Kiedy będziemy regularnie poruszać końcem gumowego węża, powstanie na nim fala (Rys. 1.). Zaburzenie to przypomina fragment sinusoidy, który przesuwa się wzdłuż węża ze stałą prędkością. Schematycznie ukazane jest to na Rys. 1.
R11shvGapbDcp
R1EGMgTFJzLqM
Naszym zadaniem jest opisać matematycznym wzorem falę o pewnej długości falidługość falidługości fali , poruszającą się wzdłuż osi współrzędnych w prawo z prędkością o wartości . Funkcja, o której mówimy, musi „jednocześnie” zależeć od dwóch zmiennych: położenia i czasu .
Zależność od położenia
Zacznijmy od funkcji opisującej dla różnych położeń wychylenia elementów węża w ustalonej chwili. Zajmiemy się najpierw początkowym kształtem tej funkcji, czyli w chwili . Będziemy chcieli zapisać wzór dla sinusoidy, odpowiadającej wybranej długości falidługość falidługości fali. Dla ułatwienia przyjmijmy, że chcemy opisać falę o długości falidługość falidługości fali .
Narysujmy na początku (Rys. 3.) wykres funkcji
RuruPu7Pizb4I
Długość falidługość faliDługość fali równa jest okresowi funkcji sinus. Jest to odległość pomiędzy co drugimi miejscami zerowymi naszej funkcji. Długość tej fali wynosi . Ale nasza fala miała mieć długość 4 m! Aby zmienić długość falidługość falidługość fali w funkcji na wykresie, musimy argument sinusa pomnożyć przez odpowiednią liczbę, taką, żeby dla = 4 m argument sinusa wyniósł . W naszym przypadku wzór opisujący funkcję powinien więc mieć postać (Rys. 4.):
RwYquT34WfK35
Ta funkcja odpowiada fali o długości 4 m, czyli takiej, jakiej szukamy - czwórka i metr w mianowniku nie pojawiły się bez powodu! Chcąc zatem uogólnić nasz wzór, musimy współrzędną podzielić przez długość falidługość falidługość fali,
Zależność od czasu
Wszystkie dotychczas rozważane funkcje zależały tylko od położenia , a zatem przedstawiały „nieruchome” w czasie wykresy. My jednak chcemy, żeby w funkcji czasu sinusoida przesuwała się ze stałą prędkością . Na Rys. 4. w położeniu znajduje się miejsce zerowe naszej funkcji. Będzie się ono przesuwało w prawo w kierunku większych wartości współrzędnej położenia. Chwilę później dla argumentu przypisane zostanie nowe wychylenie, pochodzące z jego lewej strony. Oznacza to, że wraz z upływem czasu t, w miejscu o położeniu będzie pojawiać się wychylenie, które było wcześniej w innym punkcie, oddalonym o w lewo (ponieważ fala porusza się ze stałą prędkością w prawo). W takim razie w punkcie znajdzie się wychylenie, które było wcześniej w miejscu o współrzędnej , czego uwzględnienie we wzorze daje nam następujące wyrażenie:
przy czym w ostatnim kroku skorzystaliśmy z faktu, że w ciągu jednego okresuokres faliokresu fala poruszająca się z prędkością przesuwa się o jedną długość fali , co można wyrazić wzorem
Amplituda
To już prawie wszystko. Funkcja odpowiada jednak fali z amplitudąamplituda faliamplitudą równą jedności - funkcja sinus zmienia się od -1 do +1. Jeżeli chcemy, aby amplitudaamplituda faliamplituda była dowolna, trzeba po prostu pomnożyć przez . Dostaniemy wtedy ostatecznie dla zależności wychylenia od położenia i czasu wyrażenie
Ten właśnie wzór nazywamy równaniem falirównanie falirównaniem fali. Odwrotność okresu faliokres faliokresu fali nazywamy jej częstotliwością. Jest to częstotliwość drgań punktu ośrodka - można sprawdzić, że ustalenie położenia w ostatnim wzorze opisuje drgania harmoniczne.
Dla zainteresowanych
Uwaga: fizyce teoretycznej istnieje ogólny termin równanie falowe. Uzyskany powyżej wzór (równanie funkcji opisującej falę) to przykład rozwiązania jednej z najprostszych postaci równania falowego.
Problem terminologiczny jest podobny do tego, czy opis ruchu można nazwać jego równaniem. W kinematyce - bez względu na przyczyny ruchu - opisujemy go jakąś funkcją czasu i używamy terminu równanie ruchu wobec równania tej funkcji. Natomiast w dynamice przez równania ruchu rozumie się równania Newtona, tj. treść II zasady dynamiki. Z matematycznego punktu widzenia są to bardzo różne równania. Równanie z kinematyki rozpatrywane z punktu widzenia dynamiki jest (o ile podano nam je poprawnie - tj. czy ciało poddane działaniu danej siły rzeczywiście porusza się tak, jak nam to opisano) rozwiązaniem równań ruchu.
Słowniczek
amplituda fali
amplituda fali
(ang.: amplitude of a wave) - w przypadku fali mechanicznej - maksymalne wychylenie elementu ośrodka z położenia równowagi będące wynikiem działania fali.
długość fali
długość fali
(ang.: wavelenght) - odległość między dwoma sąsiednimi szczytami fali.
okres fali
okres fali
(ang.: period of a wave) - czas potrzebny, aby fala przebyła odległość równą swojej długości fali.
równanie fali
równanie fali
(ang.: equation of a wave) - nie mylić z wave equation - równanie opisujące wychylenie ośrodka w zależności od położenia i czasu.