Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Udostępnij materiał Zapisz jako PDF

Własności trójkątów podobnych

R19eCRxGeEF0y1
Animacja przedstawia trójkąt A B C i mniejszy od niego trójkąt A prim B prim C prim. Odpowiednie kąty obu trójkątów mają takie same miary. Zmieniając położenie wierzchołków trójkąta A B C zmieniają się długości boków, zachowując ich proporcję. Długości boków trójkąta A prim B prim C prim zmieniają się zachowując ich proporcję. Odczytujemy długości odpowiednich boków w trójkątach A B C i A prim B prim C prim i obliczamy stosunki długości odpowiadających boków. Zauważamy, że stosunek długości odpowiadających boków jest wyrażony tą samą liczbą. Miary odpowiednich kątów w trójkątach A B C i A prim B prim C prim są takie same.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Wiemy już, że wielokąty podobne mają ten sam kształt. Zatem miary kątów trójkątów podobnych są równe, a  odpowiednie boki proporcjonalne.

Przykład 1
R1RTKKMegLplN1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Trójkąty ABCDEF są podobne w skali 12.

ACDF=ABDE=BCEF=12
RgSSVXbzbTJko1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Tabela. Dane

Własności trójkątów podobnych

miary odpowiednich kątów są równe

stosunek długości odpowiednich boków jest równy

CAB=FDE
ABC=DEF
BCA=EFD
ACDF=ABDE=BCEF
Ważne!

Jeżeli trójkąty są podobne, to skali podobieństwa jest równy:

  • stosunek ich obwodów

  • stosunek ich odpowiednich odcinków (np. wysokości, środkowych)

Cechy podobieństwa trójkątów

Przykład 2
REpUnPGgUs9be1

Popatrz na trójkąty przedstawione na rysunku. Drugi z nich powstał przez powiększenie długości każdego boku trójkąta ABC dwa razy. Trzeci przez powiększenie długości każdego boku trójkąta ABC trzy razy.
Odpowiadające sobie kąty mają jednakowe miary, a odpowiadające sobie boki są proporcjonalne. Takie trójkąty nazywamy podobnymi.
Figury podobne to takie, które mają jednakowy kształt, a mogą się różnić wielkością. Przykładami figur podobnych są kopie tego samego obrazka, które powiększamy lub pomniejszamy.

Żeby stwierdzić, czy dwa trójkąty są podobne, korzystamy z cech podobieństwa trójkątów.

Cechy podobieństwa trójkątów
Twierdzenie: Cechy podobieństwa trójkątów
  • Cecha bok‑bok‑bok (bbb)

Jeżeli każdy bok trójkąta A'B'C' jest proporcjonalny do odpowiedniego boku trójkąta ABC, to trójkąty te są podobne.

R1bafCpt9XUKL1
Animacja pokazuje trójkąt A B C o długościach boków 4, 5, 6 oraz trójkąt A prim B prim C prim, w którym można zmieniać długości boków zachowując ich proporcję. Trójkąty są nadal podobne i stosunek odpowiednich boków obu trójkątów pozostaje zawsze taki sam. Jest to cecha bbb.
iCiq9n35Oi_d5e225
RSPcg6BAdXahw1
Animacja pokazuje trzy różnych wymiarów zdjęcia tej samej budowli w kształcie trójkątna ostrokątnego. Na zdjęciu największym zaznaczono kąty alfa, beta i gamma. Porównując, w dwóch etapach (zdjęcie największe i średnie a potem największe i najmniejsze) odpowiednie kąty tych budowli, zauważamy że odpowiednie kąty w tych trójkątach są tej samej miary, a więc trójkąty są podobne.
RaEcXctIppHWB1
Animacja pokazuje dwa różnych wymiarów zdjęcia tej samej budowli w kształcie trójkątna ostrokątnego, na których zaznaczono długości boków 12, 10, 8 oraz 6, 5, 4. Obliczając stosunki długości każdego boku w jednym trójkącie do odpowiadającego mu boku w drugim trójkącie, zauważamy że są one równe. Trójkąty są podobne.
R1ROQgwiTBV2z1
Animacja pokazuje dwa różnych wymiarów zdjęcia tej samej budowli w kształcie trójkątna ostrokątnego. W jednym trójkącie zaznaczono boki o długości 12 i 10 oraz między nimi kąt alfa, w drugim boki o długościach 6 i 5 oraz między nimi kąt alfa. Obliczając stosunki długości każdego boku w jednym trójkącie do odpowiadającego mu boku w drugim trójkącie, zauważamy że są one równe, a więc trójkąty są podobne.
Skala podobieństwa trójkątów
Twierdzenie: Skala podobieństwa trójkątów

Jeżeli trójkąty A'B'C' oraz ABC są podobne, przy czym wierzchołki A,B,C odpowiadają wierzchołkom odpowiednio A',B',C', to

A'B'AB=B'C'BC=C'A'CA

oraz

A=A', B=B',C=C'.

Skalą k podobieństwa trójkątów nazywamy iloraz długości odpowiadających sobie boków w trójkątach podobnych

A'B'AB=B'C'BC=C'A'CA=k
Rcuo7CPrRW0Dr1

Zauważ, że trójkąty podobne w skali k=1 są przystające.
Podobieństwo trójkątów A'B'C' oraz ABC symbolicznie oznaczamy

A'B'C'~ABC.
R1SYXgVmnJ4j91
Animacja pokazuje trójkąt A B C o długościach boków 4, 5, 6 oraz trójkąt A prim B prim C prim, w którym poruszając jednym z wierzchołków, można proporcjonalnie zmieniać długości boków. Podana jest skala podobieństwa k trójkątów, która zmienia się w zależności o długości boków drugiego trójkąta.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
iCiq9n35Oi_d5e338

Zastosowanie cech podobieństwa trójkątów

Przykład 3

W trójkąt ABC o bokach długości a, b, c wpisano romb ADEF tak, jak na rysunku. Wykażemy, że długość boku tego rombu jest równa aba+b.

RkcKh07eqPfkW1
Animacja przedstawia trójkąt prostokątny A B C o bokach AC = a, AB = b, BC = c, w którym umieszczono romb A D E F o boku x. Wierzchołek E rombu dzieli przeciwprostokątną AC trójkąta na dwa odcinki AE = x i EC = a – x. Wierzchołek D leży na przyprostokątnej BC, zaś wierzchołek F na przyprostokątnej AB. Zauważamy, że w rombie ADEF boki AD i EF są równoległe. Zatem i bok AB w trójkącie A B C jest równoległy do boku E F w trójkącie C E F. Kąty w trójkątach A B C i C E F są równe. Kąty A C B i F C E to kąt wspólny w trójkątach A B C i C E F. Kąty C F E i C A B to kąty przy prostych równoległych. Kąty A B C i F E C to również kąty przy prostych równoległych. Trójkąty D E C i A B C są więc podobne na mocy cechy kkk. Boki w trójkącie C E F są równe x, y, a - x. Z podobieństwa trójkątów D E C i A B C wynika, że stosunek odpowiednich boków tych trójkątów jest równy. Dokonując odpowiednie przekształcenia otrzymujemy, że długość boku tego rombu x jest równa: początek ułamka a razy b przez a +b koniec ułamka.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 4

Można wykazać, że odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do boku trzeciego. Uzasadnij, że jest równy połowie boku trzeciego.
Rozważmy trójkąt ABC, w którym punkty DE są środkami boków odpowiednio ACBC oraz

CB=2a,AB=c,DE=x
R1K6Ih4LZJKcP1
Animacja przedstawia trójkąt A B C, w którym kąt C A B = alfa i kąt A C B = beta. Punkty D i E są środkami boków odpowiednio AC i BC. Poprowadzony odcinek DE. Odpowiednie boki mają długości CB = 2 razy a, AB = c oraz DE = x. Zauważamy, że trójkąty D E C i A B C są podobne, na podstawie cechy kkk. Kąty A C B i D C E to kąt wspólny trójkątów A B C i D E C. Kąty C A B i C D E to kąty przy prostych równoległych. Kąty C B A i C E D to również kąty przy prostych równoległych. Z podobieństwa trójkątów wynika równość stosunków ich odpowiednich boków. Dokonując odpowiednie przekształcenia otrzymujemy, dla podanych długości boków, odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równy połowie boku trzeciego.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 1

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1YOYi8Gl5JFF
static
classicmobile
Ćwiczenie 2

Trójkąty ABCDEF są podobne. Długości boków trójkąta ABC są równe 8, 612. Najkrótszy bok trójkąta DEF ma długość 3. Zatem najdłuższy bok trójkąta DEF.

RBQs9v5m4mVE2
static
classicmobile
Ćwiczenie 3

Trójkąty ABCDEF są podobne. Miary dwóch kątów trójkąta ABC są równe 126°, 39°. Najmniejszy kąt trójkąta DEF ma miarę

RXL7GOdWcweCo
static
classicmobile
Ćwiczenie 4

Stosunek boków dwóch trójkątów podobnych jest równy 9: 36 . Stosunek obwodów tych trójkątów jest równy

R1XOZrETdj4jP
static
classicmobile
Ćwiczenie 5

Trójkąty ABCDEF są podobne.

R1du7DTAqmIVL1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zatem

RKY6kV4T71Ivm
static
classicmobile
Ćwiczenie 6

Odcinki BCDE są równoległe.

Rb1iBqkDuxlMq1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zatem

ROpc5oeun5lDh
static
classicmobile
Ćwiczenie 7

Odcinki BCDE są równoległe.

R1TzDHxiIjjs21
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zatem

R12SEx5Zhwza9
static
iCiq9n35Oi_d5e803
classicmobile
Ćwiczenie 8

Zaznacz, która cecha podobieństwa trójkątów pozwala stwierdzić, czy trójkąty na rysunku są podobne.

RKjdCBuU76YjO1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RZDCoWyZz9poI
static
B
Ćwiczenie 9

Wiadomo, że odcinki ABCD są równoległe.

RrgCFuZvdnyWT1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Czy wtedy DMCM=MBMA?

B
Ćwiczenie 10

O dwóch trójkątach równoramiennych wiadomo, że mają jeden kąt równy. Czy są to więc na pewno trójkąty podobne?

B
Ćwiczenie 11

W trapezie ABCD podstawy ABDC mają długości 20 cm10 cm, a ramię AD ma długość 8 cm. Przedłużenia ramion przecinają się w punkcie E. Oblicz długość odcinka DE.

B
Ćwiczenie 12

W trójkącie ABC punkt D jest środkiem odcinka AB, punkt E leży na boku BC. Odcinki
ACDE są równoległe. Odcinek AC ma długość 22 cm, odcinek DB ma długość 8 cmCE ma długość 10 cm. Oblicz obwody trójkątów ABCDBE.

B
Ćwiczenie 13

W trójkącie ABC bok AB ma długość 10 cm. Na boku AC zaznaczono punkt D taki, że odcinek AD jest cztery razy dłuższy od odcinka DC. Przez punkt D poprowadzono prostą równoległą do boku BC, która przecięła bok AB w punkcie E. Oblicz długość odcinków AEEB.

classicmobile
Ćwiczenie 14

Trójkąt A’B’C’ o obwodzie 96 dm jest podobny do trójkąta ABC o bokach długości 6 dm, 8dm, 10 dm. Najkrótszy bok trójkąta A’B’C’ ma długość:

R2xVC0QSJhzyU
static
C
Ćwiczenie 15

Wykaż, że odcinki łączące środki kolejnych boków dowolnego czworokąta tworzą równoległobok.

B
Ćwiczenie 16

Narysuj dowolny trójkąt i podziel go na dwa trójkąty, których stosunek pól wynosi 4:9.

A
Ćwiczenie 17

Obrazek ma kształt trójkąta o podstawie długości 10 cm i wysokości 8 cm. Obrazek chcemy powiększyć za pomocą kserografu tak, aby wysokość tak otrzymanego trójkąta była równa 32 cm. Jaką długość będzie miała wówczas podstawa tego trójkąta ?

classicmobile
Ćwiczenie 18

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RGaM0q73qIk09
static
B
Ćwiczenie 19

W trapezie równoramiennym, którego boki mają długości 20, 12, 8, 8, przedłużono ramiona, które przecięły się w punkcie S. Oblicz odległości punktu S od obu podstaw.

B
Ćwiczenie 20

Dane są dwa trójkąty podobne ABC oraz A’B’C’. Podstawy tych trójkątów mają długości AB=16,8 ,A'B'=21. Wysokość CD opuszczona na bok AB ma długość 14,4. Oblicz wysokość C’D’ trójkąta A’B’C’ opuszczoną na bok A’B’.

R4WECUSszAeQD1
Animacja przedstawia dwa trójkąty podobne A B C i A prim B prim C prim takie, że jeden jest powiększeniem drugiego. Dany jest punkt S, z którego poprowadzone są linie pomocnicze przechodzące odpowiednio przez wierzchołki A i A prim, B i B prim oraz C i C prim obu trójkątów. Odczytujemy długości odpowiednich boków w trójkątach A B C i A prim B prim C prim. Następnie obliczamy stosunki długości odpowiadających boków. Trójkąty są podobne do siebie, gdy stosunki długości odpowiadających boków w obu trójkątach są takie same. Cecha bbb.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Rr4Rrc9JLCPU21
Animacja przedstawia dwa trójkąty podobne A B C i A prim B prim C prim takie, że jeden jest powiększeniem drugiego. Dany jest punkt S, z którego poprowadzone są linie pomocnicze przechodzące odpowiednio przez wierzchołki A i A prim, B i B prim oraz C i C prim obu trójkątów. Kąty A C B i A prim C prim B prim mają takie same miary. Poruszając wierzchołkami trójkąta A B C zmieniamy, zachowując proporcje ich boków, skalę powiększenia lub pomniejszenia tych trójkątów. Obserwujemy miary dwóch kątów i długości boków w trójkątach A B C i A prim B prim C prim. Miary dwóch kątów są takie same. Odczytujemy długości odpowiednich boków w trójkątach A B C i A prim B prim C prim. Następnie obliczamy stosunki długości odpowiadających boków.Trójkąty są podobne do siebie, gdy stosunek długości dwóch jego boków jest taki sam i miara kąta pomiędzy tymi bokami jest w obu trójkątach równa. Cecha bkb.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
RlnJs9YheCYz21
Animacja przedstawia dwa trójkąty podobne A B C i A prim B prim C prim takie, że jeden jest powiększeniem drugiego. Dany jest punkt S, z którego poprowadzone są linie pomocnicze przechodzące odpowiednio przez wierzchołki A i A prim, B i B prim oraz C i C prim obu trójkątów. Poruszając wierzchołkami trójkąta A B C zmieniamy skalę powiększenia lub pomniejszenia tych trójkątów. Obserwujemy miary ich kątów. Miary dwóch kątów są takie same. Trzecie kąty mają takie same miary, gdyż dopełniają poprzednie dwa do 180 stopni. Trójkąty są podobne do siebie, gdy miary odpowiadających kątów są równe.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.