Udowodnimy, że równość:

$\frac{1+\sin 2x}{\sin x+\cos x}=\sin x+\cos x$

jest tożsamością.

Rozwiązanie

Najpierw zapiszmy założenia: $\sin x+\cos x\ne 0$.

Zastosujemy wzór na sinus podwojonego argumentusinus podwojonego kątasinus podwojonego argumentu oraz jedynkę trygonometryczną do przekształcenia lewej strony nierówności:

$\frac{1+\sin 2x}{\sin x+\cos x}=\frac{{\sin }^{2}x+2\sin x\cdot \cos x+{\cos }^{2}x}{\sin x+\cos x}$

Wykorzystujemy wzór skróconego mnożenia na sumę kwadratów i po skróceniu otrzymujemy prawą stronę równości:

$\frac{{\sin }^{2}x+2\sin x\cdot \cos x+{\cos }^{2}x}{\sin x+\cos x}=\frac{{\left(\sin x+\cos x\right)}^2}{\sin x+\cos x}=\sin x+\cos x$.

Udowodnimy, że równość:

$\frac{1-2\sin \frac{x}{2}-\cos x}{1+2\sin \frac{x}{2}-\cos x}=-{\mathrm{tg}}^2\left(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{4}\right)$

jest tożsamością.

Rozwiązanie

Zapisujemy założenia: $1+2\sin \frac{x}{2}-\cos x\ne 0$, $\cos \left(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{4}\right)\ne 0$.

Zastosujemy wzór na cosinus podwojonego argumentucosinus podwojonego kątacosinus podwojonego argumentu $\cos x=1-2{\sin }^2\frac{x}{2}$ do przekształcenia lewej strony nierówności:

$\frac{1-2\sin \frac{x}{2}-\cos x}{1+2\sin \frac{x}{2}-\cos x}=\frac{2{\sin }^2\frac{x}{2}-2\sin \frac{x}{2}}{2{\sin }^2\frac{x}{2}+2\sin \frac{x}{2}}$

Wyłączamy przed nawias wspólny czynnik w liczniku i mianowniku i skracamy go:

$\frac{2{\sin }^2\frac{x}{2}-2\sin \frac{x}{2}}{2{\sin }^2\frac{x}{2}+2\sin \frac{x}{2}}=\frac{2\sin \frac{x}{2}\left(\sin \frac{x}{2}-1\right)}{2\sin \frac{x}{2}\left(\sin \frac{x}{2}+1\right)}=\frac{\sin \frac{x}{2}-1}{\sin \frac{x}{2}+1}$

Korzystamy ze wzorów redukcyjnych.

$\frac{\sin \frac{x}{2}-1}{\sin \frac{x}{2}+1}=\frac{\cos \left(\frac{\pi }{2}-\frac{x}{2}\right)-1}{\cos \left(\frac{\pi }{2}-\frac{x}{2}\right)+1}$

Następnie $\cos \left(\frac{\pi }{2}-\frac{x}{2}\right)$ traktujemy jak cosinus podwojonego argumentu i korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kątacosinus podwojonego kątacosinus podwojonego kąta:

$\frac{\cos \left(\frac{\pi }{2}-\frac{x}{2}\right)-1}{\cos \left(\frac{\pi }{2}-\frac{x}{2}\right)+1}=\frac{-2{\sin }^2\left(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{4}\right)}{2{\cos }^2\left(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{4}\right)}$

Na końcu korzystamy z tożsamości $\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$:

$\frac{-2{\sin }^2\left(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{4}\right)}{2{\cos }^2\left(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{4}\right)}=\frac{-2{\sin }^2\left(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{4}\right)}{2{\cos }^2\left(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{4}\right)}=-{\mathrm{tg}}^2\left(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{4}\right)$.

Wykazaliśmy, że równość jest tożsamością.

Wykażemy, że równość:

$\frac{1+2\sin x·\cos x-\cos 4x}{\cos x\left(1+4\sin x·\cos x\right)}=2\sin x$

jest tożsamością.

Rozwiązanie

Zapiszmy założenie: $\cos x\left(1+4\sin x·\cos x\right)\ne 0$.

Przekształcamy lewą stronę równości z wykorzystaniem wzorów na sinus oraz cosinus podwojonego kąta: $\cos 4x=1-2{\sin }^{2}2x$ oraz $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Wówczas otrzymujemy:

$\frac{1+2\sin x·\cos x-\cos 4x}{\cos x\left(1+4\sin x·\cos x\right)}=\frac{2{\sin }^{2}2x+\sin 2x}{\cos x\left(1+2\sin 2x\right)}$

Po wyłączeniu przed nawias odpowiednich wyrażeń w liczniku i mianowniku, dokonujemy skrócenia. Ponownie wykorzystujemy wzór na sinus podwojonego kątasinus podwojonego kątasinus podwojonego kąta i otrzymujemy:

$\frac{2{\sin }^{2}2x+\sin 2x}{\cos x\left(1+2\sin 2x\right)}=\frac{\sin 2x\left(2\sin 2x+1\right)}{\cos x\left(1+2\sin 2x\right)}=\frac{2\sin x·\cos x}{\cos x}=2\sin x$.

Wykazaliśmy, że równość jest tożsamością.

Wykażemy, że równość:

$\cos x\left(1-2{\cos }^{2}x\right)\left(\mathrm{tg}x-\mathrm{tg}2x\right)=\sin x$

jest tożsamością.

Rozwiązanie

Zapiszmy założenia: $\cos x\ne 0,\cos 2x\ne 0$.

Korzystamy z tożsamości $\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$ i przekształcamy lewą stronę równości:

$\cos x\left(1-2{\cos }^{2}x\right)\left(\mathrm{tg}x-\mathrm{tg}2x\right)=\cos x\left(1-2{\cos }^{2}x\right)\left(\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{\sin 2x}{\cos 2x}\right)$

Wyrażenie w ostatnim nawiasie sprowadzamy do wspólnego mianownika oraz korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta $1-2{\cos }^{2}x=-\cos 2x$ i otrzymujemy:

$\cos x\left(1-2{\cos }^{2}x\right)\left(\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{\sin 2x}{\cos 2x}\right)=-\cos x·\cos 2x·\frac{\sin x·\cos 2x-\cos x·\sin 2x}{\cos x·\cos 2x}$

Korzystamy ze wzoru na $\sin \left(x-2x\right)$ i po skróceniu otrzymujemy prawą stronę równości:

$-\cos x·\cos 2x·\frac{\sin x·\cos 2x-\cos x·\sin 2x}{\cos x·\cos 2x}=\frac{-\cos x·\cos 2x·\left(-\sin x\right)}{\cos x·\cos 2x}=\sin x$.

Wykazaliśmy, że równość jest tożsamością.

tożsamość trygonometryczna: $\sin 2x=2\sin x\cos x$ prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej $x$

tożsamość trygonometryczna: $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$ prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej $x$