Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby $r$, zwanej różnicą ciągu.

Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez liczbę $q$, zwaną ilorazem ciągu.

Liczby $a$, $b$, $c$ ( w tej kolejności) są kolejnymi wyrazami trzywyrazowego ciągu arytmetycznego. Ich suma jest równa $15$. Jeśli dodamy do pierwszej z tych liczb $1$, do drugiej $4$ i do trzeciej $19$, to tak otrzymane liczby będą kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego (w tej samej  kolejności). Znajdziemy liczby $a$, $b$, $c$.

Rozwiązanie:

Najpierw korzystamy z własności ciągu arytmetycznego. Oznaczmy przez $r$ różnicę tego ciągu.

Wtedy:
$a$ – pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego,
$b=a+r$ – drugi wyraz ciągu arytmetycznego,
$c=a+2r$ – trzeci wyraz ciągu arytmetycznego.

Z treści zadania wynika, że suma tych wyrazów jest równa $15$.

$a+a+r+a+2r=15$

$3a+3r=15 |:3$

$a+r=5$

$a=5-r$

Teraz zajmiemy się ciągiem geometrycznym.

$a+1$ – pierwszy wyraz ciągu geometrycznego,
$a+r+4$ – drugi wyraz ciągu geometrycznego,
$a+2r+19$ – trzeci wyraz ciągu geometrycznego.

Korzystając z zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, zapisujemy odpowiednie równanie.

${\left(a+r+4\right)}^2=\left(a+1\right)\left(a+2r+19\right)$

Do równania podstawiamy w miejsce $a$ wcześniej wyznaczone wyrażenie.

${\left(5-r+r+4\right)}^2=\left(5-r+1\right)\left(5-r+2r+19\right)$

Sprowadzamy równanie do postaci ogólnej i rozwiązujemy.

$81=\left(6-r\right)\left(r+24\right)$

$r^2+18r-63=0$

$∆=324+252=576$

$r_1=\frac{-18-24}{2}=-21$

$r_2=\frac{-18+24}{2}=3$

Stąd:

$a=5-\left(-21\right)=26$ lub $a=5-3=2$

Jeśli $a=26$,  to $b=26-21=5$ i $c=5-21=-16$.

Jeśli $a=2$, to $b=2+3=5$ i $c=5+3=8$.

Odpowiedź:

Szukane liczby to $26$, $5$, $\left(-16\right)$ lub $2$, $5$, $8$.

W ciągu geometrycznym o wyrazach dodatnich, pierwszy wyraz jest równy $5$. Pierwszy, trzeci i piąty wyraz tego ciągu to odpowiednio pierwszy, czwarty i szesnasty wyraz ciągu arytmetycznego. Znajdź różnicę tego ciągu arytmetycznego.

Rozwiązanie:

Rozważmy najpierw ciąg geometrycznyciąg geometrycznyciąg geometryczny, oznaczając jego iloraz przez $q$.

Wtedy:
$5$ – pierwszy wyraz ciągu geometrycznego,
$5q^2$ – trzeci wyraz ciągu geometrycznego,
$5q^4$ – piąty wyraz ciągu geometrycznego.

Teraz zajmiemy się ciągiem arytmetycznym, oznaczając jego różnicę przez $r$.

$5$ – pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego,
$5+3r$ – czwarty wyraz ciągu arytmetycznego,
$5+15r$ – szesnasty wyraz ciągu arytmetycznego.

Na podstawie treści zadania zapisujemy odpowiednie równości.

$5q^2=5+3r$

$5q^4=5+15r$

Z tak otrzymanego układu równań wyznaczymy najpierw iloraz ciągu geometrycznego.

W tym celu dzielimy obie strony drugiego z równań przez $5$ i odejmujemy równania stronami.

$- \left\{\begin{array}{l}5q^2=5+3r\\ q^4=1+3r\end{array}\right.$

$q^4-5q^2+4=0$

Otrzymaliśmy równanie dwukwadratowe. Stosujemy podstawienie: $t=q^2$, $t>0$.

Rozwiązujemy równanie kwadratowe.

$t^2-5t+4=0$

$∆=25-16=9>0$

$t_1=\frac{5-3}{2}=1$

$t_2=\frac{5+3}{2}=4$

Obie uzyskane liczby są dodatnie, zatem:

$q=1$ lub $q=2$ (pamiętamy, że wyrazy rozpatrywanego ciągu geometrycznego są dodatnie).

Jeśli $q=1$ to $5·1=5+3r$ i $r=0$.

Jeśli $q=2$ to $5·4=5+3r$ i $r=5$.

Odpowiedź:

Różnica ciągu arytmetycznego jest równa $0$ lub $5$.

Dane są liczby $4$, $x$, $y$, $18$. Trzy pierwsze (w podanej kolejności) tworzą ciąg arytmetycznyciąg arytmetycznyciąg arytmetyczny, a trzy ostatnie (w podanej kolejności) tworzą ciąg geometryczny. Znajdziemy liczby $x$, $y$.

Rozwiązanie:

$\left(4, x, y\right)$ – ciąg arytmetyczny

Z zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego wynika, że:

$x=\frac{4+y}{2}$

$\left(x, y, 18\right)$ – ciąg geometryczny

Z zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego wynika, że:

$y^2=18x$

Do ostatniego z zapisanych równań podstawiamy wyznaczone wcześniej $x$.

$y^2=18·\frac{4+y}{2}$

$y^2-9y-36=0$

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

$∆=81+144=225$

$y=\frac{9-15}{2}=-3$ lub $y=\frac{9+15}{2}=12$

Wyznaczamy $x$.

Jeśli $y=-3$ to $x=\frac{4-3}{2}=\frac{1}{2}$.

Jeśli $y=12$ to $x=\frac{4+12}{2}=8$.

Odpowiedź:

Szukane liczby to $\frac{1}{2}$ i $\left(-3\right)$ lub $8$ i $12$.

Wykaż, że jeśli liczby $x$, $y$, $z$ dodatnie i różne od $1$ tworzą ciąg geometryczny (w podanej kolejności), to liczby

$\frac{1}{{\log }_{x}k}$, $\frac{1}{{\log }_{y}k}$, $\frac{1}{{\log }_{z}k}$$\left(k>0, k\ne 1\right)$, również w podanej kolejności, tworzą ciąg arytmetyczny.

Dowód:

Z założenia wynika, że liczby $x$, $y$, $z$ dodatnie i różne od $1$ tworzą ciąg geometrycznyciąg geometrycznyciąg geometryczny. Zatem

$y^2=xz$.

Logarytmujemy przy podstawie $k$ obie strony zapisanej równości.

$2\cdot {\log }_{k}y={\log }_k\left(xz\right)$

Korzystamy z własności logarytmu iloczynu, a następnie dzielimy obie strony równości przez $2$.

$2·{\log }_{k}y={\log }_{k}x+{\log }_{k}z$

${\log }_{k}y=\frac{{\log }_{k}x+{\log }_{k}z}{2}$

Z zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego wynika, że liczby ${\log }_{k}x$, ${\log }_{k}y$, ${\log }_{k}z$ tworzą (w podanej kolejności) ciąg arytmetyczny.

Ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu mamy:

$\frac{1}{{\log }_{x}k}=\frac{1}{\frac{{\log }_{k}k}{{\log }_{k}x}}=\frac{{\log }_{k}x}{1}={\log }_{k}x$

W podobny sposób możemy wykazać, że

$\frac{1}{{\log }_{y}k}={\log }_{k}y$ i $\frac{1}{{\log }_{z}k}={\log }_{k}z$.

Czyli liczby $\frac{1}{{\log }_{x}k}$, $\frac{1}{{\log }_{y}k}$, $\frac{1}{{\log }_{z}k}$ tworzą ciąg arytmetyczny, c.n.d.

Miary kątów pewnego trójkąta tworzą ciąg arytmetycznyciąg arytmetycznyciąg arytmetyczny. Długości boków tego trójkąta tworzą ciąg geometryczny. Znajdziemy miary kątów tego trójkąta.

Rozwiązanie:

Oznaczmy:
$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ – miary kątów trójkąta (w stopniach),
$\delta$ – różnica ciągu, który tworzą miary kątów trójkąta (w stopniach).

Przyjmując, że $\alpha$ jest najmniejszym kątem tego trójkąta, możemy zapisać:

$\beta =\alpha +\delta$

$\gamma =\alpha +2\delta$

Ponieważ suma miar  kątów trójkąta jest równa $180°$, więc:

$\alpha +\alpha +\delta +\alpha +2\delta =180°$

$3\alpha +3\delta =180°$

$\alpha +\delta =60°$

Oznaczmy:
$a$, $b$, $c$ – długości boków trójkąta, przy czym niech $a$ będzie najkrótszym bokiem,
$q$ – iloraz ciągu geometrycznego, który tworzą długości boków trójkąta $\left(q\ge 1\right)$.

Wtedy:

$b=aq$

$c=a{q}^2$

Na podstawie twierdzenia sinusów (pamiętając, że naprzeciw najmniejszego kąta leży najkrótszy bok), zapisujemy:

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{aq}{\sin \left(\alpha +\delta \right)}=\frac{a{q}^2}{\sin \left(\alpha +2\delta \right)}$

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{aq}{\sin 60°}=\frac{a{q}^2}{\sin \left(120°-\alpha \right)}$

Otrzymujemy układ równań.

$\left\{\begin{array}{l}q\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}\\ q\sin \left(120°-\alpha \right)=\frac{\sqrt{3}}{2}{q}^2\end{array}\right.$

Mnożymy stronami równania układu i dzielimy każdą ze stron przez $q^2$.

$\sin \alpha ·\sin \left(120°-\alpha \right)=\frac{3}{4}$

Korzystamy teraz ze wzoru: $\sin x·\sin y=\frac{\cos \left(x-y\right)-\cos \left(x+y\right)}{2}$.

$\cos \left(2a-120°\right)-\cos 120°=\frac{3}{2}$

$\cos \left(2a-120°\right)-\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}$

$\cos \left(2a-120°\right)=1$

$2a-120°=0°$

$a=60°$

Ponieważ $\alpha +\delta =60°$, więc $\delta =0°$, czyli każdy z kątów trójkąta ma miarę $60°$.

Odpowiedź:

Trójkąt jest równoboczny, każdy kąt ma miarę $60°$.

ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby $r$, zwanej różnicą ciągu

ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez liczbę $q$, zwaną ilorazem ciągu