Przeczytaj

W tym materiale przedstawimy kilka typów tożsamości trygonometrycznych. W przedstawionych przykładach będziemy przekształcać jedną ze stron równości, zwykle tę bardziej skomplikowaną, tak długo, aż otrzymamy drugą stronę równości.

Przykład 1

Uzasadnimy, że równość $tg 3 x + tg x = \frac{4 \sin x \cos 2 x}{\cos 3 x}$ jest tożsamością trygonometryczną.

Rozwiązanie

Najpierw zapiszmy założenia: $\cos x \neq 0$ , $\cos 3 x \neq 0$ .

Skorzystajmy ze wzoru na sumę tangensówwzoru na sumę tangensów i zapiszmy w nowej postaci lewą stronę równości:

$L = t g 3 x + t g x = \frac{\sin 4 x}{\cos x \cos 3 x}$

Korzystając ze wzoru na sinus podwojonego argumentu $\sin 4 x = 2 \sin 2 x \cos 2 x$ zapisujemy lewą stronę w nastepującej postaci:

$\frac{\sin 4 x}{\cos x \cos 3 x} = \frac{2 \sin 2 x \cos 2 x}{\cos x \cos 3 x} = \frac{4 \sin x \cos x \cos 2 x}{\cos x \cos 3 x}$

Po skróceniu $\cos x$ otrzymujemy prawą stronę równości:

$\frac{4 \sin x \cos 2 x}{\cos 3 x} = P$

A to oznacza, że równość jest tożsamością.

Przykład 2

Udowodnimy tożsamość: $\frac{\sin 3 x - \sin x}{\cos 3 x + \cos x} = tg x$ .

Rozwiązanie

Zapiszmy założenia: $\cos 3 x + \cos x \neq 0$ , $\cos x \neq 0$ .

Zapiszemy licznik lewej strony równości za pomocą wzoru na różnicę sinusówwzory na sumę oraz różnicę sinusówwzoru na różnicę sinusów $\sin 3 x - \sin x = 2 \sin x \cdot \cos 2 x$ oraz mianownik korzystając ze wzoru na sumę cosinusówwzoru na sumę cosinusów $\cos 3 x + \cos x = 2 \cos 2 x \cdot \cos x$ .

Wówczas możemy przekształcić lewą stronę równości do postaci:

$\frac{\sin 3 x - \sin x}{\cos 3 x + \cos x} = \frac{2 \sin x \cdot \cos 2 x}{2 \cos 2 x \cdot \cos x}$ .

Po skróceniu wspólnego czynnika w liczniku i mianowniku otrzymujemy prawą stronę:

$\frac{2 \sin x \cdot \cos 2 x}{2 \cos 2 x \cdot \cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} = tg x$ .

A to oznacza, że równość jest tożsamością.

Przykład 3

Uzasadnimy, że równość: $\frac{\sin 2 x + 2 \sin x \cdot \cos 2 x}{1 + \cos x + \cos 2 x + \cos 3 x} = tg x$ jest tożsamością.

Rozwiązanie

Jak zawsze, zaczniemy od wypisania założeń: $1 + \cos x + \cos 2 x + \cos 3 x \neq 0$ , $\cos x \neq 0$ .

Aby przekształcić lewą stronę równości, skorzystamy ze wzorów na funkcje podwojonego argumentu: $\sin 2 x = 2 \sin x \cos x$ i $\cos 2 x = 2 \cos^{2} x - 1$ oraz zastosujemy wzór na sumę cosinusówwzór na sumę cosinusów: $\cos x + \cos 3 x = 2 \cos x \cos 2 x$ .

Wóczas lewą stronę możemy zapisać następująco:

$L = \frac{\sin 2 x + 2 \sin x \cdot \cos 2 x}{1 + \cos x + \cos 2 x + \cos 3 x} = \frac{2 \sin x \cdot \cos x + 2 \sin x \cdot \cos 2 x}{1 + 2 \cos^{2} x - 1 + 2 \cos x \cdot \cos 2 x} = \frac{2 \sin x \cdot \cos x + 2 \sin x \cdot \cos 2 x}{2 \cos^{2} x + 2 \cos x \cdot \cos 2 x}$

Po wyłączeniu z licznika przed nawias $2 \sin x$ i wyłączeniu z mianownika przed nawias $2 \sin x$ , otrzymujemy prawą stronę równości:

$\frac{2 \sin x \cdot (\cos x + \cos 2 x)}{2 \cos x \cdot (\cos x + \cos 2 x)} = tg x = P$ .

A to oznacza, że równość jest tożsamością.

W poniższym przykładzie najpierw odpowiednio uporządkujemy funkcje trygonometryczne, aby potem je w odpowiedni sposób pododawać. Zwracamy uwagę na to, że chodzi o to, by powstały wyrażenia podobne, które będzie można wyłączyć przed nawias i skrócić.

Przykład 4

Uzasadnimy, że równość $\frac{\sin 6 x - \sin 7 x - \sin 8 x + \sin 9 x}{\cos 6 x - \cos 7 x - \cos 8 x + \cos 9 x} = tg \frac{15 x}{2}$ jest tożsamością.

Rozwiązanie

Zapiszmy założenia: $\cos 6 x - \cos 7 x - \cos 8 x + \cos 9 x \neq 0$ , $\cos x \neq 0$ .

Uporządkujemy w taki sposób funkcje w liczniku i mianowniku, aby można je było odpowiednio dodać:

$L = \frac{\sin 6 x - \sin 7 x - \sin 8 x + \sin 9 x}{\cos 6 x - \cos 7 x - \cos 8 x + \cos 9 x} = \frac{\sin 6 x + \sin 9 x - (\sin 7 x + \sin 8 x)}{\cos 6 x + \cos 9 x - (\cos 7 x + \cos 8 x)}$

Korzystając ze wzoru na sinus sumywzory na sumę oraz różnicę sinusówwzoru na sinus sumy zapisujemy:

$\sin 6 x + \sin 9 x = 2 \sin \frac{6 x + 9 x}{2} \cdot \cos \frac{6 x - 9 x}{2}$

$\sin 7 x + \sin 8 x = 2 \sin \frac{7 x + 8 x}{2} \cdot \cos \frac{7 x - 8 x}{2}$

Korzystając ze wzoru na cosinus sumywzoru na cosinus sumy zapisujemy:

$\cos 6 x + \cos 9 x = 2 \cos \frac{6 x + 9 x}{2} \cdot \cos \frac{6 x - 9 x}{2}$

$\cos 7 x + \cos 8 x = 2 \cos \frac{7 x + 8 x}{2} \cdot \cos \frac{7 x - 8 x}{2}$

Wówczas lewa strona przyjmuje postać:

$L = \frac{2 \sin \frac{6 x + 9 x}{2} \cdot \cos \frac{6 x - 9 x}{2} - 2 \sin \frac{7 x + 8 x}{2} \cdot \cos \frac{7 x - 8 x}{2}}{2 \cos \frac{6 x + 9 x}{2} \cdot \cos \frac{6 x - 9 x}{2} - 2 \cos \frac{7 x + 8 x}{2} \cdot \cos \frac{7 x - 8 x}{2}}$

Po wyłączeniu wspólnych czynników przed nawias w liczniku i mianowniku otrzymujemy prawą stronę:

$L = \frac{\sin \frac{15 x}{2} \cdot (\cos \frac{3 x}{2} - \cos \frac{x}{2})}{\cos \frac{15 x}{2} \cdot (\cos \frac{3 x}{2} - \cos \frac{x}{2})} = tg \frac{15 x}{2} = P$

A to oznacza, że równość jest tożsamością.

Słownik

wzory na sumę oraz różnicę sinusów

\sin α + \sin β = 2 \sin \frac{α + β}{2} \cdot \cos \frac{α - β}{2}

\sin α - \sin β = 2 \sin \frac{α - β}{2} \cdot \cos \frac{α + β}{2}

dla dowolnych $α, β \in ℝ$

wzory na sumę oraz różnicę cosinusów

\cos α + \cos β = 2 \cos \frac{α + β}{2} \cdot \cos \frac{α - β}{2}

\cos α - \cos β = - 2 \sin \frac{α + β}{2} \cdot \sin \frac{α - β}{2}

dla dowolnych $α, β \in ℝ$

wzory na sumę oraz różnicę tangensów

tg α + tg β = \frac{\sin (α + β)}{\cos α \cos β}

tg α - tg β = \frac{\sin (α - β)}{\cos α \cos β}

dla dowolnych $α, β \in ℝ$ spełniających warunki: $\cos α \neq 0$ i $\cos β \neq 0$

Wprowadzenie

Infografika

Słownik