Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję określoną wzorem $f\left(x\right)=a^x$, gdzie $a>0$ i $a\ne 1$ oraz $x\in \mathrm{ℝ}$.

Wykresem funkcji wykładniczej jest krzywa wykładnicza.

W materiale omówimy wykresy funkcji $f\left(x\right)=a^x$ i $g\left(x\right)=-a^x$ oraz ich własności.

Na rysunkach przedstawiono wykresy funkcji zadanych wzorami $f\left(x\right)=2^x$oraz $g\left(x\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$.

R1G84kzFRaDwo

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do trzech oraz z pionową osią $Y$ od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres rosnącej funkcji $f\left(x\right)=2^x$. Wykres przecina oś $Y$ w pukcie o współrzędnych: $\left(0;1\right)$.

R14L9jYYd8iXw

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus trzech do pięciu oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres malejącej funkcji $g\left(x\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$. Wykres przecina oś $Y$ w pukcie o współrzędnych: $\left(0;1\right)$.

Korzystając z wykresów funkcji $f\left(x\right)=a^x$ możemy odczytać następujące własności:

• dziedziną funkcji jest zbiór $\mathrm{ℝ}$, a zbiorem wartości zbiór ${\mathrm{ℝ}}_{+}$,

• wykres funkcji wykładniczejfunkcja wykładniczafunkcji wykładniczej $f\left(x\right)=a^x$ zawsze przechodzi przez punkt $\left(0,1\right)$, bo $a^0=1$,

• funkcja jest malejąca dla $a\in \left(0,1\right)$ oraz rosnąca dla $a\in \left(1,\infty \right)$,

• funkcja nie ma miejsc zerowych,

• dla dwóch dowolnych argumentów funkcja przyjmuje różne wartości, zatem jest różnowartościowa.

Naszkicujmy wykresy funkcji określonych wzorami $f\left(x\right)=-2^x$ oraz $g\left(x\right)=-{\left(\frac{1}{2}\right)}^x$.

R2SFQfUK6mk6z

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pięciu do trzech oraz z pionową osią $Y$ od minus czterech do dwóch. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres malejącej funkcji $f\left(x\right)=-2^x$. Wykres przecina oś $Y$ w pukcie o współrzędnych: $\left(0;-1\right)$. Punkt ten jest zaznaczony. Funkcja ta jest symetryczna do funkcji $y=2^x$ względem osi $X$.

Rgmiqk2O3TCix

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus trzech do sześciu oraz z pionową osią $Y$ od minus czterech do dwóch. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres rosnącej funkcji $g\left(x\right)=-{\left(\frac{1}{2}\right)}^x$. Wykres przecina oś $Y$ w pukcie o współrzędnych: $\left(0;-1\right)$. Punkt ten jest zaznaczony. Funkcja ta jest symetryczna do funkcji $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ względem osi $X$.

Korzystając z wykresów funkcji $f\left(x\right)=-a^x$ możemy odczytać następujące własności:

• dziedziną funkcji jest zbiór $\mathrm{ℝ}$, a zbiorem wartości zbiór ${\mathrm{ℝ}}_{-}$,

• wykres funkcji wykładniczej $f\left(x\right)=-a^x$ zawsze przechodzi przez punkt $\left(0,-1\right)$, bo $-a^0=-1$

• funkcja jest rosnąca dla $a\in \left(0,1\right)$ oraz malejąca dla $a\in \left(1,\infty \right)$,

• funkcja nie ma miejsc zerowych,

• dla dwóch dowolnych argumentów funkcja przyjmuje różne wartości, zatem jest różnowartościowa.

Własności funkcji wykładniczych zadanych wzorami $f\left(x\right)=a^x$ oraz $f\left(x\right)=-a^x$:

• mają tą samą dziedzinę, ale różne zbiory wartości,

• wykres funkcji $f\left(x\right)=a^x$ przechodzi przez punkt $\left(0,1\right)$, a wykres funkcji $f\left(x\right)=-a^x$ przechodzi przez punkt $\left(0,-1\right)$,

• dla $a\in \left(0,1\right)$ funkcja $f\left(x\right)=a^x$ jest malejąca, zaś funkcja $f\left(x\right)=-a^x$ jest rosnąca,

• dla $a\in \left(1,\infty \right)$ funkcja $f\left(x\right)=a^x$ jest rosnąca, zaś funkcja $f\left(x\right)=-a^x$ jest malejąca,

• funkcje nie mają miejsc zerowych,

• są różnowartościowe.

W celu wyznaczenia zbioru wartości funkcji o wzorze $-f\left(x\right)$przekształcenie wykresu funkcji -f(x)$-f\left(x\right)$ w podanym przedziale, wystarczy wyznaczyć zbiór wartości dla funkcji określonej wzorem $f\left(x\right)$.

Do wyznaczenia własności wykresu funkcji $-f\left(x\right)$, wystarczy znać własności wykresu funkcji $f\left(x\right)$. Pokażemy to na przykładzie rozwiązania nierówności, czy wyznaczenia wartości najmniejszej i największej w podanym przedziale.

Przykład 2

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem $f\left(x\right)={\left(\sqrt{3}\right)}^x$. Niech $g\left(x\right)=-f\left(x\right)$.

RKZ5KWIRgQaoI

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pięciu do trzech oraz z pionową osią $Y$ od minus dwóch do sześciu. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres malejącej funkcji $f\left(x\right)={\left(\sqrt{3}\right)}^x$. Wykres przecina oś $Y$ w pukcie o współrzędnych: $\left(0;1\right)$.

Dla zadanej funkcji wyznaczymy:

a) zbiór wartości funkcji $g$.

Ponieważ zbiorem wartości funkcji $f$ jest zbiór liczb ${\mathrm{ℝ}}_{+}$, zatem zbiorem wartości funkcji $g$ jest zbiór ${\mathrm{ℝ}}_{-}$.

b) rozwiązanie nierówności $g\left(x\right)\le -1$.

Ponieważ $f\left(x\right)\ge 1$ dla $x\in \left(0,\infty \right)$, zatem rozwiązaniem nierówności $g\left(x\right)\le -1$ jest ten sam zbiór liczb.

c) wartość największą i najmniejszą w przedziale $⟨-1,2⟩$.

Ponieważ funkcja $f$ jest wykładnicza i rosnąca, zatem funkcja $g$ jest malejąca, więc wartość najmniejszą przyjmie dla największego argumentu, a wartość największą dla najmniejszego argumentu.

$g\left(-1\right)=-f\left(-1\right)=-{\left(\sqrt{3}\right)}^{-1}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$

$g\left(2\right)=-f\left(2\right)=-{\left(\sqrt{3}\right)}^2=-3$.

Zatem wartość najmniejsza wynosi $-3$, a wartość największa $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Słownik