Warto przeczytać

Rozważmy następującą sytuację (Rys. 1.): z dwóch miast, odległych o $100\,\text{km}$, wyruszyły naprzeciwko siebie dwa samochody. Chcemy dowiedzieć się, w którym miejscu się spotkają (zakładając oczywiście, że każdy z samochodów jedzie ze stałą prędkościąprędkośćprędkością).

RGhbFM7NWPMBR

Rys. 1. Rysunek przedstawia dwa punkty połączone poziomym odcinkiem. Punkt po lewej stronie oznaczono wielką literą A, a punkt po prawej stronie wielką literą B. Odległość pomiędzy punktami oznaczono poniżej, jako sto kilometrów. W punkcie A narysowano niebieski samochód, do którego przyłożona jest czarna strzałka skierowana poziomo w prawo. Samochód ten może poruszać się w prawo od punktu A do punktu B. W punkcie B narysowano zielony samochód, do którego przyłożono czarną, poziomą strzałkę skierowaną w lewo. Samochód ten może poruszać się w lewo od punktu B do punktu A.

Zacznijmy od sytuacji, w której samochody jadą z taką samą szybkością. Wtedy odpowiedź na nasze pytanie jest prosta – samochody spotkają się w połowie drogi. Ale co, jeśli jeden z nich ma np. trzy razy większą prędkość niż drugi? Wtedy do momentu spotkania szybszy samochód przejedzie trzy razy dłuższą trasę. Musimy zatem podzielić odległość między miastami podzielić na cztery części i wiemy, że wolniejszy samochód przejedzie jedną część (czyli w naszym przypadku $25\,\text{km}$), a szybszy pozostałe trzy części (czyli $75\,\text{km}$) (patrz Rys. 2.). Oznacza to, że samochody spotkają się w odległości $25\,\text{km}$ od miasta, z którego wyjechał wolniejszy samochód.

R15VgXYAeX71c

Rys. 2. Rysunek przedstawia dwa czarne punkty połączone odcinkiem. Punkt po lewej stronie oznaczono wielką literą A, natomiast punkt po prawej stronie opisano wielką literą B. Odcinek symbolizuje drogę, po której poruszają się dwa samochody osobowe. Samochód niebieski porusza się od punktu A do punktu B. Samochód zielony porusza się w kierunku przeciwnym do samochodu niebieskiego. Samochody "spotykają się" w prawej części odcinka. Do spotkania samochodów doszło w odległości siedemdziesięciu pięciu kilometrów od punktu oznaczonego wielką literą A. Odległość pomiędzy miejscem spotkania a punktem opisanym wielką literą B wynosi dwadzieścia pięć kilometrów. Odległości pomiędzy miejscem spotkania pojazdów, a krańcami drogi opisano pod rysunkiem w postaci poziomych, dwustronnych czarnych strzałek.

No dobrze, ale co się dzieje, jeśli jeden samochód ma prędkość o wartości $v_1 =76 \,\text{km/h}$, a drugi $v_2 = 124\,\text{km/h}$?

Wtedy oczywiście też możemy wyznaczyć stosunek prędkości i w takim samym stosunku podzielić odległość między miastami, ale zdecydowanie trudniej – w porównaniu do poprzedniego przypadku – wykonać te obliczenia w pamięci.

Możemy popatrzeć na to samo zagadnienie także nieco z innej strony. Pierwszy samochód jedzie z prędkością o wartości $76 \,\text{km/h}$. Oznacza to, że w ciągu godziny przejedzie właśnie $76 \,\text{km}$. Drugi w tym czasie przejedzie $124\,\text{km}$. A zatem oba samochody razem w ciągu godziny pokonają $76\,\text{km} + 124\,\text{km} = 200\, \text{km}$.

Samochody spotkają się na trasie, gdy w sumie przejadą drogę równą odległości pomiędzy miastami, czyli $100\,\text{km}$. Skoro w ciągu godziny przejeżdżają $200\,\text{km}$, to $100\,\text{km}$ przejadą po pół godzinie od wyruszenia. Czyli jeden z samochodów przejedzie wtedy drogę $s_1 = 38\,\text{km}$, a drugi $s_2 = 62\,\text{km}$ (Rys. 3.).

R19whxFeEtY72

Rys. 3. Na rysunku przedstawiono dwa czarne punkty połączone odcinkiem. Punkt po lewej opisano wielką literą A, a punkt po prawej opisano wielką literą B. Odcinek łączący punkty symbolizuje drogę, po której poruszają się dwa samochody osobowe. Samochód niebieski porusza się od punktu A do punktu B. Samochód zielony porusza się w kierunku przeciwnym – od punktu B do punktu A. Samochody "spotykają się" w lewej części odcinka w odległości trzydziestu ośmiu kilometrów od punktu A. Odległość między miejscem spotkania a punktem B wynosi sześćdziesiąt dwa kilometry. Odległości te opisano pod rysunkiem w postaci poziomych, dwustronnych czarnych strzałek.

Możemy to rozwiązanie sformułować jeszcze nieco inaczej – zmieniając układ odniesieniaukład odniesieniaukład odniesienia. Do tej pory rozważaliśmy prędkości samochodów względem powierzchni Ziemi. Jeśli jednak układ odniesienia zwiążemy z jednym z samochodów – na przykład tym, który wyjeżdża z miasta A, to cały problem zaczyna wyglądać następująco:

Pierwszy samochód – ponieważ jest układem odniesienia – spoczywa. Drugi z kolei porusza się względem Ziemi z prędkością o wartości $124\,\text{km/h}$, a w nowym układzie odniesienia musimy do tej prędkości dodać jeszcze wartość prędkości układu – czyli $76\,\text{km/h}$. Prędkość drugiego samochodu względem pierwszego ma zatem wartość równą $200\,\text{km/h}$.

Początkowa odległość między samochodami wynosi $100\,\text{km}$, a zatem drugi samochód pokona ją w ciągu pół godziny. Po tym czasie samochody spotkają się.

Aby wyznaczyć odległość od miasta A do miejsca spotkania, możemy albo wrócić do układu odniesienia związanego z powierzchnią Ziemi, albo ustalić, jaką drogę przebędzie w układzie związanym z pierwszym samochodem miasto A. W tym układzie bowiem miasto ma prędkość równą $76\,\text{km/h}$. W ciągu pół godziny miasto „odsunie się” od samochodu o $38\,\text{km}$.

Słowniczek