Wróć do informacji o e-podręczniku Udostępnij materiał Wydrukuj

Zimą możemy zaobserwować, że temperatura powietrza spada poniżej 0°C. Mówimy wówczas, że jest równa, na przykład -5°C, -12,5°C, -12°C. Liczby, za pomocą których zapisana jest ta temperatura, nazywamy ujemnymi.

RWXPIk9EAnBMw1
Animacja

Wysokość bezwzględna to pionowa odległość (wysokość) danego punktu względem przyjętego punktu odniesienia, którym jest średni poziom morza. Wysokość bezwzględna oznaczana jest skrótem n.m.p., czyli nad poziomem morza (Wikipedia).
Wysokość bezwzględną punktów leżących powyżej poziomu morza oznaczamy liczbami dodatnimi, a punktów leżących poniżej poziomu morza, tzw. depresji, liczbami ujemnymi.

  • Najniższy obszar na lądzie na kuli ziemskiej stanowi depresja Morza Martwego (396 do 418 m p.p.m, czyli -418 do – 396 m n.p.m)

Dotychczas poznaliśmy:

  • liczby naturalne : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ,7, 8, 9, 10, 11, …

  • liczby całkowite: …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …

Przykład 1
R1VJbW2zr7wfj1
Animacja
Liczba wymierna
Definicja: Liczba wymierna

Liczba wymierna to liczba, którą można przedstawić w postaci ułamka ab, gdzie ab są liczbami całkowitymi i  b0.

Liczby wymierne
Własność: Liczby wymierne

Liczbami wymiernymi są liczby naturalne, całkowite i ułamki.

RxkoxIMhNIk8C1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 2

Odwrotnością liczby 27 jest liczba 312, ponieważ zamieniając liczbę 312 na ułamek niewłaściwy, otrzymamy ułamek 72 . Analogicznie parami liczb wzajemnie odwrotnych są

  1. 133

  2. 80,125

  3. 4,6523

Odwrotność liczby
Definicja: Odwrotność liczby

Liczba odwrotna do danej liczby a, to taka liczba b, że

ab=1

Odwrotnością liczby a, gdzie a0 jest liczba 1a.

Zapamiętaj!

Iloczyn liczb wzajemnie odwrotnych jest równy 1.
Przykład
Liczba odwrotna do liczby 34 to 43 bo 3443=1.

Przykład 3

Zaznaczmy na osi liczbowej pary liczb.

  1. 2-2

  2. 3-3

  3. 0,5-0,5

    RhtAFz3tNaYjb1
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

    Co możemy powiedzieć o odległościach liczb 2-2 od zera? Zauważmy, że te odległości są równe 2. Podobnie odległość każdej z  liczb 33 od zera wynosi 3 a liczb 0,5-0,5 wynosi 0,5. Liczby 2-2, 3-3 oraz 0,5-0,5 to pary liczb przeciwnych.

Liczba przeciwna
Definicja: Liczba przeciwna

Liczba przeciwna do danej liczby a to taka liczba -a, że zachodzi równość

a+-a=0
Ważne!

Liczby przeciwne to takie liczby, które znajdują się po przeciwnych stronach 0 na osi liczbowej i których odległość od 0 jest taka sama.

Wartość bezwzględna
Definicja: Wartość bezwzględna

Wartość bezwzględna liczby a jest to odległość liczby a od zera na osi liczbowej.

R1L6uQbV0RSM61
Animacja przedstawia dwie osie liczbowe z zaznaczonymi punktami od -6 do 6. Na pierwszej osi zaznaczona odległość liczby 5 od liczby 0, równa 5. Zapis: wartość bezwzględna z liczby 5 =5. Na drugiej osi zaznaczona odległość liczby -4 od liczby 0, równa 4. Zapis: wartość bezwzględna z liczby -4 =4.

Własności wartości bezwzględnej

  • Jeżeli liczba a jest nieujemna a0, to jej wartością bezwzględną jest ta sama liczba a.

  • Jeżeli a jest ujemna a<0, to jej wartością bezwzględną jest liczba przeciwna do a, czyli -a.

  • Wartość bezwzględną liczby a oznaczamy a.

  • Liczby przeciwne mają taką samą wartość bezwzględną.

Przykład 4
RWGbRhR2E2IQ91
Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -6 do 6. Należy zaznaczyć liczby oddalone od liczby 0 o 4. Są dwie takie liczby: 4 i -4. Ich odległości od liczby 0 są takie same i wynoszą 4.
Przykład 5

Rozwiążemy równanie x=a, gdzie a0.

R1JX0OGFWae0B1
Animacja pokazuje rozwiązanie równania: wartość bezwzględna z liczby x =a, gdzie a większe lub równe 0. Szukamy takich liczb, których odległość od liczby 0 jest równa a. Na osi zaznaczona odległość liczby a od liczby 0, równa a oraz odległość liczby –a od liczby 0, równa a. Zapis: Niech a większe lub równe 0. Rozwiązaniem równania wartość bezwzględna z liczby x =a jest x =a lub x =-a.
iACq0R6JuZ_d5e321
A
Ćwiczenie 1

Uzasadnij, że podana liczba jest wymierna.

  1. -3

  2. 0,4

  3. 235

  4. -3,2

  5. 0,(6)

  6. -1,(9)

A
Ćwiczenie 2
R1T5f86r4I6Hg1
Testowanie funkcjonalności
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 3

Zaznacz daną liczbę na osi liczbowej. Pamiętaj o odpowiednim doborze jednostki.

  1. 15

  2. -2,3

  3. -37

  4. 53

  5. -3,75

  6. -87

A
Ćwiczenie 4

Odczytaj liczby, które odpowiadają punktom na osi liczbowej.

Rt5zm4tq7pGjt1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 5
ReldKT0kS07k21
Testowanie funkcjonalności
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 6

Wszystkie liczby całkowite wybrane ze zbioru liczb -26, -5, -42, -1, -0,5, 0,105, 3, 94, 12 to

R1dSxiE8rAMyq
static
classicmobile
Ćwiczenie 7

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

Ryb7Xkw59Ayfx
static
iACq0R6JuZ_d5e617
A
Ćwiczenie 8

Oblicz.

  1. 4

  2. -3

  3. 35

  4. -213

  5. -0,66

  6. -1,(2)

A
Ćwiczenie 9
R14AhPm19UJmt1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 10

Odwrotnością liczby -2,4 jest liczba

RRvD7w9d1YfLQ
static
classicmobile
Ćwiczenie 11

Liczbą przeciwną do 38 jest

RI9tAIV2sjOuD
static
classicmobile
Ćwiczenie 12

Oblicz wartość wyrażenia 214+3(13+12). Liczba odwrotna do otrzymanej liczby, to

RPeXOkxbOFMBh
static
classicmobile
Ćwiczenie 13

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RpeE517kly9dN
static
A
Ćwiczenie 14
R1SdEFuNXlpvS1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.