E-materiały przeznaczone do nauki w szkołach lub do samodzielnej pracy ucznia.

I.

Sprawność rachunkowa. Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych. (34)

1.

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel. (40)

2.

Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych. (54)

1)

wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych; (59)

2)

przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia nie trudniejsze niż: a) dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych, b) dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3, to jej trzecia potęga przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2; (7)

3)

stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych; (8)

4)

stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach; (23)

5)

stosuje własności monotoniczności potęgowania, w szczególności własności: jeśli x < y oraz a > 1 , to a x < a y , zaś gdy x < y i 0 < a < 1, to a x > a y ; (6)

6)

posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej; (11)

7)

stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania i nierówności typu x +4=5, x -2 (20)

8)

wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów; (6)

9)

stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi. (14)

I.

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto stosuje wzór na zamianę podstawy logarytmu. (0)

1)

przekształca równania i nierówności w sposób równoważny; (44)

2)

interpretuje równania i nierówności sprzeczne oraz tożsamościowe; (13)

3)

rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą; (9)

4)

rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe; (15)

5)

rozwiązuje równania wielomianowe, które dają się doprowadzić do równania kwadratowego, w szczególności równania dwukwadratowe; (5)

6)

rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania; (4)

7)

rozwiązuje równania wymierne postaci V(x)W(x)=0 , gdzie wielomiany V (x) i W(x) są zapisane w postaci iloczynowej. (4)

Zakres rozszerzony

Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto: (0)

Zakres rozszerzony 1)

rozwiązuje nierówności wielomianowe typu: W(x) > 0, W(x) ≥ 0, W(x) < 0, W(x) ≤ 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania; (0)

Zakres rozszerzony 2)

rozwiązuje równania i nierówności wymierne nie trudniejsze niż x+1x(x-1)+1x+1≥2x(x-1)(x+1); (0)

Zakres rozszerzony 3)

stosuje wzory Viète’a dla równań kwadratowych; (0)

Zakres rozszerzony 4)

rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną, o stopniu trudności nie większym niż: 2I x+3I +3 Ix−1I =13,I x+2I +2I x−3 I (6)

Zakres rozszerzony 5)

analizuje równania i nierówności liniowe z parametrami oraz równania i nierówności kwadratowe z parametrami, w szczególności wyznacza liczbę rozwiązań w zależności od parametrów, podaje warunki, przy których rozwiązania mają żądaną własność, i wyznacza rozwiązania w zależności od parametrów. (9)

1)

określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach); (19)

2)

oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym; (19)

3)

odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie; (28)

4)

odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane; (28)

5)

interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej; (5)

6)

wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach; (7)

7)

szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem; (8)

8)

interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje); (7)

9)

wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie; (8)

10)

wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym; (4)

11)

wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym; (12)

12)

na podstawie wykresu funkcji y = f (x) szkicuje wykresy funkcji y = f (x−a) , y = f (x) +b, y = − f (x) , y = f (−x) ; (12)

13)

posługuje się funkcją f(x)=ax , w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych; (5)

14)

posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi. (5)

Zakres rozszerzony

Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto: (0)

Zakres rozszerzony 1)

na podstawie wykresu funkcji y = f (x) rysuje wykres funkcji y = f (x) (0)

Zakres rozszerzony 2)

posługuje się złożeniami funkcji; (0)

Zakres rozszerzony 3)

dowodzi monotoniczności funkcji zadanej wzorem, jak w przykładzie: wykaż, że funkcja f(x)=x-1x+2 jest monotoniczna w przedziale (−∞, −2) . (0)

1)

oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym; (0)

a)

a1=0,001an+1=an+12an(1-an) (0)

b)

a1=1a2=1an+2=an+1+an (0)

3)

w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący; (0)

4)

sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny; (4)

5)

stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego; (5)

6)

stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego; (4)

7)

wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym. (7)

Zakres rozszerzony.

Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto: (0)

Zakres rozszerzony 1)

oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu 1n, an oraz twierdzeń o granicach sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych, a także twierdzenia o trzech ciągach; (4)

Zakres rozszerzony 2)

rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę. (0)

1)

wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180° , w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°; (9)

2)

znajduje przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych, korzystając z tablic lub kalkulatora; (11)

3)

znajduje za pomocą tablic lub kalkulatora przybliżoną wartość kąta, jeśli dana jest wartość funkcji trygonometrycznej; (0)

4)

korzysta z wzorów sin2 α + cos2 α =1, tgα=sin αcos α; (10)

5)

stosuje twierdzenia sinusów i cosinusów oraz wzór na pole trójkąta 12×a×b×sinƳ (8)

6)

oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty). (9)

Zakres rozszerzony.

Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto: (0)

Zakres rozszerzony 1)

stosuje miarę łukową, zamienia miarę łukową kąta na stopniową i odwrotnie; (0)

Zakres rozszerzony 2)

posługuje się wykresami funkcji trygonometrycznych: sinus, cosinus, tangens; (9)

Zakres rozszerzony 3)

wykorzystuje okresowość funkcji trygonometrycznych; (5)

Zakres rozszerzony 4)

stosuje wzory redukcyjne dla funkcji trygonometrycznych; (0)

Zakres rozszerzony 5)

korzysta z wzorów na sinus, cosinus i tangens sumy i różnicy kątów, a także na funkcje trygonometryczne kątów podwojonych; (9)

Zakres rozszerzony 6)

ozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne o stopniu trudności nie większym niż w przykładach: 4 cos 2x cos 5x = 2 cos 7x +1 , 2 sin2x≤1. (7)

1)

wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa; (15)

2)

rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok; (10)

3)

rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności; (7)

4)

korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach; (7)

5)

stosuje własności kątów wpisanych i środkowych; (7)

6)

stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu; (0)

7)

stosuje twierdzenia: Talesa, odwrotne do twierdzenia Talesa, o dwusiecznej kąta oraz o kącie między styczną a cięciwą; (0)

8)

korzysta z cech podobieństwa trójkątów; (7)

9)

wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych; (8)

10)

wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności; (8)

11)

stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur; (0)

12)

przeprowadza dowody geometryczne. (5)

Zakres rozszerzony

Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto stosuje własności czworokątów wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu. (0)

1)

rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje; (8)

2)

posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich jak na przykład przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość lub prostopadłość do innej prostej, styczność do okręgu); (18)

3)

oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych; (7)

4)

posługuje się równaniem okręgu x-a2 + y-b2=r2 (0)

5)

oblicza odległość punktu od prostej; (4)

6)

znajduje punkty wspólne prostej i okręgu oraz prostej i paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej; (0)

7)

wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych). (0)

Zakres rozszerzony

Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto: (0)

Zakres rozszerzony 1)

stosuje równanie okręgu w postaci ogólnej; (0)

Zakres rozszerzony 2)

znajduje punkty wspólne dwóch okręgów; (0)

Zakres rozszerzony 3)

zna pojęcie wektora i oblicza jego współrzędne oraz długość, dodaje wektory i mnoży wektor przez liczbę, oba te działania wykonuje zarówno analitycznie, jak i geometrycznie. (21)

1)

rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się; (6)

2)

posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami; (4)

3)

rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów; (6)

4)

rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów; (6)

5)

określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną; (0)

6)

oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń; (15)

7)

wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych. (0)

Zakres rozszerzony

Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto: (0)

Zakres rozszerzony 1)

zna i stosuje twierdzenie o prostej prostopadłej do płaszczyzny i o trzech prostopadłych; (0)

Zakres rozszerzony 2)

wyznacza przekroje sześcianu i ostrosłupów prawidłowych oraz oblicza ich pola, także z wykorzystaniem trygonometrii. (0)

1)

zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych; (0)

Zakres rozszerzony.

Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto: (0)

Zakres rozszerzony 1)

oblicza liczbę możliwych sytuacji, spełniających określone kryteria, z wykorzystaniem reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) oraz wzorów na liczbę: permutacji, kombinacji i wariacji, również w przypadkach wymagających rozważenia złożonego modelu zliczania elementów; (5)

Zakres rozszerzony 2)

stosuje współczynnik dwumianowy (symbol Newtona) i jego własności przy rozwiązywaniu problemów kombinatorycznych. (0)