Przekątna prostokąta ma długość $4 \mathrm{cm}$ i tworzy z dłuższym bokiem kąt o mierze $30°$. Obliczymy obwód prostokąta.

RiFMuEZNAim7J

Rysunek przedstawia prostokąt o krótszym pionowym boku b i o dłuższym poziomym boku a. W prostokącie poprowadzono przekątną o długości czterech centymetrów. Między podstawą a a przekątną zaznaczono kąt 30 stopni.

Aby obliczyć obwód prostokąta, należy wyznaczyć długości jego boków. Przekątna „dzieli” prostokąt na dwa trójkąty prostokątne. Możemy zastosować więc funkcje trygonometryczne.

Bok $a$ wyznaczymy z funkcji cosinus:

$\cos 30°=\frac{a}{4}$ i $\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$, czyli $\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\mathrm{a}}{4}$, zatem $2·a=\sqrt{3}·4$, więc $a=2\sqrt{3} \mathrm{cm}$.

Bok $b$ wyznaczymy z funkcji sinus:

$\sin 30°=\frac{b}{4}$, $\sin 30°=\frac{1}{2}$, więc $\frac{1}{2}=\frac{b}{4}$, $b=2 \mathrm{cm}$.

Mogliśmy wyznaczyć $b$,wykorzystując fakt, że długość przyprostokątnej trójkąta prostokątnego leżącej naprzeciw kąta $30°$ jest połową długości przeciwprostokątnej, czyli $b=4:2=2 \mathrm{cm}$.

Obwód prostokąta zapisujemy za pomocą wzoru: $L=2a+2b$.

Podstawiając $a=2\sqrt{3} \mathrm{cm}$ i $b=2 \mathrm{cm}$, otrzymujemy $L=2·2\sqrt{3}+2·2=4\sqrt{3}+4=4\left(\sqrt{3}+1\right) \mathrm{cm}$.

Odp. Obwód prostokąta wynosi $4\left(\sqrt{3}+1\right) \mathrm{cm}$.

Obwód równoległobokurównoległobokrównoległoboku wynosi $60 \mathrm{cm}$. Jeden bok jest $2$ razy krótszy od drugiego. Obliczymy pole tego równoległoboku, jeżeli kąt ostry ma miarę $60°$.

R10CynH6OPPar

Ilustracja przedstawia równoległobok o poziomej podstawie a i ukośnym boku b. Z górnego lewego wierzchołka czworokąta upuszczono wysokość h na dolną podstawę i oznaczono kąt prosty między podstawa a wysokością. Między lewym bokiem a podstawą oznaczono kąt 60 stopni.

Oznaczmy:
$h$ – wysokość równoległoboku,
$a$, $b$ – boki równoległoboku,
$L$ – obwód równoległoboku.

Z treści zadania wynika, że: $L=60 \mathrm{cm}$ i $a=2b$.

Ze wzoru na obwód równoległoboku mamy $L=2a+2b=2·2b+2b=4b+2b=6b$, a ponieważ $L=60$, to $6b=60$, stąd $b=10 \mathrm{cm}$, a ponieważ $a=2b$, to $a=20 \mathrm{cm}$.

Aby wyliczyć pole równoległoboku, musimy wyznaczyć jego wysokość $h$. Wysokość jest prostopadła do boku $a$, możemy więc skorzystać z funkcji sinus.

$\frac{h}{b}=\sin 60°$ i $\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$, więc $\frac{h}{b}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, stąd $h=b·\frac{\sqrt{3}}{2}$, podstawiając $b=10$, otrzymujemy $h=\frac{10·\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3} \mathrm{cm}$.

Obliczamy pole równoległoboku: $P=ah=20·5\sqrt{3}=100\sqrt{3} {\mathrm{cm}}^2$.

Odp. Pole równoległoboku wynosi $100\sqrt{3} {\mathrm{cm}}^2$.

Obliczymy obwód prostokąta, którego przekątne przecinają się pod kątem $60°$, a jeden z boków jest równy $12 \mathrm{cm}$. Rozważymy dwa przypadki.

Przypadek 1 ($b=12 \mathrm{cm}$):

Z rysunku wynika, że: $\sphericalangle AOB=180°-60°=120°$, $\sphericalangle EOB=120°:2=60°$, więc $\sphericalangle EBO=30°$.

R16AgVmR1eQX1

Rysunek przedstawia prostokąt A B C D, gdzie dłuższe poziome boki A B oraz C D mają długość a, natomiast pionowe boki A D oraz B C mają długość b równa się dwanaście. W prostokącie poprowadzono przekątne, które przecinają się w punkcie O. Z punktu O poprowadzono do dolnej podstawy pionowy odcinek O E i przy punkcie E leżącym na boku A B prostokąta zaznaczono kąt prosty. Zaznaczono również kąt E B O o mierze stopni oraz kąt B O C o mierze stopni. Pod rysunkiem zapisano następujące informacje: miara kąta A O B wynosi 180 stopni odjąć 60 stopni równa się 120 stopni, miara kąta E O B wynosi 120 stopni podzielić na 2 równa się 60 stopni, więc kąt E B O ma miarę 30 stopni.

Zauważmy, że: $\left|AE\right|=\left|EB\right|=\frac{1}{2}a$, $\left|OE\right|=\frac{1}{2}b=6 \mathrm{cm}$ i kąt $EBO$ ma miarę $30°$. Trójkąt $OEB$ jest prostokątny, więc korzystając z funkcji tangens wyliczmy długość boku $a$:

$\frac{\left|OE\right|}{\left|EB\right|}=tg30°$, a ponieważ $\left|EB\right|=\frac{1}{2}a$ i $\left|OE\right|=6$, więc $\frac{6}{{\displaystyle \frac{a}{2}}}=tg30°$, $6=\frac{a}{2}·tg30°$ i $tg30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$, stąd

$a=\frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{12·3}{\sqrt{3}}=\frac{36}{\sqrt{3}}=\frac{36·\sqrt{3}}{\sqrt{3}·\sqrt{3}}=12·\sqrt{3} \mathrm{cm}$.

Ze wzoru na obwód prostokąta: $L=2a+2b$ otrzymujemy

$L=2·12\sqrt{3}+2·12=24\sqrt{3}+24=24\left(\sqrt{3}+1\right) \mathrm{cm}$.

Odp. Obwód prostokąta wynosi $24\left(\sqrt{3}+1\right)\mathrm{cm}$.

Przypadek 2 ($a=12 \mathrm{cm}$):

R1NqxuXEBv3Ym

Rysunek przedstawia prostokąt A B C D, gdzie dłuższe poziome boki A B oraz C D mają długość a równą 12, natomiast pionowe boki A D oraz B C mają długość b. W prostokącie poprowadzono przekątne, które przecinają się w punkcie O. Z punktu O poprowadzono do dolnej podstawy pionowy odcinek O E i przy punkcie E leżącym na boku A B prostokąta zaznaczono kąt prosty. Zaznaczono również kąt E B O o mierze stopni oraz kąt B O C o mierze stopni. Pod rysunkiem zapisano następujące informacje: miara kąta A O B wynosi 180 stopni odjąć 60 stopni równa się 120 stopni, miara kąta E O B wynosi 120 stopni podzielić na 2 równa się 60 stopni, więc kąt E B O ma miarę 30 stopni.

Z rysunku wynika, że: $\sphericalangle AOB=180°-60°=120°$, $\sphericalangle EOB=120°:2=60°$, więc $\sphericalangle EBO=30°$.

Zauważmy, że: $\left|AE\right|=\left|EB\right|=\frac{1}{2}a=6 \mathrm{cm}$, $\left|OE\right|=\frac{1}{2}b$ i kąt $EBO$ ma miarę $30°$. Trójkąt $OEB$ jest prostokątny, więc korzystając z funkcji tangens wyliczymy długość boku $b$:

$\frac{\left|OE\right|}{\left|EB\right|}=tg30°$, $\left|OE\right|=\frac{1}{2}b$ i $\left|EB\right|=6$, więc $\frac{\frac{b}{2}}{6}=tg30°$, $\frac{b}{2}=6·tg30°$, a ponieważ $tg30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$, to otrzymujemy $b=\frac{12·\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3} \mathrm{cm}$.

Ze wzoru na obwód prostokąta $L=2a+2b$ obliczamy

$L=2·12+2·4\sqrt{3}=24+8\sqrt{3}=8\left(3+\sqrt{3}\right) \mathrm{cm}$.

Odp. Obwód prostokąta wynosi $8\left(3+\sqrt{3}\right)\mathrm{cm}$.

Obliczmy pole trapezutrapeztrapezu równoramiennego, którego dłuższa podstawa ma długość $16 \mathrm{cm}$, a ramię o długości $6 \mathrm{cm}$ tworzy z podstawą kąt $45°$.

R1RKOw9c7KAjo

Rysunek przedstawia trapez równoramienny o ramionach o długości 6 nachylonych do dolnej postawy pod kątem 45 stopni. Górna, krótsza podstawa ma długość b, natomiast dolna podstawa ma długość a równą szesnaście. Z górnych wierzchołków poprowadzono dwie wysokości h. Między wysokościami a podstawą oznaczono kąty proste. Wysokości podzieliły dolną podstawę na trzy odcinki. Od lewej mamy: Od lewego dolnego wierzchołka trapezu do pierwszej wysokości mamy odcinek x, między wysokościami mamy odcinek b, między prawą wysokością a prawym dolnym wierzchołkiem mamy odcinek x.

Przyjmując oznaczenia jak na rysunku, możemy zapisać $a=2x+b$, a ponieważ $a=16$, to $2x+b=16$.

Do wyznaczenia pola trapezu wykorzystamy wzór $P=\frac{a+b}{2}·h$.

Wyznaczmy wysokość trapezuwysokość trapezuwysokość trapezu $h$, korzystając z funkcji sinus: $\sin 45°=\frac{h}{6}$ i $\sin 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$, czyli $\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{h}{6}$, $2·h=\sqrt{2}·6$, więc $h=3\sqrt{2} \mathrm{cm}$.

Aby wyznaczyć długość krótszej podstawy, musimy obliczyć długość odcinka $x$. W tym celu, zapisując $\cos 45°=\frac{x}{6}$ i podstawiając $\cos 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$, otrzymujemy $\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{x}{6}$, $2·x=\sqrt{2}·6$, więc $x=3\sqrt{2} \mathrm{cm}$.

Mogliśmy $x$ wyznaczyć, wykorzystując fakt, że przyprostokątne w trójkącie prostokątnym równoramiennym są równe, więc $x=h=3\sqrt{2} \mathrm{cm}$.

Przejdźmy teraz do wyliczenia krótszej podstawy $b$ trapezu.

Z równania $2x+b=16$ wyznaczamy $b=16-2x$ i podstawiając $x=3\sqrt{2}$, otrzymujemy

$b=16-2·3\sqrt{2}=16-6\sqrt{2}=2\left(8-3\sqrt{2}\right) \mathrm{cm}$.

Wyliczone wartości $h$ i $b$ podstawiamy do wzoru na pole trapezu $P=\frac{a+b}{2}·h$.

$P=\frac{a+b}{2}·h=\frac{16+16-6\sqrt{2}}{2}·3\sqrt{2}=\frac{32-6\sqrt{2}}{2}·3\sqrt{2}=$

$=\frac{2\left(16-3\sqrt{2}\right)}{2}·3\sqrt{2}=\left(16-3\sqrt{2}\right)·3\sqrt{2}=48\sqrt{2}-18=18\left(\sqrt{2}-1\right) {\mathrm{cm}}^2$

Odp. Pole trapezu wynosi $18\left(\sqrt{2}-1\right) {\mathrm{cm}}^2$.

Dłuższa podstawa trapezu ma długość $12$ a ramię jest $2$ razy krótsze od tej podstawy. Przekątne tego trapezu przecinają się pod kątem $60°$. Obliczymy długość drugiej podstawy tego trapezu.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

RqjLuxkaRmpyQ

Rysunek przedstawia trapez A B C D, w którym poprowadzono przekątne przecinające się w punkcie O. Dolna podstawa A B ma długość dwanaście. Ukośne ramię B C ma długość sześć. Na górnej podstawie C D zaznaczono punkt E, a na dolnej podstawie A B oznaczono punkt F i narysowano odcinek E F. Odcinek ten składa się z dwóch odcinków – odcinka E O opisanego jako y ora odcinka O F opisanego jako x. Część górnej podstawy, czyli odcinek E C oznaczony jest jako a i ma długość sześć. Z górnego lewego wierzchołka trapezu poprowadzono linią przerywaną wysokość h, która jest odcinkiem C G. Przy punktach F i G należących do dolnej podstawy A B oznaczono kąty proste. Odcinek składowy dolnej podstawy, czyli odcinek G B podpisano jako sześć odjąć a. Na rysunku zaznaczono również trzy kąty wokół punktu O: kąt F O B to kąt beta, kąt B O C to kąt alfa oraz kąt C O E to kąt beta.

Skoro $\alpha =60°$, to $2\beta =120°$, zatem $\beta ={60}^{\circ }$.

W trójkącie $FBO$: $\mathrm{tg}\beta =\frac{6}{x}$, więc: $\mathrm{tg}{60}^{\circ }=\frac{6}{x}$, stąd: $x=\frac{6}{\mathrm{tg}{60}^{\circ }}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$.

W trójkącie $EOC$: $\mathrm{tg}\beta =\frac{a}{y}$, stąd: $a=y\cdot \mathrm{tg}{60}^{\circ }=y\sqrt{3}$.

Skorzystamy z tw. Pitagorasa w trójkącie $CGB$:

$h^2+{\left(6-a\right)}^2=6^2$

${\left(x+y\right)}^2+{\left(6-y\sqrt{3}\right)}^2=36$

${\left(2\sqrt{3}+y\right)}^2+{\left(6-y\sqrt{3}\right)}^2=36$

$12+4\sqrt{3}y+y^2+36-12y\sqrt{3}+3y^2=36$

$4y^2-8y\sqrt{3}+12=0$

${\left(2y-2\sqrt{3}\right)}^2=0$

$y=\sqrt{3}$.

Zatem: $a=3$.

Dłuższe ramię trapezu ma długość $8\sqrt{2}$ i jest nachylone do dłuższej podstawy pod kątem $45°$. Wyznaczymy miarę kąta nachylenia drugiego ramienia do dłuższej podstawy, jeśli pole trapezu wynosi $96$, a długości podstaw są w stosunku $1:3$.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

RfhZfXtj6byHn

Rysunek przedstawia trapez A B C D, w którym prawe ramię B C ma długość osiem pierwiastków z dwóch, górna podstawa ma długość a. Z górnych wierzchołków upuszczono wysokości h i oznaczono między nimi a podstawą dolną kąty proste. Wysokości to odcinki: lewa D F, a prawa wysokość to odcinek C E. Wysokości podzieliły dolną podstawę na trzy odcinki. Od lewej: odcinek A F opisano jako y, odcinek F E jest równy a, odcinek E B opisano jako x. Lewe ramię jest nachylone do podstawy pod kątem alfa, jest to kąt D A F. Prawe ramię jest nachylone do podstawy pod kątem 45 stopni, jest to kąt C B E.

Obliczymy długość boku $EB$. W trójkącie $CEB$: $\cos {45}^{\circ }=\frac{x}{8\sqrt{2}}$, stąd: $x=8\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=8$.

Podobnie:

$\sin {45}^{\circ }=\frac{h}{8\sqrt{2}}$, zatem: $h=8\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=8$.

Z treści zadania $\left|AB\right|=3a$.

Zauważmy, że: $\left|AB\right|=y+\left|FE\right|+x$, stąd: $3a=y+a+8$, czyli: $y=2a-8$.

Skorzystamy z pola trapezu:

$96=\frac{a+3a}{2}\cdot 8$

$4a=24$

$a=6$

Zatem: $y=2\cdot 6-8=4$.

W trójkącie $AFD$: $\mathrm{tg}\alpha =\frac{h}{y}$, stąd: $\mathrm{tg}\alpha =\frac{8}{4}=2$ i w konsekwencji $\alpha \approx 64°$.

czworokąt, w którym przynajmniej jedna para boków jest do siebie równoległa

czworokąt, w którym przynajmniej jedna para boków jest do siebie równoległa; boki równoległe nazywamy podstawami trapezu

odległość między podstawami trapezu