Przeczytaj

styczna do okręgu

Definicja: styczna do okręgu

Prostą, która ma dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem, nazywamy styczną do okręgustyczna do okręgustyczną do okręgu. Punkt wspólny nazywamy punktem styczności.

RqQ2y7xXmXCgN

Ilustracja przedstawia okrąg oraz styczną do tego okręgu.

styczna do okręgu w danym punkcie

Własność: styczna do okręgu w danym punkcie

Prosta $k$ jest styczna do okręgu w punkcie $A$ wtedy i tylko wtedy, gdy punkt $A$ jest punktem wspólnym okręgu i prostej $k$ oraz jednocześnie odcinek $O A$ , łączący środek okręgu z tym punktem, jest prostopadły do prostej $k$ .

Rol0B5FwQZ5wb

Ilustracja przedstawia okrąg o środku oraz styczną do tego okręgu podpisaną literą k. Punkt styku okręgu i stycznej podpisano litera A. Punkty O i A połączono odcinkiem prostopadłym do stycznej k.

Podamy teraz konstrukcyjny sposób poprowadzenia przez dany punkt, nie należący do okręgu, stycznych do tego okręgu.

Konstrukcja

Rysujemy okrąg i zaznaczamy punkt $P$ . Następnie rysujemy odcinek $O P$ .
R1PkmneeAxVEu
Prowadzimy symetralną odcinka $O P$ , która przechodzi przez jego środek w punkcie $K$ .
R1NKIR0NlzmqI

3. Zakreślamy okrągokrąg o środku $O$ i promieniu $r$ okrąg o środku w punkcie $K$ i promieniu $K O$ .

R1NUjjnr3VwmG

Ilustracja przedstawia okrąg o środku O oraz punkt P znajdujący się poza okręgiem. Punkty O i P łączy poziomy odcinek. Na środku odcinka OP zaznaczono punkt K, przez który poprowadzono pionową prostą. Linią przerywaną narysowano okrąg o środku w punkcie K, który przechodzi przez punkt O oraz punkt P.

Wyznaczamy punkty wspólne tego okręgu i okręgu danego. Przez każdy z tych punktów i punkt $P$ prowadzimy prostą.
RS3NzEWAUH4qD
Ilustracja przedstawia okrąg o środku O oraz punkt P znajdujący się poza okręgiem. Punkty O i P łączy poziomy odcinek. Na środku odcinka OP zaznaczono punkt K, przez który poprowadzono pionową prostą. Linią przerywaną narysowano okrąg o środku w punkcie K, który przechodzi przez punkt O oraz punkt P. Z punktu P poprowadzono dwie styczne do okręgu o środku O. Punkt znajdujący się powyżej środka okręgu, w którym styczna styka się z okręgiem, podpisano literą A.

Prosta $A P$ jest styczna do okręgu, ponieważ kąt wpisany $O A P$ jest oparty na średnicy $O P$ , więc ma miarę $90 °$ . Prosta $A P$ jest prostopadła do odcinka $O A$ , zatem odległość punktu $O$ od tej prostej w punkcie $A$ jest równa promieniowi danego okręgu.

R1610FFRTKNbl

Opisana konstrukcja pozwala wyznaczyć dwie styczne dla każdego punktu $P$ leżącego poza danym okręgiem.

Ważne!

Z danego punktu leżącego poza okręgiem, można poprowadzić dwie styczne do tego okręgu.

Wykorzystamy powyższą metodę do wyznaczenia równań stycznych do okręgu.

Przykład 1

Napiszemy równania stycznych do okręgu $x^{2} + y^{2} = 13$ poprowadzonych z punktu $P = (5, 1)$ .

Rozwiązanie:

Równanie prostej przechodzącej przez punkt $P = (x_{p}, y_{p})$ jest postaci $y = a (x - x_{p}) + y_{p}$ .

Dla danego punktu $P = (5, 1)$ otrzymujemy zatem równanie prostej w postaci $y = a (x - 5) + 1$ .

Z równania danego okręgu wiemy, że ma środek w punkcie $O = (0, 0)$ .

Opierając się na przedstawionej konstrukcji, wyznaczymy równanie okręgu o środku w punkcie $K$ , będącym środkiem odcinka $O P$ .

Wyznaczymy współrzędne punktu $K$ korzystając ze wzoru na środek odcinka. $K = (\frac{0 + 5}{2}, \frac{0 + 1}{2})$ , czyli $K = (\frac{5}{2}, \frac{1}{2})$ .

Promień okręgu o środku w punkcie $K$ wynosi $r_{1} = |K P| = |O K| = \sqrt{{(\frac{5}{2} - 0)}^{2} + {(\frac{1}{2} - 0)}^{2}} = \sqrt{\frac{26}{4}} = \frac{\sqrt{26}}{2}$ .

Równanie okręgu o środku w punkcie $K$ ma zatem postać ${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{26}{4}$ .

Punkty przecięcia okręgów ${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{26}{4}$ i $x^{2} + y^{2} = 13$ są punktami styczności prostych przechodzących przez punkt $P$ .

Po zastosowaniu wzorów skróconego mnożenia, równanie okręgu ${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{26}{4}$ , przyjmuje postać $x^{2} - 5 x + \frac{25}{4} + y^{2} - y + \frac{1}{4} = \frac{26}{4}$ , a po redukcji wyrażeń podobnych: $x^{2} + y^{2} - 5 x - y = 0$ .

Szukamy punktów przecięcia obu okręgów, w tym celu rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} - 5 x - y = 0 \\ x^{2} + y^{2} = 13 \end{cases}$

Odejmując stronami równanie pierwsze od drugiego, otrzymujemy: $5 x + y = 13$ , stąd $y = 13 - 5 x$ .

W równaniu $x^{2} + y^{2} = 13$ podstawiamy $y = 13 - 5 x$ i otrzymujemy równanie $x^{2} + {(13 - 5 x)}^{2} = 13$ .
Poprzez przekształcenia otrzymujemy $x^{2} + 169 - 130 x + 25 x^{2} = 13$ , a następnie $26 x^{2} - 130 x + 156 = 0$ , dochodzimy do równania kwadratowego postaci $13 x^{2} - 65 x + 78 = 0$ . Wyróżnik tego trójmianu wynosi $Δ = 65^{2} - 4 \cdot 13 \cdot 78 = 169 > 0$ , czyli równanie ma dwa rozwiązania:

$x_{1} = \frac{65 - 13}{2 \cdot 13} = 2$ i $x_{2} = \frac{65 + 13}{2 \cdot 13} = 3$ .

Ponieważ $y = 13 - 5 x$ , więc $y_{1} = 3$ , a $y_{2} = - 2$ .

Otrzymaliśmy punkty styczności $A = (2, 3)$ i $B = (3, - 2)$ , możemy przejść do wyznaczenia równań stycznych.

Równanie stycznej $A P$ zapiszemy jako:

$y = a (x - 5) + 1$ .

Wiedząc, że przechodzi przez punkt $A$ , otrzymujemy $3 = - 3 a + 1$ , $a = - \frac{2}{3}$

Równanie stycznej przyjmuje więc postać:

$y = - \frac{2}{3} (x - 5) + 1 = - \frac{2}{3} x + \frac{10}{3} + 1 = - \frac{2}{3} x + \frac{13}{3}$

Równanie stycznej $B P$ zapiszemy jako:

$y = a (x - 5) + 1$ .

Wiedząc, że przechodzi przez punkt $B$ , otrzymujemy $- 2 = - 2 a + 1$ , $a = \frac{3}{2}$ .

Równanie stycznej przyjmuje więc postać:

$y = \frac{3}{2} (x - 5) + 1 = \frac{3}{2} x - \frac{15}{2} + 1 = \frac{3}{2} x - \frac{13}{2}$

W ten sposób otrzymaliśmy równania prostych $y = \frac{3}{2} x - \frac{13}{2}$ oraz $y = - \frac{2}{3} x + \frac{13}{3}$ przechodzących przez punkt $P = (5, 1)$ i stycznych do okręgu $x^{2} + y^{2} = 13$ .

Wzajemne położenie prostej $y = m x + n$ i okręgu ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ możemy określić poprzez analizę liczby rozwiązań układu równań:

$\{\begin{cases} y = m x + n \\ {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2} \end{cases}$

Po podstawieniu $y = m x + n$ do drugiego równania, otrzymujemy równanie kwadratowe.

Możliwe są trzy przypadki:

$Δ > 0$ – prosta ma z okręgiem dwa (różne) punkty wspólne – jest sieczną okręgu,
$Δ < 0$ – prosta nie ma punktu wspólnego z okręgiem,
$Δ = 0$ – prosta ma z okręgiem jeden punkt wspólny (podwójny), czyli jest styczną do okręgu.

warunek styczności prostej i okręgu

Ważne!

Prosta $y = m x + n$ jest styczną do okręgu ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ , gdy równanie kwadratowe wynikające z układu równań:

$\{\begin{cases} y = m x + n \\ {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2} \end{cases}$

ma jedno rozwiązanie.

Przykład 2

Napiszemy równania stycznych do okręgu $x^{2} + y^{2} - 10 x + 4 y + 25 = 0$ przechodzących przez początek układu współrzędnych. .

Rozwiązanie:

Równanie prostej, na której leży punkt będący początkiem układu współrzędnych, ma postać $y = m x$ . Rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{cases} y = m x \\ x^{2} + y^{2} - 10 x + 4 y + 25 = 0 \end{cases}$

Podstawiamy $y = m x$ do równania $x^{2} + y^{2} - 10 x + 4 y + 25 = 0$ i otrzymujemy:

$x^{2} + {(m x)}^{2} - 10 x + 4 m x + 25 = 0$ , które zapisujemy w postaci $(1 + m^{2}) x^{2} - 2 (- 2 m + 5) x + 25 = 0$ .

Wyróżnik tego trójmianu musi być równy zeru, ponieważ wtedy prosta ma jeden punkt wspólny z okręgiem, czyli: $Δ = {[- 2 (- 2 m + 5)]}^{2} - 4 (1 + m^{2}) \cdot 25 = 0$

$16 m^{2} - 80 m + 100 - 100 - 100 m^{2} = 0$

$- 84 m^{2} - 80 m = 0$

$- 4 m (21 m + 20) = 0$

Stąd otrzymujemy dwie wartości $m$ : $m_{1} = 0$ , $m_{2} = - \frac{20}{21}$ .

Podstawiając uzyskane wartości do równania prostej $y = m x$ , otrzymujemy równania dwóch stycznych $y = 0$ , $y = - \frac{20}{21} x$ .

Wzajemne położenie okręgu i prostej na płaszczyźnie można również określić badając odległość prostej od środka okręgu.

Jeżeli odległość środka okręgu od prostej jest:

większa od długości promienia okręgu, to prosta i okrąg nie mają punktu wspólnego,
mniejsza od długości promienia okręgu, to prosta i okrąg mają dwa punkty wspólne – prostą nazywamy wtedy sieczną okręgu,
równa długości promienia okręgu, to prosta i okrąg mają jeden punkt wspólny – prostą nazywamy wtedy styczną do okręgu.

Prosta $A x + B y + C = 0$ jest styczną do okręgu, jeżeli jej odległość od środka okręgu jest równa długości promienia okręgu.

Odległość punktu $A = (x_{0}, y_{0})$ od prostej $A x + B y + C = 0$ opisuje wzór $d = \frac{|A x_{0} + B y_{0} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ . W naszym przypadku odległość środka okręgu od prostej będącej styczną jest równa promieniowi, czyli:

$r = \frac{|A \cdot a + B \cdot b + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ , gdzie $O = (a, b)$ jest środkiem okręgu.

Przykład 3

Wyznaczymy równania stycznych do okręgu o równaniu: ${(x - 4)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 25$ poprowadzonych z punktu $P = (- \frac{9}{4}; 3)$ .

Rozwiązanie

Proste styczne do okręgu mają równania postaci: $y = a x + b$ . Skoro przechodzą przez punkt $P$ , to: $3 = - \frac{9}{4} a + b$ , stąd: $b = 3 + \frac{9}{4} a$ i: $y = a x + \frac{9}{4} a + 3$ .

Zapiszemy równanie stycznej w postaci ogólnej: $a x - y + \frac{9}{4} a + 3 = 0$ .

Odległość środka okręgu od stycznej jest równa długości promienia. Środek okręgu to punkt $S = (4; 3)$ a promień ma długość $5$ .

Zatem:

$\frac{|a \cdot 4 - 3 + \frac{9}{4} a + 3|}{\sqrt{a^{2} + 1}} = 5$

$|\frac{25}{4} a| = 5 \sqrt{a^{2} + 1}$

$\frac{625}{16} a^{2} = 25 (a^{2} + 1)$

$\frac{225}{16} a^{2} = 25$

$a^{2} = \frac{16}{9}$

$a = - \frac{4}{3}$ lub $a = \frac{4}{3}$

Mamy więc odpowiednio: $b = 0$ lub $b = 6$ .

Styczne do okręgu o równaniu: ${(x - 4)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 25$ poprowadzone z punktu $P = (- \frac{9}{4}; 3)$ mają równania: $y = - \frac{4}{3} x$ lub $y = \frac{4}{3} x + 6$ .

Przykład 4

Wyznaczymy równania stycznych do okręgu o równaniu: ${(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 16$ równoległych do prostej o równaniu $y = 2 x - 5$ .

Rozwiązanie

Proste styczne do okręgu i równoległe do prostej $y = 2 x - 5$ mają równania postaci: $y = 2 x + b$ .

Odległość środka okręgu $S = (- 1; - 2)$ od stycznej jest równa długości promienia, czyli $4$ .

Równanie stycznej zapiszemy w postaci ogólnej: $2 x - y + b = 0$ i skorzystamy ze wzoru dla odległość punktu od prostej:

$\frac{|2 \cdot (- 1) - (- 2) + b|}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2}}} = 4$

$|b| = 4 \sqrt{5}$

$b = - 4 \sqrt{5}$ lub $b = 4 \sqrt{5}$ .

Ostatecznie równania stycznych mają postać: $y = 2 x - 4 \sqrt{5}$ lub $y = 2 x + 4 \sqrt{5}$

Przykład 5

Wyznaczymy równania stycznych do okręgu o równaniu: ${(x - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 4$ prostopadłych do prostej o równaniu $y = x + 1$ .

Rozwiązanie

Proste styczne do okręgu i prostopadłe do prostej $y = x + 1$ mają równania postaci: $y = - x + b$ .

Odległość środka okręgu $S = (3; - 3)$ od stycznej jest równa długości promienia, czyli $2$ .

Równanie stycznej zapiszemy w postaci ogólnej: $x + y - b = 0$ i skorzystamy ze wzoru dla odległość punktu od prostej:

$\frac{|3 - 3 - b|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = 2$

$|b| = 2 \sqrt{2}$

$b = - 2 \sqrt{2}$ lub $b = 2 \sqrt{2}$ .

Ostatecznie równania stycznych mają postać: $y = - x - 2 \sqrt{2}$ lub $y = - x + 2 \sqrt{2}$

Słownik

okrąg o środku

O

i promieniu

r

okrąg o środku

O

i promieniu

r

zbiór wszystkich punktów $P$ płaszczyzny, których odległość od punktu $O$ jest równa $r$

styczna do okręgu

prosta, która ma dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem; punkt wspólny nazywamy punktem styczności

Wprowadzenie

Animacja

Konstrukcja

Słownik