Zacznijmy od przypomnienia wzorów na sinus i cosinus podwojonego kąta:

W wielu zadaniach zamiast poznanych wzorów wykorzystuje się wzory na funkcje trygonometryczne podwojonego kąta uzależnione od tangensa tego kąta. Teraz przedstawimy taką zależność dla $\sin 2\alpha$.

W znanym wzorze na $\sin 2\alpha$ zapiszmy za pomocą jedynki trygonometrycznejjedynka trygonometrycznajedynki trygonometrycznej:

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha ·\cos \alpha =\frac{2\sin \alpha ·\cos \alpha }{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }$.

Rozszerzmy ułamek przez $\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$. Otrzymujemy wówczas:

$\frac{2\sin \alpha ·\cos \alpha }{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }=\frac{2\frac{\sin \alpha ·\cos \alpha }{{\cos }^2\alpha }}{\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }}$.

Wykorzystajmy zależność: $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$:

$\frac{2\frac{\sin \alpha ·\cos \alpha }{{\cos }^2\alpha }}{\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }}=\frac{2\mathrm{tg}\alpha }{{\mathrm{tg}}^2\alpha +1}$.

Zwróćmy uwagę na to, że w trakcie przekształceń dzieliliśmy przez $\cos \alpha$, a zatem konieczne będzie założenie, że $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Zapiszmy zatem twierdzenie:

A teraz przedstawimy kilka zastosowań poznanych wzorów do rozwiązania typowych zadań obliczeniowych.

Rozwiązanie:

Ponieważ $180°<\alpha <270°$, więc $\cos \alpha <0$.

Na początku, korzystając z jedynki trygnometrycznejjedynka trygonometrycznajedynki trygnometrycznej, obliczymy $\cos \alpha$:

$\cos \alpha =-\sqrt{1-(-0,8{)}^2}=-\sqrt{0,36}=-0,6$.

Korzystając ze wzoru na $\sin 2\alpha$ zapisujemy:

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha ·\cos \alpha =(-0,8)(-0,6)=0,48$.

Rozwiązanie:

Podnieśmy do kwadratu wyrażenie, którego wartość mamy obliczyć:

$(\sin \alpha -\cos \alpha {)}^2={\sin }^2\alpha -2\sin \alpha \cos \alpha +{\cos }^2\alpha$.

Zauważmy, że w zapisie pojawia się wyrażenie, które można zastąpić $\sin 2\alpha$:

${\sin }^2\alpha -2\sin \alpha \cos \alpha +{\cos }^2\alpha =1-\sin 2\alpha$.

Stąd otrzymujemy:

$(\sin \alpha -\cos \alpha {)}^2=1-\left(-\frac{7}{9}\right)=\frac{16}{9}$.

Stąd otrzymujemy odpowiedź: $\sin \alpha -\cos \alpha =\frac{4}{3}$ lub $\sin \alpha -\cos \alpha =-\frac{4}{3}$.

Rozwiązanie:

Do rozwiązania zadania wykorzystamy wzór na sinus podwojonego kątao sinusie podwojonego kątasinus podwojonego kąta :

$\sin 2\beta =\frac{2\mathrm{tg}\beta }{1+{\mathrm{tg}}^2\beta }$.

Niech $\alpha =2\beta$. Wóczas wzór przyjmuje postać:

$\sin \alpha =\frac{2\mathrm{tg}\frac{\alpha }{2}}{1+{\mathrm{tg}}^2\frac{\alpha }{2}}$.

Podstawiamy do wzoru $\sin \alpha =-0,8$.

Otrzymujemy równanie:

$-0,8=\frac{2\mathrm{tg}\frac{\alpha }{2}}{1+{\mathrm{tg}}^2\frac{\alpha }{2}}$,

z którego wyliczymy $\mathrm{tg}\frac{\alpha }{2}$.

$2{\mathrm{tg}}^2\frac{\alpha }{2}+5\mathrm{tg}\frac{\alpha }{2}+2=0$.

Podstawiamy nową zmienną $t=\mathrm{tg}\frac{\alpha }{2}$.

Rozwiązujemy równanie kwadratowe $2t^2+5t+2=0$:

$\Delta =25-16=9$

$t=-2$ lub $t=-\frac{1}{2}$

Wobec tego: $\mathrm{tg}\frac{\alpha }{2}=-2$ lub $\mathrm{tg}\frac{\alpha }{2}=-\frac{1}{2}$.

Ponieważ $180°<\alpha <270°$, więc $90°<\frac{\alpha }{2}<135°$. Stąd wynika, że $\mathrm{tg}\frac{\alpha }{2}=-2$.

Obliczymy teraz $\sin \frac{\alpha }{2}$:

jeżeli $\mathrm{tg}\frac{\alpha }{2}=-2$, to $\mathrm{tg}\frac{\alpha }{2}=-2=\frac{\sin \frac{\alpha }{2}}{\cos \frac{\alpha }{2}}$.

Wobec tego $\cos \frac{\alpha }{2}=-\frac{1}{2}\sin \frac{\alpha }{2}$.

Korzystając z jedynki trygonometrycznejjedynka trygonometrycznajedynki trygonometrycznej otrzymujemy:

$\frac{1}{4}{\sin }^2\frac{\alpha }{2}+{\sin }^2\frac{\alpha }{2}=1$, czyli ${\sin }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{4}{5}$.

Ponieważ $90°<\frac{\alpha }{2}<135°$, więc $\sin \frac{\alpha }{2}$ jest liczbą dodatnią, czyli $\sin \frac{\alpha }{2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

Dowód:

Zapiszmy założenia:

$2\sin \alpha +\sin 2\alpha \ne 0$,

$1+\cos \alpha \ne 0$.

Korzystając ze wzoru na sinus podwojonego kąta zapiszmy lewą stronę następująco:

$L=\frac{2\sin \alpha -\sin 2\alpha }{2\sin \alpha +\sin 2\alpha }=\frac{2\sin \alpha -2\sin \alpha ·\cos \alpha }{2\sin \alpha +2\sin \alpha ·\cos \alpha }=$ $\frac{2\sin \alpha (1-\cos \alpha )}{2\sin \alpha (1+\cos \alpha )}=\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }=P$,

co kończy dowód tożsamości.

Słownik