Przeczytaj

Na początek przypomnienie podstawowych pojęć których znajomość jest niezbędna do zgłębiania poniższych materiałów.

Doświadczeniem losowym nazywamy taki eksperyment, który można powtarzać wielokrotnie w jednakowych (lub bardzo zbliżonych warunkach) i którego wyniku nie można jednoznacznie przewidzieć.

Każdy wynik doświadczenia losowego to zdarzenie elementarne. Wszystkie zdarzenia losowe danego doświadczenia losowego tworzą przestrzeń zdarzeń elementarnych (zbiór zdarzeń elementarnych).

Zbiór zdarzeń elementarnych będziemy oznaczać grecką literą $Ω$ . Będziemy zakładać, że jest on zbiorem skończonym, a liczbę jego elementów oznaczymy $|Ω|$ .

W tym materiale skoncentrujemy się na określaniu możliwych zdarzeń w rzucie monetą (monetami).

Każda moneta ma dwie strony. Jedną z nich nazywamy reszką $(R)$ , a drugą orłem $(O)$ . Będziemy zakładać, że moneta jest symetryczna, czyli szanse wyrzucenia reszki są takie same, jak szanse wyrzucenia orła.

Przykład 1

Doświadczenie losowe polega na jednokrotnym rzucie monetą.

Zbiór zdarzeń elementarnych tego doświadczenia składa się z dwóch elementów:

wypadł orzeł $(O)$
wypadła reszka $(R)$

$Ω = \{O, R\}$ , $|Ω| = 2$

W zastosowaniach praktycznych najczęściej interesuje nas nie pojedyncze zdarzenie elementarne rozpatrywanego doświadczenia losowego, ale zbiory tych zdarzeń, czyli podzbiory zbioru $Ω$ .

Zdarzenie losowe

Definicja: Zdarzenie losowe

Każdy podzbiór skończonego zbioru zdarzeń elementarnych nazywamy zdarzeniem losowym (zdarzeniem).

O zdarzeniach elementarnych, które są elementami danego zdarzenia $A$ mówimy, że sprzyjają zdarzeniu $A$ .

Zdarzenie nazywamy pewnym, gdy zbiorem zdarzeń sprzyjających temu zdarzeniu jest zbiór zdarzeń elementarnych $Ω$ .

Zdarzenie nazywamy niemożliwym, gdy zbiorem zdarzeń sprzyjających jest zbór pusty. Oznacza to, że w zbiorze $Ω$ nie ma ani jednego zdarzenia elementarnego sprzyjającego danemu zdarzeniu.

Zdarzenie niemożliwe oznaczać będziemy symbolem $\emptyset$ tak, jak zbór pusty.

liczba zdarzeń losowych

Twierdzenie: liczba zdarzeń losowych

Jeżeli zbiór zdarzeń elementarnych $Ω$ ma $n$ elementów, to zdarzeń losowych jest $2^{n}$ (łącznie ze zdarzeniem pewnym i zdarzeniem niemożliwym).

Przykład 2

Doświadczenie polega na jednokrotnym rzucie monetą. Wypiszemy wszystkie zdarzenia losowezdarzenie losowezdarzenia losowe, które mogą zajść w tym doświadczeniu.

Korzystając z Przykładu 1 wiemy już, że zbiór zdarzeń elementarnych składa się z dwóch elementów. Zatem łączna liczba zdarzeń losowychzdarzenie losowezdarzeń losowych jest równa

$2^{2} = 4$

Wypisujemy te zdarzenia:

$\{O\}$ – wyrzucenie orła

$\{R\}$ – wyrzucenie reszki

$\{O, R\} = Ω$ – zdarzenie pewne

$\emptyset$ – zdarzenie niemożliwe (nie wyrzucono ani orła, ani reszki)

Przykład 3

Rzucamy dwiema monetami: jednogroszówką i dwudziestogroszówką.

R51zVS1OkSdzA

Ilustracja przedstawia tabelę składającą się z dwóch wierszy i dwóch kolumn. Nagłówki wierszy to awers i rewers dwudziestogroszówki. Nagłówki kolumn to awers i rewers jednogroszówki. Na przecięciu pierwszego wiersza i pierwszej kolumny znajduje się awers jednogroszówki i dwudziestogroszówki. Na przecięciu pierwszego wiersza i drugiej kolumny znajduje się rewers jednogroszówki i awers dwudziestogroszówki. Na przecięciu drugiego wiersza i pierwszej kolumny znajduje się awers jednogroszówki i rewers dwudziestogroszówki. Na przecięciu drugiego wiersza i drugiej kolumny znajduje się rewers jednogroszówki i dwudziestogroszówki.

Zdarzeniami elementarnymi w tym doświadczeniu są zdarzenia:

$ω_{1} = \{R, R\}$ – wyrzucenie reszki na obu monetach

$ω_{2} = \{R, O\}$ – wyrzucenie reszki na monecie jednogroszowej i orła na monecie dwudziestogroszowej

$ω_{3} = \{O, R\}$ – wyrzucenie orła na monecie jednogroszowej i reszki na monecie dwudziestogroszowej

$ω_{4} = \{O, O\}$ – wyrzucenie orła na obu monetach

Wynika z tego, że

$Ω = \{(R, R), (R, O), (O, R), (O, O)\}$

Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa $4$ .

Jeżeli piszemy o rzucie kilkoma monetami, to zakładamy, że monety te są rozróżnialne. Również wtedy, gdy mają jednakowe nominały.

Zatem doświadczenia: $n$ - krotny rzut monetą i rzut $n$ monetami, interpretujemy i opisujemy tak samo. Czyli identyczne są zbiory zdarzeń elementarnych takich doświadczeń.

Przykład 4

Doświadczenie polega na trzykrotnym rzucie monetą. Wyznaczymy zbiór zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu.

Przestrzeń zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu możemy wyznaczyć różnymi sposobami. Przedstawimy jeden z nich. Narysujemy tzw. drzewko.

RAwOB4duwjJXD

Ilustracja przedstawia drzewo prawdopodobieństwa. Początek rozważań oznaczony jest dużą niebieską kropką. Od tego miejsca mamy dwa rozgałęzienia oznaczający pierwszy etap. Na lewo mamy O na prawo R. W drugim etapie od O i R odchodzą dwie nowe możliwości, czyli od O mamy nowe O i R i tak samo od R mamy nowe O i R. W trzecim etapie ponownie od każdego O i R odchodzą po dwie nowe możliwości. Tworzy się zatem osiem ścieżek. Ścieżka 1. O O O , ścieżka 2. O O R, ścieżka 3. O R O, ścieżka 4. O R R, ścieżka 5. R O O, ścieżka 6. R O R, ścieżka 7. R R O, ścieżka 8. R R R.

Podczas pierwszego rzutu ( $I$ etap) mamy dwie możliwości – $O$ , $R$ .

Z wierzchołka drzewa prowadzimy dwie krawędzie.

W kolejnym etapie każdej z wcześniejszych możliwości odpowiadają dwie nowe sytuacje. Z każdego z wierzchołków oznaczonych $O$ , $R$ prowadzimy po dwie krawędzie i wpisujemy możliwe wyniki.

Podobnie postępujemy w trzecim rzucie.

Zbiór zdarzeń elementarnych tworzymy, wypisując wszystkie ciągi wyników, zapisanych przy krawędziach tworzących gałęzie, rozpoczynając od wierzchołka drzewa.

$Ω = {(O, O, O), (O, O, R), (O, R, O), (O, R, R), (R, O, O), (R, O, R),$

$(R, R, O), (R, R, R)}$

$|Ω| = 8 = 2^{3}$

Zauważmy, że w jednoczesnym rzucie $n$ monetami (lub w $n$ rzutach monetą) liczba zdarzeń elementarnych jest równa $2^{n}$ .

Przykład 5

Rzucamy jednocześnie monetą i sześcienną kostką do gry.

Wypiszemy zdarzenia sprzyjające:

zdarzeniu $A$ – na monecie wypadła reszka, a na kostce liczba oczek nie większa od $4$
zdarzeniu $B$ – na monecie wypadła reszka, a na kostce parzysta liczba oczek

$A = \{(R, 1), (R, 2), (R, 3), (R, 4)\}$

$B = \{(R, 2), (R, 4), (R, 6)\}$

Wypiszemy teraz zdarzenia sprzyjające zdarzeniom $A \cup B$ , $A \cap B$ , $A ∖ B$ , $B ∖ A$ .

Postępujemy podobnie, jak przy działaniach na zbiorach.

$A \cup B = \{(R, 1), (R, 2), (R, 3), (R, 4), (R, 6)\}$

$A \cap B = \{(R, 2), (R, 4)\}$

$A ∖ B = \{(R, 1), (R, 3)\}$

$B ∖ A = \{(R, 6)\}$

Słownik

zdarzenie losowe

każdy podzbiór skończonego zbioru zdarzeń elementarnych nazywamy zdarzeniem losowym (zdarzeniem)

Wprowadzenie

Prezentacja multimedialna

Słownik