Dla każdej pary liczb całkowitych $a$ i $b$, różnych od $0$, istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych $t$ i $r$ taka, że $a=tb+r$, gdzie $0<r<\left|b\right|$.

Uzasadnimy, że liczba $K={212}^2-{127}^2$ jest złożona i dzieli się przez $3$.

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, zapisujemy wyrażenie określające liczbę $K$ w postaci iloczynu.

Każda z liczb $212-127$ i $212+127$ jest dzielnikiem liczby $K$. Zatem liczba $K$ ma co najmniej $4$ dzielniki naturalne (dzielnikami liczby $K$ są również: liczba $1$ i $K$), jest więc liczbą złożonąliczba złożonaliczbą złożoną.

Liczbę $K$ można zapisać też w postaci

Ponieważ suma cyfr liczby $339$ jest równa $15$, więc liczba $339$ dzieli się przez $3$, a co za tym idzie i liczba $K$ dzieli się przez $3$, co należało wykazać.

Wykażemy, że liczba $M=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$ jest liczbą parzystą.

Przedstawimy każdy z ułamków sumy określającej liczbę $M$, bez użycia niewymierności w mianowniku. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

Teraz korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy i upraszczamy otrzymane wyrażenie.

Liczba $12$ dzieli się przez $2$, więc liczba $M$ jest liczbą parzystą, co należało wykazać.

Wykażemy, że liczba $A={17}^2+{29}^2+986$ jest podzielna przez $23$.

Zauważmy, że wyrażenie ${17}^2+{29}^2+986$ można zapisać w postaci kwadratu sumy liczb $17$ i $29$.

Zatem

Liczba $46$ jest iloczynem liczby $2$ i liczby $23$.

Zatem liczbę $A$ można zapisać w postaci iloczynu liczby $23$ i liczby całkowitej $92$, co oznacza, że liczba $A$ jest podzielna przez $23$.

Wykażemy, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb naturalnych w dzieleniu przez $3$ daje resztę $2$.

Oznaczmy:

$n$, $n+1$, $n+2$, gdy $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$ - kolejne liczby naturalne.

Chcemy wykazać, że sumę kwadratów $3$ kolejnych liczb naturalnych można zapisać w postaci sumy iloczynu liczby $3$ i liczby naturalnej oraz liczby $2$.

Zapisujemy i przekształcamy sumę kwadratów $3$ kolejnych liczb całkowitych, korzystające ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy.

Ponieważ liczba $n^2+2n+1$ jest liczbą naturalną, zatem suma kwadratów $3$ kolejnych liczb naturalnych w dzieleniu przez $3$ daje resztę $2$, co należało wykazać.

Wykażemy, że różnica czwartych potęg dwóch liczb naturalnych, z których pierwsza przy dzieleniu przez $10$ daje resztę $1$, a druga przy dzieleniu przez $10$ daje resztę $3$, dzieli się przez $10$.

Pierwszą z liczb możemy zapisać w postaci $10t+1$, gdzie $t\in \mathrm{\mathbb{N}}$, a drugą w postaci $10k+3$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{N}}$.

Wtedy ${\left(10t+1\right)}^4-{\left(10k+3\right)}^4$ to różnica czwartych potęg tych liczb.

Przekształcamy otrzymane wyrażenie (oznaczmy je $W$), stosując dwukrotnie wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń.

W ostatnim iloczynie wspólny czynnik to $10$, wyłączamy go przed nawias.

Różnicę czwartych potęg dwóch liczb naturalnych, z których pierwsza przy dzieleniu przez $10$ daje resztę $1$, a druga przy dzieleniu przez $10$ daje resztę $3$, przedstawiliśmy w postaci iloczynu liczby $10$ i liczby całkowitej

zatem różnica ta dzieli się przez $10$, co należało wykazać.

liczba naturalna $n$, która ma tylko dwa dzielniki $1$ i $n$

liczba naturalna, większa od $1$, która ma więcej niż dwa dzielniki

liczby $0$ i $1$