Galeria zdjęć interaktywnych

Polecenie 1

Zapoznaj się z poniższą galerią, w której pokazano, w jaki sposób można obliczyć granice wybranych funkcji złożonych. Korzystając z przedstawionych w galerii metod, wykonaj polecenia zamieszczona poniżej.

R2v257RuiWvIL

R1HRyzwpQv228

Ilustracja interaktywna. Przykład drugi. Obliczymy granicę:

\lim_{x \to 0} tg (\frac{x^{2} + π x}{4 x})

1. Wyciągamy

x

przed nawias w liczniku argumentu funkcji tangens i skracamy z mianownikiem, otrzymując

\lim_{x \to 0} tg \frac{x + π}{4}

., 2. Podstawiamy

x = 0

do wzoru funkcji, otrzymując

tg \frac{π}{4}

., 3. Obliczamy wartość funkcji tangens dla argumentu

\frac{π}{4}

. Granica wynosi jeden, a całe równanie ma postać:

\lim_{x \to 0} tg (\frac{x^{2} + π x}{4 x}) = \lim_{x \to 0} tg \frac{x + π}{4} = tg \frac{π}{4} = 1

R11S5ld7RNaSW

R1NNpy93V2aOF

Ilustracja interaktywna. Przykład czwarty. Obliczymy granicę:

\lim_{x \to 3} \log_{8} (x^{2} + 2 x + 1)

. 1. Podstawiamy

x = 3

do wzoru funkcji, otrzymując

\log_{8} 16

., 2. Przedstawiamy

16

w postaci iloczynu

8 • 2

i korzystamy ze wzoru na logarytm iloczynu, skąd otrzymujemy

\log_{8} 8 + \log_{8} 2

., 3. Zapisujemy liczbę

2

w postaci potęgi liczby

8

i korzystamy ze wzoru na logarytm potęgi, otrzymując

1 + \log_{8} (8^{\frac{1}{3}}) = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}

. Całe równanie ma postać:

\lim_{x \to 3} \log_{8} (x^{2} + 2 x + 1) = \log_{8} 16 = \log_{8} 8 + \log_{8} 2 = 1 + \log_{8} (8^{\frac{1}{3}}) = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}

R7tVta8Xa6sER

Polecenie 2

Oblicz granicę

$\lim\limits_{x\to 0}\cos\left(\frac{x^3-\pi x^2}{6x^2}\right).$

$\lim\limits_{x\to 0}\cos\left(\frac{x^3-\pi x^2}{6x^2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Polecenie 3

Oblicz granicę

$\lim\limits_{x\to -4}\left[\text{log}_8(4-7x)-\text{log}_8(x+8)\right].$

$\lim\limits_{x\to -4}\left[\text{log}_8(4-7x)-\text{log}_8(x+8)\right]=1$

Przeczytaj

Sprawdź się