Niech $f:D\to\mathbb{R}$ oraz $g:D\to\mathbb{R}$ będą dwiema danymi funkcjami o tej samej dziedzinie $D\subset\mathbb{R}$ oraz niech $x_0,a,b\in\mathbb{R}$. Jeśli

to

Niech $f:D\to\mathbb{R}$ oraz $g:D\to\mathbb{R}$ będą dwiema danymi funkcjami o tej samej dziedzinie $D\subset\mathbb{R}$ oraz niech $x_0,a,b\in\mathbb{R}$. Jeśli

to

Niech $f:D\to\mathbb{R}$ oraz $g:D\to\mathbb{R}$ będą dwiema danymi funkcjami o tej samej dziedzinie $D\subset\mathbb{R}$ oraz niech $x_0,a,b\in\mathbb{R}$. Jeśli

to

Niech $f:D\to\mathbb{R}$ oraz $g:D\to\mathbb{R}$ będą dwiema danymi funkcjami o tej samej dziedzinie $D\subset\mathbb{R}$ oraz niech $x_0,a,b\in\mathbb{R}$. Jeśli $g(x)\neq 0$ dla $x\in D$ oraz

to

Obliczymy poniższe granice

1. $\lim\limits_{x\to 1}\left[3^{2-x}+\text{log}_2(x+3)\right]$

2. $\lim\limits_{x\to -2}\left[x^2+\sin(\pi x)\right]$

3. $\lim\limits_{x\to 0}\left[(x^2+4)\cdot\cos (x-\pi)\right]$

4. $\lim\limits_{x\to \frac{1}{3}}\frac{x^2+6x}{3x+1}$

Ad. 1. Ponieważ $\lim\limits_{x\to 1}3^{2-x}=3^{2-1}=3$ oraz $\lim\limits_{x\to 1}\text{log}_2(x+3)=\text{log}_2(1+3)=\text{log}_2 4=2$ więc

Ad. 2. Ponieważ $\lim\limits_{x\to -2}x^2=(-2)^2=4$ oraz $\lim\limits_{x\to -2}\sin(\pi x)=\sin (-2\pi)=0$ więc

Ad. 3. Ponieważ $\lim\limits_{x\to 0}(x^2+4)=4$ oraz $\lim\limits_{x\to 0}\cos (x-\pi)=\cos (-\pi)=-1$ więc

Ad. 4. Ponieważ $\lim\limits_{x\to \frac{1}{3}}(x^2+6x)=\frac{1}{9}+2=\frac{19}{9}$ oraz $\lim\limits_{x\to \frac{1}{3}}(3x+1)=1+1=2$ więc

Obliczymy granice

1. $\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^3-8}{x-2}$

2. $\lim\limits_{x\to -1}\frac{x^2-1}{x+1}$

3. $\lim\limits_{x\to 3}\frac{x^2-6x+9}{x-3}$

Ad. 1. Ponieważ $\lim\limits_{x\to 2}(x^3-8)=2^3-8=0$ oraz $\lim\limits_{x\to 2}(x-2)=2-2=0$ więc

Otrzymujemy zatem symbol nieoznaczony. W takiej sytuacji próbujemy przekształcić funkcję tak aby pozbyć się symbolu niezonaczonego. W liczniku skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianówróżnica sześcianówróżnicę sześcianów.

Ad. 2. Ponieważ $\lim\limits_{x\to -1}(x^2-1)=1-1=0$ oraz $\lim\limits_{x\to -1}(x+1)=-1+1=0$ więc w tym przypadku również otrzymujemy symbol nieoznaczony $\left[\frac{0}{0}\right]$. Przekształcamy zatem funkcję tym razem stosując w liczniku wzór na różnicę kwadratówróżnica kwadratówróżnicę kwadratów.

Zwróćmy uwagę, że tym razem wartość symbolu $\left[\frac{0}{0}\right]$ jest inna niż poprzednio.

Ad. 3. Ponieważ $\lim\limits_{x\to 3}(x^2-6x+9)=9-18+9=0$ oraz $\lim\limits_{x\to 3}(x-3)=3-3=0$ więc po raz kolejny w granicy otrzymujemy symbol nieoznaczony $\left[\frac{0}{0}\right]$. Tym razem usuniemy go stosując w liczniku wzór na kwadrat różnicykwadrat różnicykwadrat różnicy

Po raz kolejny wartość symbolu $\left[\frac{0}{0}\right]$ okazała się inna co pokazuje, że jego wartość nie jest jednoznaczna.

Obliczymy granicę

Spróbujmy obliczyć granicę podstawiając w miejsce $x$ wartość graniczną $-1$.

Otrzymujemy zatem symbol nieoznaczony, który uniemożliwia nam zastosowanie twierdzeń o arytmetyce granic. Pozbędziemy się go mnożąc licznik i mianownik przez wyrażenie $\sqrt{x+5}+2$ i stosując wzór na różnicę kwadratówróżnica kwadratówróżnicę kwadratów.

Obliczymy granicę

Spróbujmy obliczyć podaną granicę podstawiając w miejsce $x$ wartość graniczną $0$.

Tym razem aby pozbyć się symbolu $\left[\frac{0}{0}\right]$ zastosujemy wzór na sinus podwojonego argumentu: $\sin (2x)=2\sin x\cos x$. Otrzymujemy wówczas

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$