Przeczytaj
Przed przystąpieniem do rozwiązywania zadania tekstowego prowadzącego do rozwiązania równania, warto opracować własny algorytm postepowania. Oto jedna z propozycji takiego algorytmu.
Przeczytaj uważnie treść zadania, zwracając uwagę na to, ile jest szukanych wielkości.
Dokonaj analizy zadania – wypisz dane, zależności między danymi (za pomocą wyrażeń algebraicznych), wypisz szukane.
Ułóż odpowiednie równanie – ewentualnie określ dziedzinę równania.
Rozwiąż równanie.
Ustal, czy znalezione rozwiązanie należy do dziedziny równania i spełnia inne warunki zadania. (Zwróć uwagę, że dobre rozwiązanie równania nie jest jednoznaczne ze znalezieniem rozwiązania zadania!).
Przeczytaj jeszcze raz treść zadania i określ, czy wszystkie poszukiwane wielkości zostały znalezione.
Sformułuj odpowiedź.
Rozwiązując zadania podane w tym materiale, zwróć uwagę, że nie zawsze, aby znaleźć rozwiązanie równania lub wykazać, że dane równanie nie ma rozwiązania, przekształcamy tylko to równanie równoważnie. W niektórych przypadkach należy przeprowadzić nawet skomplikowane rozumowanie, korzystając na przykład z teorii liczb. W szczególności dotyczy to zadań wymagających budowania równania z kilkoma niewiadomymi.
Pierwszy typ zadań o liczbach, to zadania związane z zapisywaniem liczb za pomocą cyfr.
Jeśli liczbę dwucyfrową pomnożymy przez sumę cyfr tej liczby, to otrzymamy . Znajdziemy liczbę wiedząc, że cyfra jedności tej liczby jest o większa od cyfry dziesiątek.
– cyfra dziesiątek liczby ,
– cyfra jedności liczby
– szukana liczba
– suma cyfr liczby
Zapisujemy i rozwiązujemy równanie wynikające z treści zadania.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego i pierwiastki.
– nie spełnia warunków zadania, bo jest to liczba ujemna (i znaleziona liczba nie jest liczbą całkowitą).
Szukana liczba to
Odpowiedź:
Szukana liczba to .
Teraz przykład zadań związanych z podzielnością liczb naturalnych.
Znajdź dwie liczby naturalne dodatnie takie, że ich największy wspólny dzielnik jest równy , a najmniejsza wspólna wielokrotność jest równa .
Oznaczmy:
, – szukane liczby
Na podstawie tego, że , możemy zapisać
, gdzie
, gdzie i liczby , są względnie pierwsze
Ponieważ , zatem
Otrzymaliśmy równanie z dwiema niewiadomymi, które musimy rozwiązać w zbiorze liczb naturalnych.
Lewa strona równania jest iloczynem dwóch liczb względnie pierwszych, zatem chcąc znaleźć te liczby – zapisujemy liczbę w postaci iloczynu i porównujemy odpowiednie czynniki.
, zatem , , i ,
– liczby , nie są względnie pierwsze
, zatem , , ,
Odpowiedź:
Otrzymujemy dwie pary liczb spełniających warunki zadania i oraz i .
Znajdziemy wszystkie trójki liczb naturalnych dodatnich spełniających równanie
Aby rozwiązać równanie, każdą z potęg zapisujemy w postaci kwadratu.
Otrzymane równanie jest równaniem z trzema niewiadomymi, więc trudno je rozwiązać, przekształcając dalej w sposób równoważny.
Można albo zgadnąć rozwiązania, albo znaleźć je, korzystając z własności potęg lub udowodnić, że rozwiązania nie ma.
Najprościej jest skorzystać z teorii podzielności.
Zauważmy, że kwadrat liczby całkowitej w dzieleniu przez daje resztę , lub . Zatem suma kwadratów dwóch liczb naturalnych dodatnich w dzieleniu przez może dać resztę , , lub .
Liczba jest podzielna przez . Zatem, gdyby istniały liczby spełniające warunki zadania, to liczba w dzieleniu przez musiałaby dać resztę , co jak stwierdziliśmy, jest niemożliwe. Rozważane równanie nie ma więc rozwiązania.
Odpowiedź:
Nie istnieją liczby naturalne dodatnie spełniające warunki zadania.
Często zadania o liczbach prowadzą do ułożenia i rozwiązania równania wymiernego.
Suma dwóch liczb jest równa . A suma odwrotności tych liczb jest równa . Znajdziemy te liczby.
Oznaczmy:
– pierwsza liczba,
– druga liczba,
Układamy równanie wynikające z treści zadania.
Mnożymy obie strony równania przez i skracamy.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które rozwiązujemy.
Obie uzyskane liczby spełniają warunki zadania.
Jeśli , to druga z szukanych liczb jest równa .
Jeśli , to druga z szukanych liczb jest równa .
Odpowiedź:
Szukane liczby to i .
W zadaniach o liczbach często wykorzystuje się wzory skróconego mnożeniawzory skróconego mnożenia. W kolejnym przykładzie skorzystamy ze wzoru na sześcian sumy. Przypomnijmy ten wzór.
Wzór skróconego mnożenia na sześcian sumy dwóch wyrażeń:
Dane są cztery kolejne liczby całkowite.
Suma sześcianów trzech z tych liczb jest równa sześcianowi największej z tych liczb. Wykażemy, że iloczyn tych liczb jest większy od .
Oznaczmy:
, , , – dane liczby, gdzie – liczba całkowita
Zapisujemy równanie wynikające z treści zadania.
Podnosimy do sześcianu zapisane wyrażenia i redukujemy wyrazy podobne.
Dzielimy obie strony równania przez .
Rozwiązań równania szukamy wśród dzielników wyrazu wolnego . Metodą prób i błędów możemy stwierdzić, że jednym w pierwiastków równania jest liczba . Korzystając z tego, rozkładamy na czynniki lewą stronę równania.
Zapisujemy równanie w postaci równoważnej alternatywy.
lub
– równanie nie ma rozwiązania.
Zatem jedynym rozwiązaniem równania jest liczba .
Określamy iloczyn tych liczb: .
Odpowiedź:
Iloczyn szukanych liczb jest większy od , co należało wykazać.