Rozważmy nieskracalne wyrażenia wymierne F x G x oraz P x Q x , gdzie F x , G x , P x , Q x to wielomiany, przy czym G x i Q x nie są wielomianami zerowymi.
Aby sprowadzić wyrażenia wymierne F x G x i P x Q x do wspólnego mianownika:
rozkładamy mianowniki G x i Q x do postaci iloczynowej (iloczyn wielomianów nierozkładalnych, wielomiany różniące się tylko przemnożeniem przez stałą zapisujemy w tej samej postaci);
wspólnym mianownikiem obu ułamków będzie iloczyn wielomianu G x i tych czynników z rozkładu Q x , które nie występują w rozkładzie G x (uwzględniamy krotności);
rozszerzamy oba ułamki przez odpowiednie czynniki tak, by sprowadzić je do wyznaczonego wspólnego mianownika;
pamiętamy o określeniu założeń określenie założeń określeniu założeń .
Postępując w powyższy sposób, uzyskamy wspólny mianownik możliwie najmniejszego stopnia.
Wyjaśnimy działanie opisanego algorytmu, analizując kolejne przykłady.
Przykład 1
Sprowadzimy do wspólnego mianownika ułamki.
2 3 x i 5 7 x
Rozwiązanie
5 9 x 2 i 7 12 x 3
14 x i x 14
Przykład 2
Sprowadzimy do wspólnego mianownika ułamki.
R1KDhi7XJ3UWe x + 1 x + 3 x - 2 i
x - 4 x + 2 x - 2 Zauważmy, że wspólny mianownik to x + 3 x + 2 x - 2 .
x + 1 x + 3 x - 2 = x + 1 x + 2 x + 3 x + 2 x - 2 x - 4 x + 2 x - 2 = x - 4 x + 3 x + 3 x + 2 x - 2
Założenia: x ∈ ℝ ∖ - 3 ; - 2 ; 2 .
,
x - 1 2 x - 6 x + 4 i
3 x + 1 x - 3 3 x + 12 Zauważmy, że z niektórych nawiasów w mianownikach możemy wyłączyć wspólny czynnik. x - 1 2 x - 6 x + 4 = x - 1 2 x - 3 x + 4 3 x + 1 x - 3 3 x + 12 = 3 x + 1 3 x - 3 x + 4
Dzięki takiemu zapisowi widać, że wspólny mianownik to 6 x - 3 x + 4 .
x - 1 2 x - 6 x + 4 = 3 x - 1 6 x - 3 x + 4 3 x + 1 x - 3 3 x + 12 = 2 3 x + 1 6 x - 3 x + 4
Założenia: x ∈ ℝ ∖ - 4 ; 3 .
,
x 2 - 4 5 - x 3 - x i
x 2 + 1 x - 5 x + 4 Zauważmy, że x 2 - 4 5 - x 3 - x = x 2 - 4 x - 5 x - 3 .
Zatem wspólnym mianownikiem może być iloczyn x - 5 x - 3 x + 4 .
x 2 - 4 5 - x 3 - x = x 2 - 4 x + 4 x - 5 x - 3 x + 4 x 2 + 1 x - 5 x + 4 = x 2 + 1 x - 3 x - 5 x + 4 x - 3
Założenia: x ∈ ℝ ∖ - 4 ; 3 ; 5 .
x + 1 x + 3 x - 2 i x - 4 x + 2 x - 2 Zauważmy, że wspólny mianownik to x + 3 x + 2 x - 2 .
x + 1 x + 3 x - 2 = x + 1 x + 2 x + 3 x + 2 x - 2 x - 4 x + 2 x - 2 = x - 4 x + 3 x + 3 x + 2 x - 2
Założenia: x ∈ ℝ ∖ - 3 ; - 2 ; 2 .
, x - 1 2 x - 6 x + 4 i 3 x + 1 x - 3 3 x + 12 Zauważmy, że z niektórych nawiasów w mianownikach możemy wyłączyć wspólny czynnik. x - 1 2 x - 6 x + 4 = x - 1 2 x - 3 x + 4 3 x + 1 x - 3 3 x + 12 = 3 x + 1 3 x - 3 x + 4
Dzięki takiemu zapisowi widać, że wspólny mianownik to 6 x - 3 x + 4 .
x - 1 2 x - 6 x + 4 = 3 x - 1 6 x - 3 x + 4 3 x + 1 x - 3 3 x + 12 = 2 3 x + 1 6 x - 3 x + 4
Założenia: x ∈ ℝ ∖ - 4 ; 3 .
, x 2 - 4 5 - x 3 - x i x 2 + 1 x - 5 x + 4 Zauważmy, że x 2 - 4 5 - x 3 - x = x 2 - 4 x - 5 x - 3 .
Zatem wspólnym mianownikiem może być iloczyn x - 5 x - 3 x + 4 .
x 2 - 4 5 - x 3 - x = x 2 - 4 x + 4 x - 5 x - 3 x + 4 x 2 + 1 x - 5 x + 4 = x 2 + 1 x - 3 x - 5 x + 4 x - 3
Założenia: x ∈ ℝ ∖ - 4 ; 3 ; 5 .
x + 1 x + 3 x - 2 i x - 4 x + 2 x - 2
Zauważmy, że wspólny mianownik to x + 3 x + 2 x - 2 .
x + 1 x + 3 x - 2 = x + 1 x + 2 x + 3 x + 2 x - 2 x - 4 x + 2 x - 2 = x - 4 x + 3 x + 3 x + 2 x - 2
Założenia: x ∈ ℝ ∖ - 3 ; - 2 ; 2 .
x - 1 2 x - 6 x + 4 i 3 x + 1 x - 3 3 x + 12
Zauważmy, że z niektórych nawiasów w mianownikach możemy wyłączyć wspólny czynnik. x - 1 2 x - 6 x + 4 = x - 1 2 x - 3 x + 4 3 x + 1 x - 3 3 x + 12 = 3 x + 1 3 x - 3 x + 4
Dzięki takiemu zapisowi widać, że wspólny mianownik to 6 x - 3 x + 4 .
x - 1 2 x - 6 x + 4 = 3 x - 1 6 x - 3 x + 4 3 x + 1 x - 3 3 x + 12 = 2 3 x + 1 6 x - 3 x + 4
Założenia: x ∈ ℝ ∖ - 4 ; 3 .
x 2 - 4 5 - x 3 - x i x 2 + 1 x - 5 x + 4
Zauważmy, że x 2 - 4 5 - x 3 - x = x 2 - 4 x - 5 x - 3 .
Zatem wspólnym mianownikiem może być iloczyn x - 5 x - 3 x + 4 .
x 2 - 4 5 - x 3 - x = x 2 - 4 x + 4 x - 5 x - 3 x + 4 x 2 + 1 x - 5 x + 4 = x 2 + 1 x - 3 x - 5 x + 4 x - 3
Założenia: x ∈ ℝ ∖ - 4 ; 3 ; 5 .
W przedstawionych rozwiązaniach mianownik, a czasem też licznik są zwykle pozostawione w postaci iloczynowej postać iloczynowa wielomianu postaci iloczynowej . W razie potrzeby można je przekształcić do innej formy.
Przykład 3
Sprowadzimy do wspólnego mianownika poniższe ułamki.
RpwfrBqJQ69tj x + 3 4 x 2 - 28 x i
5 x - 1 6 x 3 - 42 x 2 Zapiszmy mianowniki ułamków w postaci iloczynowej. x + 3 4 x 2 - 28 x = x + 3 4 x x - 7 5 x - 1 6 x 3 - 42 x 2 = 5 x - 1 6 x 2 x - 7
Możemy zauważyć, że wspólnym mianownikiem będzie iloczyn 12 x 2 x - 7 .
Rozszerzmy odpowiednio ułamki, sprowadzając je do wspólnego mianownika. x + 3 4 x 2 - 28 x = 3 x x + 3 12 x 2 x - 7 5 x - 1 6 x 3 - 42 x 2 = 2 5 x - 1 12 x 2 x - 7
Założenia: x ∈ ℝ ∖ 0 ; 7 ., 2 x 2 + 7 36 x 2 + 42 x - 18 i 3 x 2 - 4 30 x 2 - 55 x + 15 Zapiszmy mianowniki ułamków w postaci iloczynowej. 2 x 2 + 7 36 x 2 + 42 x - 18 = 2 x 2 + 7 6 3 x - 1 2 x + 3 3 x 2 - 4 30 x 2 - 55 x + 15 = 3 x 2 - 4 5 3 x - 1 2 x - 3
Przy takim zapisie łatwo zauważyć, że wspólnym mianownikiem może być wyrażenie 30 3 x - 1 2 x + 3 2 x - 3 .
Rozszerzmy zatem odpowiednio ułamki, sprowadzając je do wspólnego mianownika. 2 x 2 + 7 36 x 2 + 42 x - 18 = 5 2 x 2 + 7 2 x - 3 30 3 x - 1 2 x + 3 2 x - 3 3 x 2 - 4 30 x 2 - 55 x + 15 = 6 3 x 2 - 4 2 x + 3 30 3 x - 1 2 x + 3 2 x - 3
Założenia: x ∈ ℝ ∖ - 3 2 ; 1 3 ; 3 2 . x + 3 4 x 2 - 28 x i 5 x - 1 6 x 3 - 42 x 2 Zapiszmy mianowniki ułamków w postaci iloczynowej. x + 3 4 x 2 - 28 x = x + 3 4 x x - 7 5 x - 1 6 x 3 - 42 x 2 = 5 x - 1 6 x 2 x - 7
Możemy zauważyć, że wspólnym mianownikiem będzie iloczyn 12 x 2 x - 7 .
Rozszerzmy odpowiednio ułamki, sprowadzając je do wspólnego mianownika. x + 3 4 x 2 - 28 x = 3 x x + 3 12 x 2 x - 7 5 x - 1 6 x 3 - 42 x 2 = 2 5 x - 1 12 x 2 x - 7
Założenia: x ∈ ℝ ∖ 0 ; 7 ., 2 x 2 + 7 36 x 2 + 42 x - 18 i 3 x 2 - 4 30 x 2 - 55 x + 15 Zapiszmy mianowniki ułamków w postaci iloczynowej. 2 x 2 + 7 36 x 2 + 42 x - 18 = 2 x 2 + 7 6 3 x - 1 2 x + 3 3 x 2 - 4 30 x 2 - 55 x + 15 = 3 x 2 - 4 5 3 x - 1 2 x - 3
Przy takim zapisie łatwo zauważyć, że wspólnym mianownikiem może być wyrażenie 30 3 x - 1 2 x + 3 2 x - 3 .
Rozszerzmy zatem odpowiednio ułamki, sprowadzając je do wspólnego mianownika. 2 x 2 + 7 36 x 2 + 42 x - 18 = 5 2 x 2 + 7 2 x - 3 30 3 x - 1 2 x + 3 2 x - 3 3 x 2 - 4 30 x 2 - 55 x + 15 = 6 3 x 2 - 4 2 x + 3 30 3 x - 1 2 x + 3 2 x - 3
Założenia: x ∈ ℝ ∖ - 3 2 ; 1 3 ; 3 2 .
x + 3 4 x 2 - 28 x i 5 x - 1 6 x 3 - 42 x 2
Przykład 4
Sprowadzimy do wspólnego mianownika ułamki.
R115O3Mve1rt4 x 2 - 4 x + 4 x 2 - 4 i
x 2 + 2 x 2 + 4 x + 4 Zapiszmy mianowniki w postaci iloczynowej. Zauważmy, że warto również zamienić na iloczyn licznik pierwszego ułamka, co pozwoli na jego skrócenie:
x 2 - 4 x + 4 x 2 - 4 = ( x - 2 ) 2 ( x + 2 ) ( x - 2 ) = x - 2 x + 2
x 2 + 2 x 2 + 4 x + 4 = x 2 + 2 ( x + 2 ) 2
Teraz możemy zauważyć, że optymalny wspólny mianownik to ( x + 2 ) 2 .
x 2 - 4 x + 4 x 2 - 4 = ( x - 2 ) ( x + 2 ) ( x + 2 ) 2
Drugi ułamek pozostaje w postaci x 2 + 2 ( x + 2 ) 2 ;
Założenia: x ∈ ℝ -
(pamiętajmy, by podając założenia uwzględnić sytuację początkową - przed skracaniem przez x - 2 )
,
3 x 3 - x 2 x 5 - 16 x 3 i
4 x 2 - 12 x - 16 2 x 2 - 16 x + 32 Po zapisaniu liczników i mianowników w postaci iloczynowej ułamki możemy skrócić.
3 x 3 - x 2 x 5 - 16 x 3 = x 2 ( 3 x - 1 ) x 3 ( x 2 - 16 ) = x 2 ( 3 x - 1 ) x 3 ( x - 4 ) ( x + 4 ) = 3 x - 1 x ( x - 4 ) ( x + 4 )
4 x 2 - 12 x - 16 2 x 2 - 16 x + 32 = 4 ( x 2 - 3 x - 4 ) 2 ( x 2 - 8 x + 16 ) = = 4 ( x - 4 ) ( x + 1 ) 2 ( x - 4 ) 2 = 2 ( x + 1 ) x - 4
Zatem wspólnym mianownikiem może być iloczyn x ( x - 4 ) ( x + 4 ) .
3 x 3 - x 2 x 5 - 16 x 3 = 3 x - 1 x ( x - 4 ) ( x + 4 )
4 x 2 - 12 x - 16 2 x 2 - 16 x + 32 = 2 x ( x + 1 ) ( x + 4 ) x ( x - 4 ) ( x + 4 ) ;
Założenia: x ∈ ℝ -
x 2 - 4 x + 4 x 2 - 4 i x 2 + 2 x 2 + 4 x + 4 Zapiszmy mianowniki w postaci iloczynowej. Zauważmy, że warto również zamienić na iloczyn licznik pierwszego ułamka, co pozwoli na jego skrócenie:
x 2 - 4 x + 4 x 2 - 4 = ( x - 2 ) 2 ( x + 2 ) ( x - 2 ) = x - 2 x + 2
x 2 + 2 x 2 + 4 x + 4 = x 2 + 2 ( x + 2 ) 2
Teraz możemy zauważyć, że optymalny wspólny mianownik to ( x + 2 ) 2 .
x 2 - 4 x + 4 x 2 - 4 = ( x - 2 ) ( x + 2 ) ( x + 2 ) 2
Drugi ułamek pozostaje w postaci x 2 + 2 ( x + 2 ) 2 ;
Założenia: x ∈ ℝ -
(pamiętajmy, by podając założenia uwzględnić sytuację początkową - przed skracaniem przez x - 2 )
, 3 x 3 - x 2 x 5 - 16 x 3 i 4 x 2 - 12 x - 16 2 x 2 - 16 x + 32 Po zapisaniu liczników i mianowników w postaci iloczynowej ułamki możemy skrócić.
3 x 3 - x 2 x 5 - 16 x 3 = x 2 ( 3 x - 1 ) x 3 ( x 2 - 16 ) = x 2 ( 3 x - 1 ) x 3 ( x - 4 ) ( x + 4 ) = 3 x - 1 x ( x - 4 ) ( x + 4 )
4 x 2 - 12 x - 16 2 x 2 - 16 x + 32 = 4 ( x 2 - 3 x - 4 ) 2 ( x 2 - 8 x + 16 ) = = 4 ( x - 4 ) ( x + 1 ) 2 ( x - 4 ) 2 = 2 ( x + 1 ) x - 4
Zatem wspólnym mianownikiem może być iloczyn x ( x - 4 ) ( x + 4 ) .
3 x 3 - x 2 x 5 - 16 x 3 = 3 x - 1 x ( x - 4 ) ( x + 4 )
4 x 2 - 12 x - 16 2 x 2 - 16 x + 32 = 2 x ( x + 1 ) ( x + 4 ) x ( x - 4 ) ( x + 4 ) ;
Założenia: x ∈ ℝ -
x 2 - 4 x + 4 x 2 - 4 i x 2 + 2 x 2 + 4 x + 4
Zapiszmy mianowniki w postaci iloczynowej. Zauważmy, że warto również zamienić na iloczyn licznik pierwszego ułamka, co pozwoli na jego skrócenie.
x 2 - 4 x + 4 x 2 - 4 = x - 2 2 x + 2 x - 2 = x - 2 x + 2
x 2 + 2 x 2 + 4 x + 4 = x 2 + 2 x + 2 2
Teraz możemy zauważyć, że optymalny wspólny mianownik to x + 2 2 .
x 2 - 4 x + 4 x 2 - 4 = x - 2 x + 2 x + 2 2
Drugi ułamek pozostaje w postaci x 2 + 2 x + 2 2 .
Założenia: x ∈ ℝ ∖ - 2 ; 2 .
(Pamiętajmy, by podając założenia, uwzględnić sytuację początkową - przed skracaniem przez x - 2 ).
3 x 3 - x 2 x 5 - 16 x 3 i 4 x 2 - 12 x - 16 2 x 2 - 16 x + 32
Po zapisaniu liczników i mianowników w postaci iloczynowej ułamki możemy skrócić.
3 x 3 - x 2 x 5 - 16 x 3 = x 2 3 x - 1 x 3 x 2 - 16 = x 2 3 x - 1 x 3 x - 4 x + 4 = 3 x - 1 x x - 4 x + 4
4 x 2 - 12 x - 16 2 x 2 - 16 x + 32 = 4 x 2 - 3 x - 4 2 x 2 - 8 x + 16 = 4 x - 4 x + 1 2 x - 4 2 = 2 x + 1 x - 4
Zatem wspólnym mianownikiem może być iloczyn x x - 4 x + 4 .
3 x 3 - x 2 x 5 - 16 x 3 = 3 x - 1 x x - 4 x + 4
4 x 2 - 12 x - 16 2 x 2 - 16 x + 32 = 2 x x + 1 x + 4 x x - 4 x + 4
Założenia: x ∈ ℝ ∖ - 4 ; 0 ; 4 .
Słownik dziedzina wyrażenia algebraicznego dziedzina wyrażenia algebraicznego
zbiór tych wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wyrażenie algebraiczne ma sens liczbowy
określenie założeń określenie założeń
podanie dla wszystkich zmiennych występujących w wyrażeniu warunków, przy których wyrażenie ma sens, np.:
mianowniki ułamków i liczby, przez które dzielimy, muszą być różne od zera;
pierwiastki stopnia parzystego nie są określone dla liczb ujemnych;
podstawa logarytmu i liczba logarytmowana muszą być dodatnie, ponadto podstawa logarytmu musi być różna od 1 ;
nie można podnosić zera do potęgi o wykładniku 0
postać iloczynowa wielomianu postać iloczynowa wielomianu
jeżeli wielomian W x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + … stopnia n ma n pierwiastków x 1 , x 2 , … , x n , to można go zapisać w postaci iloczynowej W x = a n x - x 1 x - x 2 … x - x n