Przeczytaj

Przypomnienie najważniejszych pojęć

Wyrażenia algebraiczne to liczby, litery lub liczby i litery połączone znakami działań. W wyrażeniach algebraicznych mogą występować też nawiasy.

Przykłady wyrażań algebraicznych
Zapis symboliczny	Nazwa
$x + 6 y$	Suma
$7 x - 3 x y$	Różnica
$a b c$	Iloczyn
$(a ‑ b) : (c + d)$	Iloraz

Jednomian to liczba lub litera, lub iloczyn liter, lub iloczyn liczb i liter.

Przykłady jednomianów
$5 x$ ; $- c d e$ ; $0, 2 x^{3} y$ ; $6$ ; $a b c \cdot 3 a$

Jednomian staramy się zapisać w postaci uporządkowanej – najpierw zapisujemy współczynnik liczbowy, następnie zmienne w porządku alfabetycznym.

Przykłady jednomianów w postaci uporządkowanej
Jednomian	Współczynnik liczbowy
$j k$	$1$
$9 a^{3} x$	$9$
$- m$	$- 1$
$\frac{3}{4} a b c^{5} d^{7}$	$\frac{3}{4}$

Jednomiany, które różnią się co najwyżej współczynnikiem liczbowym, nazywamy podobnymi. Jednomiany podobne składają się z tych samych zmiennych, występujących w tej samej potędze.

Przykłady jednomianów podobnych
$a b$ ; $- 3 a b$ ; $0, 4 a b$	$2 x^{3}$ ; $x^{3}$ ; $1,2 x^{3}$	$3 m p^{2}$ ; $- m p^{2}$ ; $7 m p^{2}$

Suma algebraiczna (wielomian)suma algebraiczna (wielomian)Suma algebraiczna (wielomian) to wyrażenie algebraiczne, w którym występuje dodawanie jednomianów. Składniki sumy nazywamy wyrazami sumy algebraicznejwyrazy sumy algebraicznejwyrazami sumy algebraicznej.

Przykłady sum algebraicznych
Suma	Wyrazy sumy
$x + 5$	$x$ , $5$
$3 x - y + 20$	$3 x, - y, 20$

Wartość liczbowa wyrażenia algebraicznego, to liczba, którą otrzymamy, gdy do danego wyrażenia w miejsce niewiadomych (liter), wstawimy dane liczby i wykonamy wskazane działania.

Przykłady obliczania wartości liczbowej wyrażeń algebraicznych
Obliczamy wartość liczbową wyrażenia $5 x - 3 y + 1$ , jeśli $x = 0, y = - 1$	$5 \cdot 0 - 3 \cdot (- 1) + 1 = 3 + 1 = 4$

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych

Aby dodać lub odjąć sumy algebraiczne, należy najpierw opuścić nawiasy, o ile istnieją, a następnie wykonać redukcję wyrazów podobnych, o ile to możliwe. Przy czym nawiasy poprzedzone znakiem „+” usuwamy, bez zmiany znaków przed wyrazami w nawiasach. Nawiasy poprzedzone znakiem – usuwamy, zmieniając znak każdego wyrazu występującego w nawiasie na przeciwny.

Przykład 1

Dodamy następujące wyrażenia:

$x - 4 y + 2$ ,
$2 x + y - 1$ ,
$- 3 x + y$ .

$(x - 4 y + 2) + (2 x + y - 1) + (- 3 x + y) =$
$= x - 4 y + 2 + 2 x + y - 1 - 3 x + y =$
$= - 2 y + 1$

Zauważ, że przed każdym z nawiasów stał znak „+”, zatem opuszczając nawiasy nie zmienialiśmy znaków jednomianów zapisanych w nawiasach.

Przykład 2

Odejmiemy wyrażenia $6 a c - 2 d + 5$ i $3 a c - d + 1$ .

$(6 a c - 2 d + 5) - (3 a c - d + 1) =$
$= 6 a c - 2 d + 5 - 3 a c + d - 1 =$
$= 3 a c - d + 4$

Zauważ, że przed drugim nawiasem stał znak „-”, zatem opuszczając nawias, zmienialiśmy znaki jednomianów zapisanych w nawiasie na przeciwne.

Przykład 3

Niech
$A = - 6 x y^{3} - 5 x + 4$ ,
$B = 2 - 3 x + 2 x y^{3}$ ,
$C = 2 x - 2$ .

Zapiszemy w prostszej postaci wyrażenie:
$C - [(A - B) + (B - A) + A]$ .

1 sposób

Sprowadzamy najpierw do najprostszej postaci wyrażenie $C - [(A - B) + (B - A) + A]$ , a następnie do wyniku podstawiamy odpowiednie wyrażenia, opuszczamy nawiasy i redukujemy wyrazy podobne.

$C - [(A - B) + (B - A) + A] =$
$= C - (A - B + B - A + A) = C - A$

$C - A = (2 x - 2) - (- 6 x y^{3} - 5 x + 4) =$
$= 2 x - 2 + 6 x y^{3} + 5 x - 4 = 6 x y^{3} + 7 x - 6$

2 sposób

Oznaczmy: $K = C - [(A - B) + (B - A) + A]$ .

W miejsce $A$ , $B$ , $C$ podstawiamy odpowiednie wyrażenia, wykonujemy wskazane działania i redukujemy wyrazy podobne.

$K = 2 x - 2 - [(- 6 x y^{3} - 5 x + 4 - 2 + 3 x - 2 x y^{3}) +$
$+ (2 - 3 x + 2 x y^{3} + 6 x y^{3} + 5 x - 4) + (- 6 x y^{3} - 5 x + 4)]$

$K = 2 x - 2 - [(- 8 x y^{3} - 2 x + 2) +$
$+ (8 x y^{3} + 2 x - 2) + (- 6 x y^{3} - 5 x + 4)]$

$K = 2 x - 2 - (0 - 6 x y^{3} - 5 x + 4)$

$K = 2 x - 2 + 6 x y^{3} + 5 x - 4$

$K = 6 x y^{3} + 7 x - 6$

Przykład 4

Wykażemy, że suma $6$ kolejnych liczb naturalnych dodatnich jest podzielna przez $3$ .

Oznaczmy:
$a, a + 1, a + 2, a + 3, a + 4, a + 5$ - kolejne liczby naturalne dodatnie.

$a + a + 1 + a + 2 + a + 3 + a + 4 + a + 5 = 6 a + 15 = 3 (2 a + 5)$

Liczba $2 a + 5$ jest liczbą naturalną.
Zatem iloczyn liczby 3 i liczby $2 a + 5$ jest podzielny przez $3$ .

Przykład 5

Wykażemy, że suma dwóch liczb naturalnych, z których pierwsza przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $2$ , a druga przy dzieleniu przez $10$ daje resztę $3$ , dzieli się przez $5$ .

Oznaczmy:
$5 a + 2$ - liczba, która w dzieleniu przez $5$ daje resztę $2$ ,
$10 b + 3$ - liczba, która w dzieleniu przez $10$ daje resztę $3$ .

$(5 a + 2) + (10 b + 3) = 5 a + 2 + 10 b + 3 = 5 a + 10 b + 5 = 5 (a + 2 b + 1)$

Liczba $a + 2 b + 1$ to liczba naturalna, zatem iloczyn $5 (a + 2 b + 1)$ dzieli się
przez $5$ .

Słownik

suma algebraiczna (wielomian)

wyrażenie algebraiczne, w którym występuje dodawanie jednomianów

wyrazy sumy algebraicznej

składniki sumy algebraicznej

Wprowadzenie

Test samosprawdzający

Przypomnienie najważniejszych pojęć

Słownik