Autor: Justyna Cybulska

Przedmiot: Matematyka

Temat: Utytułowane liczby

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

II. Wyrażenia algebraiczne. Zakres podstawowy.

Uczeń:

1) stosuje wzory skróconego mnożenia na: ${\left(a+b\right)}^2$, ${\left(a-b\right)}^2$, $a^2-b^2$, ${\left(a+b\right)}^3$, ${\left(a-b\right)}^3$, $a^3-b^3$, $a^n-b^n$.

Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

2) stosuje podstawowe własności trójkąta Pascala oraz następujące własności współczynnika dwumianowego (symbolu Newtona): $\left(\begin{array}{l}n\\ 0\end{array}\right)=1$, $\left(\begin{array}{l}n\\ 1\end{array}\right)=n$, $\left(\begin{array}{c}n\\ n-1\end{array}\right)=n$, $\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n\\ n-k\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ k+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}n+1\\ k+1\end{array}\right)$;

3) korzysta ze wzorów na: $a^3+b^3$, ${\left(a+b\right)}^n$ i ${\left(a-b\right)}^n$.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

• kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji

• kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii

• kompetencje cyfrowe

• kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się

Cele operacyjne:

Uczeń:

• wykorzystuje symbol Newtona, obliczając wartości „utytułowanych” liczb rzeczywistych

• tworzy ciągi liczbowe, posługując się trójkątami liczbowymi

• wybiera najdogodniejszy dla siebie sposób szybkiej zamiany potęgi trójmianu na sumę

• dostrzega analogie i prowadzi proste rozumowania do ich zastosowania

• ocenia efekty własnej pracy i pracy grupy

Strategie nauczania:

• konstruktywizm

Metody i techniki nauczania:

• analogia

• mini konkurs zadaniowy

Formy pracy:

• praca indywidualna

• praca w grupach

• praca w parach

• praca całego zespołu klasowego

Środki dydaktyczne:

• komputery z dostępem do Internetu w takiej liczbie, żeby każdy uczeń miał do dyspozycji komputer

Przebieg lekcji

Faza wstępna:

1. Nauczyciel rozpoczyna zajęcia od przytoczenia kilku ciekawostek nawiązujących do historii odkrycia niektórych „utytułowanych” liczb, może też zaprezentować krótką prezentację przybliżającą te zagadnienia.

2. Następnie informuje uczniów o temacie i celu zajęć.

Faza realizacyjna:

1. Uczniowie w grupach przypominają wiadomości na temat trójkąta Pascala i zapoznają się z materiałem zawartym w sekcji „Przeczytaj” oraz w sekcji „Animacja”.
   Ich zadaniem jest, posługując się analogią, ułożenie swojego trójkąta liczbowego, według wymyślonego przez siebie klucza.
   Grupy wymieniają się zadaniami – mają ustalić „klucz” tworzenia trójkąta, który otrzymali i znaleźć jak najwięcej jego własności.
   Po zakończeniu tej część zająć, grupy prezentują swoje dokonania. Grupy które utworzyły najciekawsze trójkąty liczbowe i te, które znalazły najwięcej własności trójkątów, zostają nagradzane, np. „plusami”.

2. Mini konkurs zadaniowy – uczniowie w parach rozwiązują zadania interaktywne. Najszybsze pary otrzymują „plusy”.

Faza podsumowująca:

1. Dyskusja – w rozwiązaniu jakiego typu problemów (nie tylko matematycznych) można wykorzystać „utytułowane” liczby.

2. Wybrany uczeń podsumowuje zajęcia, wskazując na ważne elementy zajęć, komentuje też trudności i problemy, z którymi borykali się uczniowie rozwiązując zadania. Dokonuje samooceny i oceny koleżeńskiej pracy pozostałych uczniów.

Praca domowa:

Zadaniem domowym uczniów jest przygotowanie co najmniej jednego przykładu „utytułowanych” liczb, o których nie było mowy w czasie lekcji.

Materiały pomocnicze:

Podzbiory zbioru skończonego (treść rozszerzona)DUzQbD05QPodzbiory zbioru skończonego (treść rozszerzona)

Wskazówki metodyczne:

Animację można wykorzystać jako wprowadzenie do kombinatoryki.