Przeczytaj

Rozkład na czynniki (faktoryzacja) wielomianu polega na znalezieniu takich wielomianów jak najniższego stopnia, których iloczyn jest równy danemu. Przy czym znalezione wielomiany nie mogą być tego samego stopnia (lub wyższego) co dany wielomian.

W tej części materiału zajmiemy się rozkładem wyrażeń algebraicznych na czynniki, z zastosowaniem wzorów skróconego mnożenia drugiego stopnia. Przy czym wyrażenia będą miały postać wielomianu:

a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + . . . + a_{1} x + a_{0},

gdzie:
$a_{0}, a_{1}, . . ., a_{n}$ – dane liczby rzeczywiste.

Przypomnijmy najpierw potrzebne wzory.

Wzory skróconego mnożenia drugiego stopnia:

Ważne!

Wzór na kwadrat sumy dwóch wyrażeń:

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

Ważne!

Wzór na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń

{(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

Ważne!

Wzór na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

Zastosowanie wzoru na kwadrat sumy

Przykład 1

Podamy teraz przykłady rozkładu na czynniki z bezpośrednim wykorzystaniem wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy.

W poniższych sumach wystarczy tylko zauważyć, który składnik jest podwojonym iloczynem, a które składniki są kwadratami wyrażeń. „Zwijamy” wtedy sumę w kwadrat dwumianu, a następnie zapisujemy kwadrat w postaci iloczynu.

x^{2} + 6 x + 9 = x^{2} + 2 \cdot 3 x + 3^{2} = {(x + 3)}^{2} = (x + 3) (x + 3)

x^{4} + 8 x^{2} + 16 = {(x^{2})}^{2} + 2 \cdot 4 x^{2} + 4^{2} = {(x^{2} + 4)}^{2} = (x^{2} + 4) (x^{2} + 4)

3 x^{2} + 2 \sqrt{3} x + 1 = {(\sqrt{3} x)}^{2} + 2 \cdot \sqrt{3} x \cdot 1 + 1^{2} =

= {(\sqrt{3} x + 1)}^{2} = (\sqrt{3} x + 1) (\sqrt{3} x + 1)

25 y^{2} + 20 x y + 4 x^{2} = {(5 y)}^{2} + 2 \cdot 5 y \cdot 2 x + {(2 x)}^{2} =

= {(5 y + 2 x)}^{2} = (5 y + 2 x) (5 y + 2 x)

Przykład 2

W tym przykładzie wyłączymy najpierw przed nawias największy wspólny czynnik, a następnie wyrażenie w nawiasie zapiszemy w postaci iloczynu, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy.

98 x^{2} + 84 x + 18 = 2 \cdot (49 x^{2} + 42 x + 9) = 2 \cdot {(7 x + 3)}^{2} = 2 \cdot (7 x + 3) (7 x + 3)

\sqrt{7} x^{4} y^{4} + 14 x^{2} y^{2} + 7 \sqrt{7} = \sqrt{7} \cdot (x^{4} y^{4} + 2 \sqrt{7} x^{2} y^{2} + 7) =

= \sqrt{7} \cdot (x^{2} y^{2} + \sqrt{7}) (x^{2} y^{2} + \sqrt{7})

x^{5} y + 20 x^{4} y + 100 x^{3} y = x^{3} y \cdot (x^{2} + 20 x + 100) = x^{3} y \cdot (x + 10) (x + 10)

Przykład 3

Teraz przed nami trudne zadanie. Aby rozłożyć podane wyrażenie na czynniki, musimy pogrupować najpierw odpowiednio składniki, a następnie skorzystać ze wzoru na kwadrat sumy.

A = x^{3} + 2 x^{2} + x + 2 x^{2} + 4 x + 2

Grupujemy składniki.

A = (x^{3} + 2 x^{2} + x) + (2 x^{2} + 4 x + 2)

Wyłączamy wspólne czynniki z obu nawiasów.

A = x \cdot (x^{2} + 2 x + 1) + 2 \cdot (x^{2} + 2 x + 1)

Ponownie wyłączamy przed nawias wspólny czynnik.

A = (x^{2} + 2 x + 1) (x + 2)

Zauważmy, że wyrażenie w pierwszym nawiasie to kwadrat sumy $x + 1$ .

A = {(x + 1)}^{2} (x + 2)

Ostatecznie:

A = (x + 1) (x + 1) (x + 2)

Zastosowanie wzoru na kwadrat różnicy

Podobnie, jak wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy, można stosować wzór na kwadrat różnicy.

Przykład 4

Oto przykłady rozkładu na czynnikirozkład na czynniki (faktoryzacja)rozkładu na czynniki z bezpośrednim wykorzystaniem wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.

W poniższych sumach wystarczy tylko zauważyć, który składnik jest podwojonym iloczynem, a które składniki są kwadratami wyrażeń. „Zwinąć” sumę w kwadrat różnicy, a następnie zapisać wyrażenie w postaci iloczynu.

x^{2} - 10 x + 25 = x^{2} - 2 \cdot 5 x + 5^{2} = {(x - 5)}^{2} = (x - 5) (x - 5)

x^{4} - 14 x^{2} + 49 = {(x^{2})}^{2} - 2 \cdot 7 x^{2} + 7^{2} = {(x^{2} - 7)}^{2} = (x^{2} - 7) (x^{2} - 7)

5 x^{2} - 2 \sqrt{5} x + 1 = {(\sqrt{5} x)}^{2} - 2 \cdot \sqrt{5} x \cdot 1 + 1^{2} =

= {(\sqrt{5} x - 1)}^{2} = (\sqrt{5} x - 1) (\sqrt{5} x - 1)

36 y^{2} - 36 x y + 9 x^{2} = {(6 y)}^{2} - 2 \cdot 6 y \cdot 3 x + {(3 x)}^{2} =

= {(6 y - 3 x)}^{2} = (6 y - 3 x) (6 y - 3 x)

Przykład 5

128 x^{2} - 32 x + 2 = 2 \cdot (64 x^{2} - 16 x + 1) = 2 \cdot {(8 x - 1)}^{2} = 2 \cdot (8 x - 1) (8 x - 1)

\sqrt{3} x^{4} y^{4} - 6 x^{2} y^{2} + 3 \sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot (x^{4} y^{4} - 2 \sqrt{3} x^{2} y^{2} + 3) =

= \sqrt{3} \cdot (x^{2} y^{2} - \sqrt{3}) (x^{2} y^{2} - \sqrt{3})

x^{5} y - 18 x^{4} y + 81 x^{3} y = x^{3} y \cdot (x^{2} - 18 x + 81) = x^{3} y \cdot (x - 9) (x - 9)

Nie zawsze patrząc na wyrażenie algebraiczne możemy zauważyć, że aby je zapisać w postaci iloczynu, można skorzystać z danego wzoru skróconego mnożenia, często trzeba najpierw odpowiednio rozpisać składniki, a nawet dodać lub odjąć odpowiednie wyrażenie.

Przykład 6

Zapiszemy w postaci iloczynu wyrażenie $B = x^{3} - 3 x^{2} + 4$ .

Do wyrażenia dodajemy $4 x$ i jednocześnie odejmujemy $4 x$ , wyrażenie $- 3 x^{2}$ zapisujemy w postaci $(- 4 x^{2} + x^{2})$ .

B = x^{3} \underset{↓}{\underset{⏟}{- 3 x^{2}}} + 4 B = x^{3} \underset{}{\underset{⏟}{- 4 x^{2} + x^{2}}} + 4 + 4 x - 4 x

Grupujemy składniki.

B = (x^{3} - 4 x^{2} + 4 x) + (x^{2} - 4 x + 4)

Wyłączamy z pierwszego nawiasu wspólny czynnik.

B = x \cdot (x^{2} - 4 x + 4) + (x^{2} - 4 x + 4)

Ponownie wyłączamy wspólny czynnik.

B = (x^{2} - 4 x + 4) (x + 1)

Zapisujemy pierwszy z nawiasów w postaci iloczynu – korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.

B = (x - 2) (x - 2) (x + 1)

Zastosowanie wzoru na różnicę kwadratów

Najczęściej wykorzystywanym wzorem w rozkładzie na czynniki jest wzór na różnicę kwadratów.

Przykład 7

Zapiszemy każde z podanych wyrażeń w postaci iloczynu, stosując wzór na różnicę kwadratów.

x^{2} - 121 = x^{2} - 11^{2} = (x - 11) (x + 11)

b) Aby rozłożyć na czynniki podane wyrażenie, zastosowujemy dwukrotnie wzór na różnicę kwadratów.

x^{4} - 1 = {(x^{2})}^{2} - 1^{2} = (x^{2} - 1) (x^{2} + 1) = (x - 1) (x + 1) (x^{2} + 1)

c) Ponownie zastosujemy dwukrotnie wzór na różnicę kwadratów.

{(x^{2} - 2)}^{2} - 9 = (x^{2} - 2 - 3) (x^{2} - 2 + 3) = (x^{2} - 5) (x^{2} + 1) =

= (x - \sqrt{5}) (x + \sqrt{5}) (x^{2} + 1)

d) Wyłączamy najpierw wspólny czynnik poza nawias i korzystamy z tego, że $\sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$ .

4 x^{5} y^{2} - 32 x^{3} = 4 x^{3} (x^{2} y^{2} - 8) = 4 x^{3} (x y - 2 \sqrt{2}) (x y + 2 \sqrt{2})

Rozkład na czynniki z zastosowaniem kilku wzorów skróconego mnożenia

Jeśli chcemy rozłożyć na czynniki wyrażenie algebraiczne, z którego postaci nie możemy bezpośrednio wywnioskować, jaki sposób rozkładu zastosować, sprowadzamy to wyrażenie do najprostszej postaci. I dopiero wtedy ustalamy sposób rozkładu (jeśli ten rozkład jest możliwy).

Przykład 8

Zapiszemy w postaci iloczynu wyrażenie $C = {(y + 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + 2 \cdot (x - y)$ .

Krok 1 – wykonujemy wskazane działania

C = y^{2} + 2 y + 1 - x^{2} - 2 x - 1 + 2 x - 2 y

Krok 2 – redukujemy wyrazy podobne

C = y^{2} - x^{2}

Krok 3 – rozkładamy na czynniki

C = (y - x) (y + x)

Przykład 9

Rozłożymy na czynniki wielomian $D = x^{5} + 2 x^{4} - 3 x^{3} - 4 x^{2} + 4 x$ .

Krok 1 – wyłączamy wspólny czynnik

D = x \cdot (x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 4)

Krok 2 – wyraz wolny wielomianu to $4$ , zatem szukamy najpierw możliwości zapisania wyrażenia znajdującego się w nawiasie w postaci iloczynu takich wyrażeń, aby wystąpiło mnożenie $1 \cdot 4$ lub $2 \cdot 2$ albo $(- 1) \cdot (- 4)$ lub $(- 2) \cdot (- 2)$ .

Współczynnik przy $x^{4}$ to $1$ . Zatem próbujemy poszukać takich dwóch wyrażeń, aby wystąpiło mnożenie $x^{2} \cdot x^{2}$ lub $x \cdot x^{3}$ .

„Rozpisujemy” $2 x^{3}$ w postaci $- x^{3} + 3 x^{3}$ , aby wyłączyć w konsekwencji wspólny czynnik przed nawias.

D = x \cdot (x^{4} - x^{3} + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 4)

D = x \cdot [x^{3} \cdot (x - 1) + 3 x^{2} \cdot (x - 1) - 4 \cdot (x - 1)]

D = x \cdot (x - 1) (x^{3} + 3 x^{2} - 4)

Krok 3 – ponownie stosujemy „chwyt” taki jak wyżej – zapisujemy $3 x^{2}$ w postaci $- x^{2} + 4 x^{2}$ .

D = x \cdot (x - 1) (x^{3} - x^{2} + 4 x^{2} - 4)

D = x \cdot (x - 1) [x^{2} \cdot (x - 1) + 4 \cdot (x^{2} - 1)]

Krok 4 – wyrażenie w ostatnim nawiasie to różnica kwadratów, zatem możemy zapisać to wyrażenie w postaci: $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ i wyłączyć wspólny czynnik.

D = x \cdot (x - 1) [x^{2} \cdot (x - 1) + 4 \cdot (x - 1) (x + 1)]

D = x \cdot (x - 1) (x - 1) (x^{2} + 4 x + 4)

Krok 5 – wyrażenie w ostatnim nawiasie zapisujemy jako kwadrat dwumianu $(x + 2)$ .

D = x \cdot {(x - 1)}^{2} {(x + 2)}^{2}

Ostatecznie:

D = x \cdot (x - 1) (x - 1) (x + 2) (x + 2)

Słownik

rozkład na czynniki (faktoryzacja)

to zapisanie wielomianu w postaci iloczynu wielomianów jak najniższego stopnia

Wprowadzenie

Animacja

Zastosowanie wzoru na kwadrat sumy

Zastosowanie wzoru na kwadrat różnicy

Zastosowanie wzoru na różnicę kwadratów

Rozkład na czynniki z zastosowaniem kilku wzorów skróconego mnożenia

Słownik