Przeczytaj

Pojęcie ciągłości rozważaliśmy do tej pory w nieco ogólniejszej sytuacji, gdy funkcja była określona na dowolnym zbiorze $A\subset \mathbb{R}$ . Ponieważ pojęcie różniczkowalności jest już nieco bardziej wymagające, przytoczymy znane definicje w formach odpowiednich do dalszych rozważań.

ciągłość

Definicja: ciągłość

Funkcję $f\colon \langle a,b\rangle\longrightarrow \mathbb{R}$ nazywamy ciągłą w punkcie

$x_0\in (a, b)$ , gdy granica funkcji $f$ w punkcie $x_0$ istnieje i wynosi $f(x_0)$ ,
$a$ , gdy granica prawostronna funkcji $f$ w punkcie $a$ istnieje i wynosi $f(a)$ ,
$b$ , gdy granica lewostronna funkcji $f$ w punkcie $b$ istnieje i wynosi $f(b)$ .

różniczkowalość

Definicja: różniczkowalość

Niech $f\colon \langle a,b\rangle\longrightarrow \mathbb{R}$ będzie funkcją. Wówczas

pochodną funkcji $f$ w punkcie $x_0\in (a, b)$ nazywamy liczbę (o ile istnieje)
$f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ ,
pochodną funkcji $f$ w punkcie $a$ nazywamy liczbę (o ile istnieje)
$f'(a) = \lim\limits_{x \to a^+} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ ,
pochodną funkcji $f$ w punkcie $b$ nazywamy liczbę (o ile istnieje)
$f'(b) = \lim\limits_{x \to b^-} \frac{f(x) - f(b)}{x - b}$ .

Mówimy, że funkcja $f$ jest różniczowalna w punkcie $x_0\in \langle a, b \rangle$ , gdy ma w tym punkcie pochodną

Przypominamy, że funkcję nazywamy ciągłą, gdy jest ciągła w każdym punkcie oraz różniczkowalną, gdy jest różniczkowalna w każdym punkcie.

Nietrudno dostrzec podobieństwo pomiędzy różniczkowalnością i ciągłością. Granice pojawiające się w obu przypadkach nasuwają słuszny wniosek, że pojęcia te są silnie powiązane. Kluczową zależność przedstawia twierdzenie poniżej.

warunek konieczny różniczkowalności

Twierdzenie: warunek konieczny różniczkowalności

Jeżeli funkcja $f\colon\langle a,b\rangle\longrightarrow \mathbb{R}$ jest różniczkowalnafunkcja różniczkowalnaróżniczkowalna w punkcie $x_0\in \langle a,b\rangle$ , to jest w tym punkcie ciągłafunkcja ciągłaciągła.

Dowód

Skupimy się na sytuacji, gdy $x_0\in (a,b)$ . Załóżmy, że $f$ jest różniczkowalna w ${x_0 \in (a,b)}$ . Wtedy

$\lim\limits_{x \to x_0}\left(f(x) - f(x_0)\right) = \lim\limits_{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}(x - x_0) = f'(x_0)\cdot 0 = 0$ .

Przekształcając dalej mamy $\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = f(x_0)$ , a więc granica funkcji $f$ w punkcie $x_0$ istnieje i wynosi $f(x_0)$ . Dowody przypdków $x_0 = a$ oraz $x_0 = b$ są analogiczne.

Przykład 1

Korzystając z powyższego twierdzenia, możemy bardzo łatwo wykazać, że funkcja $f\colon \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ dana wzorem

$f (x) = \{\begin{array}{cll} \cos (x) & dla & x < 0 \\ x^{2} & dla & x \geq 0 \end{array}$

nie jest różniczkowalna w punkcie $0$ , gdyż nie jest w tym punkcie ciągła. Brak ciągłości wynika z bezpośredniego rachunku wartości granicy lewostronnej w punkcie $x = 0$ i wartości funkcji w tym punkcie, czyli

$\lim\limits_{x\to 0^-} f(x) = \lim\limits_{x\to 0^-} \cos(x) = 1 \neq 0 = f(0)$ , choć można to zauważyć po prostu rysując wykres funkcji.

R1cAImYX7BIRT

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do czterech oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie zaznaczono funkcję, której wykres składa się z dwóch części. Na przedziale otwartym od minus nieskończoności do zera wykres jest kosinusoidą, natomiast na przedziale lewostronnie domkniętym od zera do plus nieskończoności wykres funkcji jest parabolą o wierzchołku w początku układu współrzędnych i o prawym ramieniu skierowanym do góry.

Należy pamiętać, że różniczkowalność jest jedynie warunkiem koniecznym ciągłości. Oznacza to, że aby funkcja była różniczkowalna w danym punkcie konieczne jest, by była w nim ciągła. Nie jest to jednak warunek wystarczający, a więc aby funkcja była w danym punkcie różniczkowalna nie wystarczy, by była w nim ciągła. Pokazuje to kolejny przykład.

Przykład 2

Niech $f\colon\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ będzie dana wzorem $f(x) = \sqrt{|x|}$ . Łatwo zauważyć, że funkcja $f$ jest ciągłafunkcja ciągłaciągła jako złożenie dwóch funkcji ciągłych. Pokażemy, że nie jest ona różniczkowalna w punkcie $0$ .

Spróbujmy policzyć pochodną prawostronną

$\lim\limits_{x \to 0^+}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim\limits_{x \to 0^+}\frac{\sqrt{|x|}}{x} = \lim\limits_{x \to 0^+}\frac{\sqrt{x}}{x} = \lim\limits_{x \to 0^+}\frac{1}{\sqrt{x}} = \infty.$

Otrzymujemy, że pochodna w punkcie $0$ nie istnieje, gdyż nie istnieje pochodna prawostronna. Można to także wywnioskować z wykresu funkcji.

R1dVvhsPXatVX

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie zaznaczono krzywą będącą wykresem funkcji pierwiastkowej fx=x i odbito ją symetrycznie względem osi X.

Jest jasne, że funkcja $f$ nie posiada pochodnej w punkcie $0$ .

Istnieją zatem funkcje ciągłe, które nie posiadają pochodnej w pewnym punkcie. Można skonstruować jednak nieco bardziej wyrafinowany przykład.

Przykład 3

Konstrukcję rozpoczniemy od znalezienia funkcji ciągłej $f\colon \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ , która ma nieskończenie wiele punktów, w których nie jest różniczkowalnafunkcja różniczkowalnaróżniczkowalna. Wystarczy przyjąć ${f(x) = |\sin(x)|}$ . Funkcja ta jest oczywiście ciągła jako złożenie funkcji ciągłych.

R1B5pLrf1vqpT

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech drugich pi do dwóch pi oraz z pionową osią Y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie zaznaczono sinusoidę odbitą względem osi Y, co oznacza, że funkcja przyjmuje wartości z zakresu od zera do jeden.

Z wykresu funkcji łatwo zauważyć, że pochodna funkcji $f$ nie istnieje dla żadnego punktu $x_0 = k\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$ . Funkcja $f$ jest zatem funkcją ciągłą, która nie posiada pochodnej w nieskończenie wielu punktach swojej dziedziny.

Spróbujmy teraz 'ścisnąć' ten wykres do zera. Posłuży nam do tego funkcja $\frac{1}{x}$ , $x > 0$ . Aby uniknąć problemów w punkcie $0$ , zdefiniujemy funkcję $g\colon (0,1)\longrightarrow \mathbb{R}$ następująco: $g(x) = \left|\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)\right|.$

RXo078FOkT7cx

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do dwóch oraz z pionową osią Y od zera do jeden. Na płaszczyźnie zaznaczono wykres funkcji w polu jeden na jeden. Przy zerze funkcja jest gęsto upakowanym zygzakiem oscylującym wokół wartości od zera do jeden. Mniej więcej dla argumentu jedna czwarta wykres przestaje się ściskać, dla argumentu około jedna trzecia ma ostatni "wyskok" od wartości zero do jeden, dalej krzywa zaokrągla się i dla argumentów większych, niż jedna druga, funkcja łagodnie maleje.

Wówczas $g$ jest funkcją ograniczoną i ciągłą. Nie posiada ona jednak pochodnej w nieskończenie wielu punktach przedziału $(0,1)$ . Zbiór punktów, w których $f$ nie posiada pochodnej jest bowiem postaci $\{\frac{1}{n π} : n \in ℕ\}$ .

Zauważmy, że funkcja $g$ ma jeszcze jedną własność, którą warto by było poprawić. Granica prawostronna $g$ w punkcie $0$ nie istnieje. Problemy z różniczkowalnością tej funkcji są również związane z otoczeniem punktu $0$ . Przyjmijmy zatem, że funckja $h\colon\langle 0, 1\rangle \longrightarrow \mathbb{R}$ i dana jest wzorem

$h (x) = \{\begin{array}{cll} 0 & dla & x \leq 0 \\ x |\sin (\frac{1}{x})| & dla & x \in (0, 1) \\ \sin (1) & dla & x \geq 1 \end{array}$ .

Sprawdzenie ciągłości funkcji $h$ w punktach $0$ i $1$ nie jest trudne. Nietrudno też wykazać, że funkcja $h$ nie posiada pochodnej w punkcie $0$ . Otrzymujemy

$\frac{h(x) - h(0)}{x - 0} = \frac{x\left|\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)\right|}{x} = \left|\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)\right|.$

Granica powyższego wyrażenia, gdy $x \to 0^+$ nie istnieje. Nie istnieje więc także pochodna w punkcie $0$ . Analogicznie wykazujemy, że funkcja $h$ jest nieróżniczkowalna w $1$ . Wykres funkcji $h$ przedstawia się następująco

RUHPL84JT4HtB

Ostatecznie udało się skonstruować funkcję ciągłą, która jest nieróżniczkowalna w nieskończenie wielu punktach przedziału $\langle 0, 1\rangle$ . Z drugiej strony, funkcja $h$ jest także różniczkowalna w nieskończenie wielu punktach.

Nasunąć się może trudne pytanie: Czy istnieje funkcja ciągła, która nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie swojej dziedziny?

Ciekawostka

Odpowiedź na to pytanie jest o dziwo pozytywna. Jej uargumentowanie wykracza jednak w znacznym stopniu poza ramy matematyki licealnej. Postaramy się jednak w miarę przystępny sposób pokazać jak może być skonstruowana funkcja o wspomnianych własnościach.

Takimi są na przykład funkcje Weierstrassa.

Dla każdej liczby naturalnej określamy funkcję ${f_n\colon \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}}$ daną wzorem $f_n(x) = \left(\tfrac{4}{5}\right)^n\cos\left(9^n\pi x\right).$

Możemy teraz przyjąć $S_n\colon \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ następująco $S_n(x) = \sum\limits_{k = 1}^n f_k(x) = f_1(x) + f_2(x) + \dots + f_n(x)$ .

Okazuje się, że dla każdego $x\in \mathbb{R}$ , ${(S_{n} (x))}_{n}$ jest zbieżnym ciągiem liczbowym. Definiujemy $f(x) = \lim\limits_{n \to \infty} S_n(x)$ dla każdego $x\in \mathbb{R}$ . Funkcja $f\colon \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ jest ciągła. Nie jest jednak różniczkowalna w żadnym punkcie. Widać, że narysowanie dokładnego wykresu funkcji $f$ nie jest możliwe. Możemy jednak narysować wykresy funkcji $S_1, S_2, \dots, S_5$ . Stanowią one niedokładne, ale oddające charakter, przybliżenie funkcji $f$ .

REn4IBeZgOPaY

Ilustracja interaktywna przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią

X

od minus jeden i dwie dziesiąte do jeden oraz z pionową osią

Y

od minus trzech do trzech. Pod ilustracją umieszczony jest suwak, którym można wybrać wartość dla

n

. Wartości do wyboru wynoszą od jeden do pięć i są liczbami naturalnymi. 1. Dla wartości

n = 1

wykres funkcji

y = S_{1} (x)

przyjmuje postać zagęszczonej kosinusoidy o okresie około

0, 22

. Wtedy funkcja przyjmuje postać:

S_{1} (x) = \frac{4}{5} \cos (9 π x)

. Wartości, które przyjmuje funkcja są mniejsze od około plus minus

0, 8

. 2. Dla wartości

n = 2

wykres funkcji

y = S_{2} (x)

przyjmuje postać zagęszczonej kosinusoidy, która składa się nie z linii, a z zygzaka. Zygzak ten ma okres około

0, 22

. Wtedy funkcja przyjmuje postać:

S_{2} (x) = \frac{4}{5} \cos (9 π x) + {(\frac{4}{5})}^{2} \cos (9^{2} π x)

. Wartości, które przyjmuje funkcja są mniejsze od około plus minus

1, 4

. 3. Dla wartości

n = 3

wykres funkcji

y = S_{3} (x)

przyjmuje postać zagęszczonej kosinusoidy, która składa się nie z linii, a z zygzaka gęściej upakowanego, niż dla

n = 2

. Zygzak ten ma okres około

0, 22

. Funkcja ta przyjmuje postać:

S_{3} (x) = \frac{4}{5} \cos (9 π x) + {(\frac{4}{5})}^{2} \cos (9^{2} π x) + {(\frac{4}{5})}^{3} \cos (9^{3} π x)

. Wartości, które przyjmuje funkcja są mniejsze od około plus minus

2

. 4. Dla wartości

n = 4

wykres funkcji

y = S_{4} (x)

przyjmuje postać zagęszczonej kosinusoidy, która składa się nie z linii, a z zygzaka gęściej upakowanego, niż dla

n = 3

. Zygzak ten ma okres około

0, 22

. Funkcja ta przyjmuje postać:

S_{4} (x) = \frac{4}{5} \cos (9 π x) + {(\frac{4}{5})}^{2} \cos (9^{2} π x) + {(\frac{4}{5})}^{3} \cos (9^{3} π x) + {(\frac{4}{5})}^{4} \cos (9^{4} π x)

. Wartości, które przyjmuje funkcja są mniejsze od około plus minus

2, 4

. 5. Dla wartości

n = 5

wykres funkcji

y = S_{5} (x)

przyjmuje postać zagęszczonej kosinusoidy, która składa się nie z linii, a z zygzaka gęściej upakowanego, niż dla

n = 4

. Zygzak ten ma okres około

0, 22

. Funkcja ta przyjmuje postać:

S_{5} (x) = \frac{4}{5} \cos (9 π x) + {(\frac{4}{5})}^{2} \cos (9^{2} π x) + {(\frac{4}{5})}^{3} \cos (9^{3} π x) + {(\frac{4}{5})}^{4} \cos (9^{4} π x) + {(\frac{4}{5})}^{5} \cos (9^{5} π x)

. Wartości, które przyjmuje funkcja są mniejsze od około plus minus

2, 5

Powyższy przykład jest jedną z funkcji Weierstrassa. Karl Weierstrass (1815‑1897) opublikował w roku 1886 pracę, w której wykazał, że jeżeli weźmiemy dowolne $a \in (0,1)$ , $b > \frac{2 + 3 π}{2 a}$ oraz $f_n(x) = a^n\cos(b^n\pi x)$ , to postępując jak wyżej otrzymamy zawsze funkcję ciągłą, która nie ma pochodnej w żadnym punkcie swojej dziedziny. Wykazanie tego faktu nie jest łatwe, zaś jeszcze na przełomie XVIII i XIX wieku część środowiska matematycznego była przekonana, że wszędzie nieróżniczkowalne funkcje ciągłe nie istnieją.

Słownik

funkcja ciągła

funkcja, która jest ciągła w każdym punkcie dziedziny

funkcja różniczkowalna

funkcja, która jest różniczkowalna w każdym punkcie dziedziny

Wprowadzenie

Infografika

Słownik