Przeczytaj

Zaczniemy od przypomnienia wzorów na funkcje trygonometryczne podwojonego kąta.

o funkcjach trygonometrycznych podwojonego kąta

Twierdzenie: o funkcjach trygonometrycznych podwojonego kąta

Dla dowolnych kątów $α$ zachodzą wzory: $\sin 2 α = 2 \sin α \cdot \cos α$ , $\cos 2 α = 2 \cos^{2} α - 1 = 1 - 2 \sin^{2} α = \cos^{2} α - \sin^{2} α$ .
Dla takich kątów $α$ , że $α \neq \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}$ i $α \neq \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ , zachodzi wzór: $tg 2 α = \frac{2 tg α}{1 - {tg}^{2} α}$ .

Przedstawimy kilka typowych zastosowań wzoru na tangens podwojonego kąta. Rozpoczniemy od przykładu, w którym na podstawie tangensa kąta wyliczymy tangens kąta podwojonego.

Przykład 1

Obliczymy $tg 2 α$ ,jeżeli wiadomo, że $\cos α = \frac{2}{3}$ i $\frac{3 π}{2} < α < 2 π$ .

Rozwiązanie:

Ponieważ $\frac{3 π}{2} < α < 2 π$ , zatem $\sin α < 0$ .

Korzystając z jedynki trygonometrycznejjedynka trygonometrycznajedynki trygonometrycznej obliczamy wartość $\sin α$ :

$\sin α = - \sqrt{1 - \cos^{2} α} = - \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = - \frac{\sqrt{5}}{3}$ .

Wykorzystamy tożsamość opisującą $tg α$ :

$tg α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{- \frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = - \frac{\sqrt{5}}{2}$ .

A teraz, korzystając ze wzoru na tangens podwojonego kąta, otrzymujemy:

$tg 2 α = \frac{2 \cdot (- \frac{\sqrt{5}}{2})}{1 - {(- \frac{\sqrt{5}}{2})}^{2}} = \frac{- \sqrt{5}}{- \frac{1}{4}}$ .

Stąd dostajemy odpowiedź: $tg 2 α = 4 \sqrt{5}$ .

Przykład 2

Obliczymy $tg \frac{α}{2}$ , jeżeli $tg α = \frac{3}{4}$ i $0 < α < \frac{π}{2}$ .

Rozwiązanie:

Zapiszemy wzór w następującej postaci:

$tg α = \frac{2 tg \frac{α}{2}}{1 - {tg}^{2} \frac{α}{2}}$ .

Podstawimy $tg α = \frac{3}{4}$ :

$\frac{3}{4} = \frac{2 tg \frac{α}{2}}{1 - {tg}^{2} \frac{α}{2}}$ .

Przekształcamy równanie do postaci:

$\frac{3}{4} (1 - {tg}^{2} \frac{α}{2}) = 2 tg \frac{α}{2}$ .

Podstawiamy $x = tg \frac{α}{2}$ . Otrzymujemy kolejno:

$\frac{3}{4} - \frac{3}{4} x^{2} = 2 x$

$3 - 3 x^{2} = 8 x$

$3 x^{2} + 8 x - 3 = 0$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$Δ = 64 + 36 = 100$

$x = \frac{1}{3}$ lub $x = - 3$

Za $x$ wstawiamy z powrotem $tg \frac{α}{2}$ :

$tg \frac{α}{2} = \frac{1}{3}$ lub $tg \frac{α}{2} = - 3$

Ponieważ $0 < α < \frac{π}{2}$ , zatem $tg \frac{α}{2} = \frac{1}{3}$ .

Przykład 3

Niech $tg 7 ° = a$ . Uzasadnimy, że $t g 14^{\circ} - t g 28^{\circ} = \frac{- 2 a {(a^{2} + 1)}^{2}}{(1 - a^{2}) (a^{4} - 6 a^{2} + 1)}$ .

Rozwiązanie:

Korzystając ze wzoru na tangens podwojonego kąta obliczamy $tg 14 °$ :

$tg 14 ° = \frac{2 tg 7 °}{1 - {tg}^{2} 7 °} = \frac{2 a}{1 - a^{2}}$ .

Wiedząc, ile jest równy $tg 14 °$ oraz korzystając ze wzoru na tangens podwojonego kąta, obliczamy $tg 28 °$ :

$tg 28 ° = \frac{2 tg 14 °}{1 - {tg}^{2} 14 °} = \frac{2 \frac{2 a}{1 - a^{2}}}{1 - {(\frac{2 a}{1 - a^{2}})}^{2}} =$

$= \frac{\frac{4 a}{1 - a^{2}}}{1 - \frac{4 a^{2}}{{(1 - a^{2})}^{2}}} = \frac{4 a (1 - a^{2})}{{(1 - a^{2})}^{2} - 4 a^{2}} = \frac{4 a (1 - a^{2})}{(1 - a^{2} - 2 a) (1 - a^{2} + 2 a)} = \frac{4 a (1 - a^{2})}{(a^{2} + 2 a - 1) (a^{2} - 2 a - 1)}$ .

Obliczamy ostatecznie różnicę tangensów:

$t g 14^{\circ} - t g 28^{\circ} = \frac{2 a}{1 - a^{2}} - \frac{4 a (1 - a^{2})}{(a^{2} + 2 a - 1) (a^{2} - 2 a - 1)} =$

$= \frac{2 a (a^{2} + 2 a - 1) (a^{2} - 2 a - 1) - 4 a {(1 - a^{2})}^{2}}{(1 - a^{2}) (a^{2} + 2 a - 1) (a^{2} - 2 a - 1)} = \frac{2 a (a^{4} - 6 a^{2} + 1 - 2 + 4 a^{2} - 2 a^{4})}{(1 - a^{2}) (a^{4} - 6 a^{2} + 1)}$

$= \frac{2 a (- a^{4} - 2 a^{2} - 1)}{(1 - a^{2}) (a^{4} - 6 a^{2} + 1)} = \frac{- 2 a {(a^{2} + 1)}^{2}}{(1 - a^{2}) (a^{4} - 6 a^{2} + 1)}$

A to należało wykazać.

Przykład 4

Uzasadnimy, że równość $\sin 2 α + tg 2 α = \frac{4 tg α}{1 - {tg}^{4} α}$ jest tożsamością.

Rozwiązanie:

Zapiszmy założenia:

$\cos 2 α \neq 0$ , $1 - {tg}^{4} α \neq 0$ .

Korzystamy ze wzoru na sinus podwojonego kąta i tangens podwojonego kąta:

$L = \sin 2 α + t g 2 α = \frac{2 tg α}{1 + {tg}^{2} α} + \frac{2 tg α}{1 - {tg}^{2} α}$

Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias i sprowadzamy do wspólnego mianownika

$2 tg α (\frac{1}{1 + {tg}^{2} α} + \frac{1}{1 - {tg}^{2} α}) = 2 tg α (\frac{1 - {tg}^{2} α}{1 - {tg}^{4} α} + \frac{1 + {tg}^{2} α}{1 - {tg}^{4} α})$

i sprowadzamy wyrażenie do prawej strony równości

$2 tg α \frac{2}{1 - {tg}^{4} α} = P$ .

Zatem równość jest tożsamością.

Słownik

jedynka trygonometryczna

dla dowolnego kąta $α$ zachodzi równość $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$

Wprowadzenie

Animacja

Słownik