Autor: Henryk Dąbrowski

Przedmiot: Matematyka

Temat: Twierdzenie o dwusiecznej kąta w trójkącie

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum, technikum,  zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

VIII. Planimetria. Zakres podstawowy.

7) stosuje twierdzenia: Talesa, odwrotne do twierdzenia Talesa, o dwusiecznej kąta oraz o kącie między styczną a cięciwą;

12) przeprowadza dowody geometryczne.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

• kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji

• kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii

• kompetencje cyfrowe

Cele operacyjne:

Uczeń:

• zna pojęcie i stosuje własności dwusiecznej

• zna i stosuje twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie

• przeprowadza dowód twierdzenia o dwusiecznej kąta wewnętrznego trójkącie

• przeprowadza dowód twierdzenia o dwusiecznej kąta zewnętrznego trójkącie

• przeprowadza dowody geometryczne z zastosowaniem twierdzenia o dwusiecznej

Strategie nauczania:

• konstruktywizm

Metody i techniki nauczania:

• dyskusja

• rozmowa nauczająca z wykorzystaniem ćwiczeń interaktywnych

Formy pracy:

• praca indywidualna

• praca w grupach

• praca całego zespołu klasowego

Środki dydaktyczne:

• komputery z dostępem do Internetu w takiej liczbie, żeby każda para uczniów miała do dyspozycji komputer; lekcję tę można przeprowadzić, mając do dyspozycji jeden komputer z rzutnikiem multimedialnym

Przebieg lekcji

Faza wstępna:

1. Nauczyciel prosi o przypomnienie pojęcia dwusiecznej i jej własności oraz symetralnej i jej własności, szczególnie w kontekście osi symetrii.

2. Nauczyciel sygnalizuje, że na lekcji uczniowie dalej będą poznawać własności dwusiecznej i formułuje problem dotyczący punktu wspólnego dwusiecznej i symetralnej boku leżącego naprzeciw danego kąta. Korzystając z przygotowanego wcześniej rysunku (apletu Geogebry) formułuje tezę o położeniu tego punktu na okręgu opisanym na trójkącie i zachęca uczniów, by w domu zastanowili się nad dowodem tej zależności.

3. Nauczyciel podaje temat i cele zajęć, uczniowie ustalają kryteria sukcesu.

Faza realizacyjna:

1. Nauczyciel prosi o przypomnienie twierdzenia sinusów a następnie formułuje problem dotyczący proporcji między odcinkami wyznaczonymi przez dwusieczną i bokami oraz kątami odpowiednich trójkątów, tak sterując dyskusją, by otrzymać proporcję znaną z twierdzenia o dwusiecznej kąta wewnętrznego.

2. Nauczyciel formułuje twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego i prezentuje rysunek, na którym dorysowano odpowiednią prostą równoległą do dwusiecznej. Prosi o zapisanie odpowiednich proporcji prowadzących do tezy twierdzenia.

3. Nauczyciel sygnalizuje możliwość przeprowadzenia dowodu odwołującego się do zależności między polem trójkątów o równych wysokościach i długością podstaw i prosi uczniów o jego zredagowanie – w razie potrzeby sugeruje wykorzystanie wzoru na pole trójkąta w zależności od sinusa odpowiedniego kąta.

4. Uczniowie analizują przykłady w sekcji Przeczytaj prezentujące typowe problemy, w których wykorzystuje się twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego.

5. Nauczyciel poleca uczniom obejrzeć animację i prosi o wykonanie dołączonych poleceń.

6. Następnie nauczyciel sygnalizuje, że analogiczną proporcję odcinkową można, przy odpowiednich założeniach, zapisać dla dwusiecznej kąta zewnętrznego – prezentuje trójkąt równoramienny i formułuje pytanie o położenie dwusiecznej kąta zewnętrznego. Następnie formułuje twierdzenie i prosi wybranych uczniów o przedstawienie dowodu.

7. Uczniowie wykonują zaproponowane ćwiczenia interaktywne, wykorzystując umiejętności z różnych działów matematyki.

Faza podsumowująca:

• Nauczyciel prosi wybranych uczniów o przedstawienie najważniejszych elementów, jakie były omawiane w trakcie lekcji.

Praca domowa:

Nauczyciel poleca, aby uczniowie wykonali w domu ćwiczenia interaktywne, które nie zostały wykonane w czasie zajęć oraz przeprowadzili dowód zależności omawianej we wstępie.

Materiały pomocnicze:

Dwusieczne kątaD14fw3Im0Dwusieczne kąta

Wskazówki metodyczne:

Animację można zastosować w ramach powtórzenia przed sprawdzianem. Można ją też wykorzystać przy realizacji tematu o okręgu wpisanym w wielokąt.