II.1.

E-materiały przeznaczone do nauki w szkołach lub do samodzielnej pracy ucznia.
Szkoła ponadpodstawowa/ponadgimnazjalna

Cele kształcenia – wymagania ogólne:

I.

Sprawność rachunkowa. Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych. (34)

II.

Wykorzystanie i tworzenie informacji.

1.

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel. (40)

2.

Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych. (54)

1)

wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych; (59)

2)

przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia nie trudniejsze niż: a) dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych, b) dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3, to jej trzecia potęga przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2; (7)

3)

stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych; (8)

4)

stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach; (24)

5)

stosuje własności monotoniczności potęgowania, w szczególności własności: jeśli x < y oraz a > 1 , to a x < a y , zaś gdy x < y i 0 < a < 1, to a x > a y ; (6)

6)

posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej; (12)

7)

stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania i nierówności typu x +4=5, x -2 (20)

8)

wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów; (6)

9)

stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi. (15)

I.

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto stosuje wzór na zamianę podstawy logarytmu. (1)

1)

przekształca równania i nierówności w sposób równoważny; (46)

2)

interpretuje równania i nierówności sprzeczne oraz tożsamościowe; (13)

3)

rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą; (9)

4)

rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe; (16)

5)

rozwiązuje równania wielomianowe, które dają się doprowadzić do równania kwadratowego, w szczególności równania dwukwadratowe; (6)

6)

rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania; (4)

7)

rozwiązuje równania wymierne postaci V(x)W(x)=0 , gdzie wielomiany V (x) i W(x) są zapisane w postaci iloczynowej. (4)

Zakres rozszerzony

Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto: (0)

Zakres rozszerzony 1)

rozwiązuje nierówności wielomianowe typu: W(x) > 0, W(x) ≥ 0, W(x) < 0, W(x) ≤ 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania; (0)

Zakres rozszerzony 2)

rozwiązuje równania i nierówności wymierne nie trudniejsze niż x+1x(x-1)+1x+1≥2x(x-1)(x+1); (3)

Zakres rozszerzony 3)

stosuje wzory Viète’a dla równań kwadratowych; (3)

Zakres rozszerzony 4)

rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną, o stopniu trudności nie większym niż: 2I x+3I +3 Ix−1I =13,I x+2I +2I x−3 I (6)

Zakres rozszerzony 5)

analizuje równania i nierówności liniowe z parametrami oraz równania i nierówności kwadratowe z parametrami, w szczególności wyznacza liczbę rozwiązań w zależności od parametrów, podaje warunki, przy których rozwiązania mają żądaną własność, i wyznacza rozwiązania w zależności od parametrów. (12)

1)

określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach); (19)

2)

oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym; (22)

3)

odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie; (29)

4)

odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane; (28)

5)

interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej; (5)

6)

wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach; (7)

7)

szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem; (8)

8)

interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje); (7)

9)

wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie; (8)

10)

wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym; (4)

11)

wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym; (12)

12)

na podstawie wykresu funkcji y = f (x) szkicuje wykresy funkcji y = f (x−a) , y = f (x) +b, y = − f (x) , y = f (−x) ; (15)

13)

posługuje się funkcją f(x)=ax , w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych; (5)

14)

posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi. (19)

Zakres rozszerzony

Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto: (0)

Zakres rozszerzony 1)

na podstawie wykresu funkcji y = f (x) rysuje wykres funkcji y = f (x) (2)

Zakres rozszerzony 2)

posługuje się złożeniami funkcji; (0)

Zakres rozszerzony 3)

dowodzi monotoniczności funkcji zadanej wzorem, jak w przykładzie: wykaż, że funkcja f(x)=x-1x+2 jest monotoniczna w przedziale (−∞, −2) . (0)

1)

oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym; (2)

a)

a1=0,001an+1=an+12an(1-an) (0)

b)

a1=1a2=1an+2=an+1+an (0)

3)

w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący; (2)

4)

sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny; (4)

5)

stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego; (5)

6)

stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego; (4)

7)

wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym. (7)

Zakres rozszerzony.

Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto: (0)

Zakres rozszerzony 1)

oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu 1n, an oraz twierdzeń o granicach sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych, a także twierdzenia o trzech ciągach; (4)

Zakres rozszerzony 2)

rozpoznaje zbieżne szeregi geometryczne i oblicza ich sumę. (0)

1)

wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180° , w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°; (9)

2)

znajduje przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych, korzystając z tablic lub kalkulatora; (11)

3)

znajduje za pomocą tablic lub kalkulatora przybliżoną wartość kąta, jeśli dana jest wartość funkcji trygonometrycznej; (1)

4)

korzysta z wzorów sin2 α + cos2 α =1, tgα=sin αcos α; (10)

5)

stosuje twierdzenia sinusów i cosinusów oraz wzór na pole trójkąta 12×a×b×sinƳ (8)

6)

oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty). (9)

Zakres rozszerzony.

Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto: (0)

Zakres rozszerzony 1)

stosuje miarę łukową, zamienia miarę łukową kąta na stopniową i odwrotnie; (1)

Zakres rozszerzony 2)

posługuje się wykresami funkcji trygonometrycznych: sinus, cosinus, tangens; (9)

Zakres rozszerzony 3)

wykorzystuje okresowość funkcji trygonometrycznych; (5)

Zakres rozszerzony 4)

stosuje wzory redukcyjne dla funkcji trygonometrycznych; (3)

Zakres rozszerzony 5)

korzysta z wzorów na sinus, cosinus i tangens sumy i różnicy kątów, a także na funkcje trygonometryczne kątów podwojonych; (9)

Zakres rozszerzony 6)

ozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne o stopniu trudności nie większym niż w przykładach: 4 cos 2x cos 5x = 2 cos 7x +1 , 2 sin2x≤1. (7)

1)

wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa; (16)

2)

rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok; (10)

3)

rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności; (7)

4)

korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach; (7)

5)

stosuje własności kątów wpisanych i środkowych; (8)

6)

stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu; (3)

7)

stosuje twierdzenia: Talesa, odwrotne do twierdzenia Talesa, o dwusiecznej kąta oraz o kącie między styczną a cięciwą; (1)

8)

korzysta z cech podobieństwa trójkątów; (7)

9)

wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych; (8)

10)

wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności; (8)

11)

stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur; (0)

12)

przeprowadza dowody geometryczne. (6)

Zakres rozszerzony

Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto stosuje własności czworokątów wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu. (1)

1)

rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje; (9)

2)

posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich jak na przykład przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość lub prostopadłość do innej prostej, styczność do okręgu); (21)

3)

oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych; (8)

4)

posługuje się równaniem okręgu x-a2 + y-b2=r2 (0)

5)

oblicza odległość punktu od prostej; (4)

6)

znajduje punkty wspólne prostej i okręgu oraz prostej i paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej; (0)

7)

wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych). (0)

Zakres rozszerzony

Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto: (0)

Zakres rozszerzony 1)

stosuje równanie okręgu w postaci ogólnej; (0)

Zakres rozszerzony 2)

znajduje punkty wspólne dwóch okręgów; (0)

Zakres rozszerzony 3)

zna pojęcie wektora i oblicza jego współrzędne oraz długość, dodaje wektory i mnoży wektor przez liczbę, oba te działania wykonuje zarówno analitycznie, jak i geometrycznie. (21)

1)

rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się; (6)

2)

posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami; (4)

3)

rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów; (6)

4)

rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów; (6)

5)

określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną; (1)

6)

oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń; (15)

7)

wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych. (2)

Zakres rozszerzony

Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto: (0)

Zakres rozszerzony 1)

zna i stosuje twierdzenie o prostej prostopadłej do płaszczyzny i o trzech prostopadłych; (0)

Zakres rozszerzony 2)

wyznacza przekroje sześcianu i ostrosłupów prawidłowych oraz oblicza ich pola, także z wykorzystaniem trygonometrii. (1)

1)

zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych; (3)

Zakres rozszerzony.

Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto: (0)

Zakres rozszerzony 1)

oblicza liczbę możliwych sytuacji, spełniających określone kryteria, z wykorzystaniem reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) oraz wzorów na liczbę: permutacji, kombinacji i wariacji, również w przypadkach wymagających rozważenia złożonego modelu zliczania elementów; (5)

Zakres rozszerzony 2)

stosuje współczynnik dwumianowy (symbol Newtona) i jego własności przy rozwiązywaniu problemów kombinatorycznych. (2)