Nierówność z jedną niewiadomą, którą można zapisać za pomocą układu dwóch nierówności z tą niewiadomą.

Rozwiążemy nierówność

$-6<2\left(x-3\right)+1<3$.

Sposób 1:

Zapisujemy i rozwiązujemy odpowiedni układ nierówności.

$\left\{\begin{array}{l}-6<2\left(x-3\right)+1\\ 2\left(x-3\right)+1<3\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}-6<2x-5\\ 2x-5<3\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}-1<2x\\ 2x<8\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x>-\frac{1}{2}\\ x<4\end{array}\right.$

Rozwiązaniem układu nierówności jest część wspólna rozwiązań obu nierówności.

Odpowiedź:

$x\in \left(-\frac{1}{2}, 4\right)$.

Sposób 2:

Będziemy przekształcać  równoważnie każdą ze stron nierówności.

$-6<2\left(x-3\right)+1<3$

$-6<2x-5<3$

Dodajemy do każdej ze stron $5$.

$-6+5<2x-5+5<3+5$

$-1<2x<8$

Dzielimy przez $2$.

$\frac{-1}{2}<x<4$

Odpowiedź:

$x\in \left(-\frac{1}{2}, 4\right)$.

Rozwiążemy nierówność

$\frac{x-1}{3}+\frac{1}{4}>\frac{x+4}{2}-\frac{2x}{3}>\frac{-x+2}{3}+\frac{1}{4}$.

Rozwiązanie zaczniemy od sprowadzenia nierówności do najprostszej postaci. W tym celu mnożymy każdą ze stron przez $12$ (aby „pozbyć się” mianownika).

$\frac{x-1}{3}+\frac{1}{4}>\frac{x+4}{2}-\frac{2x}{3}>\frac{-x+2}{3}+\frac{1}{4} |·12$

$4\left(x-1\right)+3>6\left(x+4\right)-8x>4\left(-x+2\right)+3$

Wykonujemy wskazane działania i redukujemy wyrazy podobne.

$4x-4+3>6x+24-8x>-4x+8+3$

$4x-1>-2x+24>-4x+11$

W tym przypadku niewiadoma występuje po każdej ze stron nierówności, zatem rozwiązujemy równoważny układ nierówności.

$4x-1>-2x+24$ i $-2x+24>-4x+11$

$6x>25$ i $2x>-13$

$x>4\frac{1}{6}$ i $x>-6\frac{1}{2}$

Zatem $x>4\frac{1}{6}$.

Odpowiedź:

$x\in \left(4\frac{1}{6}, \infty \right)$.

Rozwiążemy nierówność

$\frac{x+2}{x-1}\le \frac{1}{2}<\frac{x-1}{x+2}$.

Ustalamy dziedzinę nierówności.

$D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-2, 1\right\}$

Rozwiązujemy koniunkcję nierówności:

$\frac{x+2}{x-1}\le \frac{1}{2}$ i $\frac{1}{2}<\frac{x-1}{x+2}$

Zajmiemy się najpierw pierwszą z uzyskanych nierówności.

$\frac{x+2}{x-1}\le \frac{1}{2}$

$\frac{x+2}{x-1}-\frac{1}{2}\le 0$

$\frac{2x+4-x+1}{2\left(x-1\right)}\le 0$

$\frac{x+5}{2x-2}\le 0$

Nierówność ta jest równoważna nierówności

$\left(x+5\right)\left(2x-2\right)\le 0$

Czyli $x\in ⟨-5, 1⟩$ – na razie nie uwzględniamy dziedziny.

Rozwiązujemy drugą z uzyskanych nierówności.

$\frac{1}{2}<\frac{x-1}{x+2}$

$\frac{1}{2}-\frac{x-1}{x+2}<0$

$\frac{x+2-2x+2}{2x+4}<0$

$\frac{-x+4}{2x+4}<0$

$\left(4-x\right)\left(2x+4\right)<0$

$x\in \left(-\infty , -2\right)\cup \left(4, \infty \right)$

Ustalamy część wspólną obu nierówności, uwzględniając dziedzinę.

$\left\{\begin{array}{l}x\in ⟨-5, 1⟩\\ x\in \left(-\infty , -2\right)\cup \left(4, \infty \right)\\ x\ne -2\\ x\ne 1\end{array}\right.$

Odpowiedź:

$x\in \left.⟨-5, -2\right)$.

Rozwiążemy nierówność

$\sqrt{2x\left(x-3\right)+\left(3-x\right)\left(3+x\right)}<5$.

Zapisujemy wyrażenie podpierwiastkowe w prostszej postaci.

$\sqrt{2x\left(x-3\right)+\left(3-x\right)\left(3+x\right)}<5$

$\sqrt{2x^2-6x+9-x^2}<5$

$\sqrt{x^2-6x+9}<5$

Wyrażenie pod pierwiastkiem zapisujemy w postaci kwadratu różnicy.

$\sqrt{{\left(x-3\right)}^2}<5$

Zapisujemy nierówność w postaci równoważnej.

$\left|x-3\right|<5$

$-5<x-3<5$

Rozwiązujemy nierówność podwójnąnierówność podwójna z jedną niewiadomąnierówność podwójną.

$-2<x<8$

Odpowiedź:

$x\in \left(-2, 8\right)$.

Określimy, dla jakich wartości parametru $a$ równanie $\sin 2x=a^2+5a+7$ ma rozwiązanie.

Z własności funkcji sinus wiemy, że

$-1\le \sin \alpha \le 1$

Zatem, aby rozważane równanie miało rozwiązanie, parametr $a$ musi spełniać warunek

$-1\le a^2+5a+7\le 1$.

Zapisujemy równoważną koniunkcję.

$-1\le a^2+5a+7$ i $a^2+5a+7\le 1$

Rozwiążemy najpierw pierwszą z nierówności.

$-1\le a^2+5a+7$

$a^2+5a+8\ge 0$

$∆=25-32=-7<0$

Ponieważ współczynnik przy $a^2$ jest dodatni i $∆<0$, więc nierówność jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej.

Rozwiązujemy drugą z zapisanych nierówności kwadratowych.

$a^2+5a+7\le 1$

$a^2+5a+6\le 0$

$∆=25-24=1$

$a_1=\frac{-5-1}{2}=-3$

$a_2=\frac{-5+1}{2}=-2$

$\left(a+3\right)\left(a+2\right)\le 0$

$a\in ⟨-3, -2⟩$

Określamy część wspólną znalezionych rozwiązań.

$a\in \mathrm{ℝ}$ i $a\in ⟨-3, -2⟩$

Stąd wynika, że $a\in ⟨-3, -2⟩$.

Kran napełnia wodą beczkę przy zamkniętym otworze spustowym w ciągu $a$ minut. Otwór spustowy, przy zamkniętym kranie, opróżnia beczkę w ciągu $b$ minut. Beczka jest pusta. Otworzono jednocześnie kran i otwór spustowy. Określimy, po jakim czasie beczka będzie napełniona co najmniej do połowy i co najwyżej do $0,75$ objętości.

Oznaczmy:

$V$ – objętość beczki (w $m^3$).

Rozwiązanie zadania wymaga rozważenia dwóch przypadków.

• Jeżeli $a\ge b$, to napełnienie beczki przy jednoczesnym otwarciu kranu i otworu spustowego nie jest możliwe.

• Jeśli $a<b$, to w ciągu $x$ minut wpłynie do beczki $\frac{V}{a}·x$ metrów sześciennych wody, a wypłynie $\frac{V}{b}·x$ metrów sześciennych wody.

W zbiorniku zostanie $\frac{V}{a}·x-\frac{V}{b}·x$ metrów sześciennych wody.

Na podstawie treści zadani wynika, że

$\frac{1}{2}V\le \frac{V}{a}·x-\frac{V}{b}·x\le \frac{3}{4}V$.

Przekształcamy zapisaną nierówność.

$\frac{1}{2}V\le \left(\frac{b-a}{ab}\right)·Vx\le \frac{3}{4}V$

$\frac{1}{2}V\le \left(\frac{b-a}{ab}\right)·Vx\le \frac{3}{4}V |:V$, $\left(V>0\right)$

$\frac{1}{2}\le \left(\frac{b-a}{ab}\right)·x\le \frac{3}{4}$

Podzielimy teraz każdą ze stron nierówności przez $\frac{b-a}{ab}$.

Liczba $\frac{b-a}{ab}$ jest dodatnia, bo $a>0$, $b>0$ i $b-a>0$, zatem znaków nierówności nie zmieniamy.

$\frac{ab}{2\left(b-a\right)}\le x\le \frac{3ab}{4\left(b-a\right)}$

Odpowiedź:

Od chwili otworzenia kranu i otworu spustowego beczka będzie napełniona co najmniej do połowy i co najwyżej do $0,75$ objętości w ciągu od $\frac{ab}{2\left(b-a\right)}$ minut do $\frac{3ab}{4\left(b-a\right)}$ minut.

nierówność z jedną niewiadomą, którą można zapisać za pomocą układu dwóch nierówności z tą niewiadomą