Wróć do informacji o e-podręczniku Udostępnij materiał Wydrukuj

Nierówność otrzymamy, jeżeli między dwa wyrażenia algebraiczne wstawimy jeden ze znaków <, >, , .
Nierównościami z jedną niewiadomą są, np.:

 -4x+6x-4,3x2+5>x-1, a3+3a2.

W tym dziale zajmować się będziemy rozwiązywaniem nierówności pierwszego stopnia (czyli liniowych) z jedną niewiadomą, np.:

x0 ,2x-3<7,1-3x2x+2.
Nierówność pierwszego stopnia (liniowa) z jedną niewiadomą
Definicja: Nierówność pierwszego stopnia (liniowa) z jedną niewiadomą

Nierównością pierwszego stopnia z jedną niewiadomą nazywamy nierówność, w której występuje dokładnie jedna niewiadoma w pierwszej potędze.
Na przykład

5x+3x-1,-x+3>9,2x+4-x+8,7y-1>9,
2z-37,-6t-6:-22t
Liczba spełniająca nierówność (rozwiązanie nierówności)
Definicja: Liczba spełniająca nierówność (rozwiązanie nierówności)

Mówimy, że liczba spełnia daną nierówność, jeżeli po wstawieniu jej w miejsce niewiadomej i wykonaniu wskazanych działań otrzymamy nierówność liczbową prawdziwą.
Na przykład:
Sprawdzimy, czy liczba -10 spełnia nierówność 5x+3<x-1.
Podstawmy -10 w miejsce x.

5-10+3<-10-1
-47<-11

Nierówność jest prawdziwa.
Liczba -10 spełnia daną nierówność. Liczba -10 jest jednym z rozwiązań nierówności.

Zbiór rozwiązań nierówności
Definicja: Zbiór rozwiązań nierówności

Zbiór rozwiązań nierówności jest to zbiór wszystkich liczb, które spełniają daną nierówność.

Przykład 1
R1EDrLhYanDz41
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Nierówności równoważne
Definicja: Nierówności równoważne

Nierówności nazywamy równoważnymi, jeżeli posiadają ten sam zbiór rozwiązań.

Przykład 2

Nierówności równoważne.

RYPDS7vCdvUYX1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RhwPRDLvtFJ1h1
Animacja

Podczas rozwiązywania nierówności postępujemy podobnie jak przy rozwiązywaniu równań. Należy jednak zwrócić uwagę na mnożenie i dzielenie obydwu stron nierówności przez liczbę ujemną.

Zapamiętaj!

Rozwiązać nierówność to znaczy znaleźć wszystkie liczby, które spełniają tę nierówność lub wykazać, że nierówność nie ma rozwiązań. W tym celu możemy przekształcać nierówności równoważnie, pamiętając o tym, że

  • do obu stron nierówności możemy dodać lub od obu stron nierówności możemy odjąć tę samą liczbę lub wyrażenie,

  • obie strony nierówności możemy pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę dodatnią,

  • obie strony nierówności możemy pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę ujemną, pamiętając o zmianie znaku nierówności na przeciwny.

iBhY8cisei_d5e381
A
Ćwiczenie 1

Zaznacz na osi liczbowej zbiór liczb spełniających daną nierówność.

  1. x4

  2. x<5

  3. 2x<5

  4. -2<x3

A
Ćwiczenie 2

Zapisz nierówność, której zbiór rozwiązań zaznaczony jest na osi liczbowej.

RkZ8Q6UrNh0r01
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 3
RhnunzZ8U8uGa1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 4
R1B4rUu7j0lV11
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 5
R14YPG1TX4d1D1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 6
R2uYJADbMeYLa1
Testowanie funkcjonalności
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 7
R1bQ157gwsjyV1
Testowanie funkcjonalności
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 8
R1PYZXg42hflb1
Testowanie funkcjonalności
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 9
Rapu0K8CsWYzf1
Testowanie funkcjonalności
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
iBhY8cisei_d5e683
classicmobile
Ćwiczenie 10

Nierówność, którą spełniają liczby 1,2,3, a nie spełniają 4,5,6 to

R17TSB67nPItF
static
classicmobile
Ćwiczenie 11

Najmniejsza liczba całkowita spełniająca jednocześnie nierówność x2+3(x+1)3 i nierówność 3-8(2-x)<2x to

REVMn7gFRN7tK
static
classicmobile
Ćwiczenie 12

Wybierz nierówność opisującą następującą sytuację:
Tabliczka kosztowała x zł. Po podwyżce o 3 zł za 5 tabliczek trzeba zapłacić więcej, niż za 6 tabliczek przed podwyżką.

R1FZnqXVdiusG
static
A
Ćwiczenie 13

Rozwiąż nierówność i zbiór rozwiązań przedstaw na osi liczbowej.

  1. 2+3(x-2)1

  2. 3x+3-2(x-2)<5x

  3. 2x-31-3x+2-2(x+2)

  4. 3-2-3x-4x-2>51-x+2x

B
Ćwiczenie 14

Rozwiąż nierówność i zbiór rozwiązań przedstaw na osi liczbowej.

  1. x3+2x+122x

  2. x+32+1-x4<3(x+2)

  3. 2x-x-35>3+1-3x2

  4. 3-2-x3-2xx+65

A
Ćwiczenie 15

Rozwiąż nierówność -2x+22+3(x-1) . Podaj największą liczbę całkowitą spełniającą tę nierówność.

A
Ćwiczenie 16

Rozwiąż nierówność 2x-3x+4-3x-4 . Podaj wszystkie liczby naturalne spełniające tę nierówność.

B
Ćwiczenie 17
  1. Rozwiąż nierówność x3-x-1215-3x3-12x+4.

  2. Podaj najmniejszą liczbę parzystą, która spełnia tę nierówność.

A
Ćwiczenie 18

Lena kupiła opakowanie mazaków za 3,80 zł i pewną liczbę kolorowych piłek po 2,30 zł za sztukę. Ile maksymalnie kupiła piłek, jeżeli z 15 zł otrzymała niewielką resztę?

B
Ćwiczenie 19

Wypożyczalnia nart „Stok” oferuje wypożyczenie nart w cenie 15 zł za każdy dzień. Wypożyczalnia „Ski” oferuje za pierwszy dzień wypożyczenia nart cenę 35 zł, a za każdy kolejny dzień stałą cenę 8 zł. Na ile co najwyżej dni trzeba wypożyczyć narty, aby bardziej opłacało się skorzystać z oferty wypożyczalni „Stok”?

C
Ćwiczenie 20

Suma cyfr liczby dwucyfrowej wynosi 8. Jeżeli przestawimy cyfry w tej liczbie, to otrzymana liczba jest nie większa od początkowej liczby. Jaka to liczba? Ile jest takich liczb?

B
Ćwiczenie 21
R1EwahtG5d3lz1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.