Przeczytaj

TożsamościątożsamośćTożsamością algebraiczną, jak zdefiniowaliśmy to we wprowadzeniu, nazywamy takie równanie, które jest spełnione niezależnie od wartości podstawianych pod zmienne.

Tożsamość trygonometrycznatożsamość trygonometrycznaTożsamość trygonometryczna to szczególny rodzaj tożsamości algebraicznej. Jest to tożsamość, w której występują funkcje trygonometryczne.

Zwykle spotykamy się z dwoma rodzaj zadań związanych z tożsamościami trygonometrycznymi. Pierwszy rodzaj, to zadania typu: udowodnij, że równanie jest tożsamością. Drugi rodzaj, to zadania typu: sprawdź, czy podane równanie jest tożsamością. Drugi rodzaj zadań jest zwykle trudniejszy, gdyż nie jest podany kierunek naszych działań. Jeżeli równanie nie jest tożsamością, to wystarczy podać jeden przykład (kontrprzykład), który po podstawieniu do równania pokazuje, że lewa strona nie jest równa prawej. Jeżeli równanie jest tożsamością, to należy to udowodnić poprzez takie przekształcanie obu stron równania, aby otrzymać takie same wyrażenia. Uwaga: czasami wystarcza przekształcanie tylko jednej strony równania tak długo, aż otrzymamy drugą stronę równania.

W dowodach będziemy opierać się na dwóch poznanych tożsamościach trygonometrycznych:

$\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ dla dowolnych $α \in ℝ$ .
$tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ dla dowolnych $α \neq \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przykład 1

Udowodnimy, że równanie ${tg}^{2} x \cdot \frac{\cos x}{1 - \cos x} = \frac{1 + \cos x}{\cos x}$ jest tożsamością.

Rozwiązanie:

Zacznijmy od określenia dziedziny równania. Do dziedziny równania należą takie liczby rzeczywiste $x$ , że $tg x$ ma sens, $\cos x \neq 0$ i $\cos x \neq 1$ .

Zatem dziedziną równania jest zbiór takich liczb rzeczywistych $x$ , że $x \neq \frac{π}{2} + k π$ i $x \neq k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Rozpoczniemy przekształcanie lewej strony, gdyż wygląda na bardziej skomplikowaną i będzie można uprościć jej postać.

Najpierw wykorzystamy tożsamość trygonometryczną $tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ :

$L = {tg}^{2} x \cdot \frac{\cos x}{1 - \cos x} = \frac{\sin^{2} x \cos x}{\cos^{2} x - \cos^{3} x} = \frac{\sin^{2} x}{\cos x - \cos^{2} x}$

następnie wykorzystamy jedynkę trygonometryczną:

$= \frac{1 - \cos^{2} x}{\cos x - \cos^{2} x} = \frac{(1 - \cos x) (1 + \cos x)}{\cos x (1 - \cos x)} = \frac{1 + \cos x}{\cos x} = P$ .

Zatem wykorzystując dwie podstawowe tożsamości trygonometryczne przekształciliśmy lewą stronę równania w taki sposób, że otrzymaliśmy stronę prawą tego równania, co oznacza, że równość jest tożsamością.

Przykład 2

Udowodnimy, że równanie $\frac{{sin}^{6} α - {cos}^{6} α}{(1 - sin α \cdot cos α) (sin α - cos α)} = (sin α + cos α) (1 + sin α \cdot cos α)$ jest tożsamością.

Rozwiązanie:

Zapiszmy założenia:

$\sin α \neq \cos α$ skąd wynika, że $α \neq \frac{π}{4} + π k$ , dla $k \in ℤ$ .
$\sin α \cdot \cos α \neq 1$ , które zachodzi dla dowolnej liczby rzeczywistej $α$ .

Ostatecznie zatem $α \neq \frac{π}{4} + π k$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Wykorzystajmy wzór skróconego mnożenia: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ :

$L = \frac{\sin^{6} α - \cos^{6} α}{(1 - \sin α \cdot \cos α) (\sin α - \cos α)} = \frac{(\sin^{3} α - \cos^{3} α) (\sin^{3} α + \cos^{3} α)}{(\cos^{2} α - \sin α \cos α + \sin^{2} α) (\sin α - \cos α)}$ .

Teraz skorzystajmy ze wzorów skróconego mnożenia na różnicę sześcianów $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ i $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ :

$\frac{\sin^{3} α - \cos^{3} α}{\sin α - \cos α} = \frac{(\sin α - \cos α) (\sin^{2} α + \sin α \cdot \cos α + \cos^{2} α)}{\sin α - \cos α} =$ $= \sin^{2} α + \sin α \cdot \cos α + \cos^{2} α = 1 + \sin α \cdot \cos α$ ,
$\frac{\sin^{3} α + \cos^{3} α}{\sin^{2} α - \sin α \cdot \cos α + \cos^{2} α} =$

$= \frac{(\sin α + \cos α) (\sin^{2} α - \sin α \cdot \cos α + \cos^{2} α)}{\sin^{2} α - \sin α \cdot \cos α + \cos^{2} α} = \cos α + \cos α$ .

A zatem lewa strona równania po przekształceniach jest równa:

$L = (\sin α + \cos α) (1 + \sin α \cdot \cos α) = P$ , co kończy dowód tożsamości.

Przykład 3

Sprawdź, czy równanie: $(\frac{1}{\sin x} + tg x) : (\frac{1}{\cos x} + \frac{1}{tg x}) = \frac{\frac{7}{4} + \cos x - 2 \cos^{2} x}{\frac{1}{2} + 2 \sin x - \sin^{2} x}$ jest tożsamością.

Rozwiązanie:

Najpierw spróbujemy sprawdzić, czy dla wybranych charakterystycznych wartości $α$ równość zachodzi.

Wybierzmy wartość: $α = \frac{π}{6}$ . Wówczas:

$L = (\frac{1}{\sin \frac{π}{6}} + tg \frac{π}{6}) : (\frac{1}{\cos \frac{π}{6}} + \frac{1}{tg \frac{π}{6}}) = \frac{2 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{2}{\sqrt{3}} + \sqrt{3}} = \frac{6 + \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5} = \frac{2 \sqrt{3} + 1}{5}$

oraz

$P = \frac{\frac{7}{4} + \cos \frac{π}{6} - 2 \cos^{2} \frac{π}{6}}{\frac{1}{2} + 2 \sin \frac{π}{6} - \sin^{2} \frac{π}{6}} = \frac{\frac{7}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \cdot \frac{3}{4}}{\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{5}{4}} = \frac{2 \sqrt{3} + 1}{5}$ .

W takim razie podstawienie $α = \frac{π}{6}$ nie daje rozstrzygnięcia, czy równość jest tożsamością, czy nie jest.

Wybierzmy inną wartość: $α = \frac{π}{4}$ . Wówczas:

$L = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = 1$ .

$P = \frac{\frac{7}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{2} + \sqrt{2} - \frac{1}{2}} = \frac{3 \sqrt{2}}{8} + \frac{1}{2}$ .

Oznacza to, że $L \neq P$ , a zatem równość nie jest tożsamością.

W przypadku przykładu 3. okazało się, że równość nie jest tożsamością. Udowodniliśmy to, korzystając z kontrprzykładu, czyli takiej wartości zmiennej, dla której równość nie zachodzi.

Słownik

tożsamość

równanie, które jest spełnione dla dowolnej wartości zmiennej lub zmiennych, dla których równanie ma sens.

tożsamość trygonometryczna

zależność między funkcjami trygonometrycznymi, która jest spełniona dla dowolnej wartości zmiennej lub zmiennych, dla których zależność ma sens.

Wprowadzenie

Animacja

Słownik