dwa automaty wykonały pewną pracę, pracując kolejno: najpierw tylko pierwszy, potem tylko drugi. Pierwszy automat pracował wtedy 56 tego czasu, w którym drugi automat może wykonać całą pracę.
Gdyby oba automaty pracowały razem, to wówczas wykonałyby całą pracę w czasie o 8,5 godziny krótszym, przy czym pierwszy automat wykonałby 35 tej pracy, którą wykonałby wówczas drugi. W jakim czasie każdy z automatów może wykonać tę pracę samodzielnie?