Twierdzenie (warunek konieczny różniczkowalności). Treść twierdzenia: jeżeli funkcja jest różniczkowalna w danym punkcie, to jest w nim też ciągła. Twierdzenie zilustrowano dwoma rysunkami. Ilustracja pierwsza przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus jeden do jedenastu oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się dwóch części. Na przedziale od minus jeden do czterech wykres przypomina poziome rozpłaszczone S, przy czym punkt początkowy o współrzędnych $\left(-1;4\right)$ jest zamalowany, punkt końcowy tej części wykresu o współrzędnych $\left(4;4\right)$ jest niezamalowany, czyli nie należy do wykresu funkcji. Druga część wykresu zaczyna się w punkcie o współrzędnych $\left(4;2\right)$ i jest zamalowany, punkt końcowy o współrzędnych $\left(10,8;2\right)$ także jest zamalowany. Wykres pomiędzy tymi punktami ma kształt nieregularnej fali. Funkcja $f$ jest nieróżniczkowalna w punkcie $4$. Ilustracja druga przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji składający się dwóch części. Na przedziale od minus pięciu do zera wykres jest ukośnym odcinkiem, przy czym punkt początkowy o współrzędnych $\left(-5;5\right)$ jest zamalowany, punkt końcowy tej części wykresu o współrzędnych $\left(0;0\right)$ jest także zamalowany. Druga część wykresu zaczyna się w punkcie o współrzędnych $\left(0;0\right)$ i jest zamalowany, punkt końcowy o współrzędnych $\left(5;5\right)$ także jest zamalowany. Wykres pomiędzy tymi punktami jest lekko zaokrąglony. Funkcja $g$ jest nieróżniczkowalna w punkcie $0$.