Przeczytaj

Znamy już elementy sześcianu i wiemy, ile ich jest. Jednym z elementów sześcianusześciansześcianu jest krawędź – i jest to pierwszy typ odcinków w sześcianie. Przypomnijmy, że wszystkie krawędzie sześcianu mają tę samą długość i są do siebie równoległe lub prostopadłe.

Ściany sześcianu są kwadratami. Na ścianach sześcianu możemy wyróżnić kolejny typ odcinka – przekątną ścianyprzekątna ściany sześcianuprzekątną ściany (będziemy ją oznaczać przez $p$ ). Jeżeli krawędź sześcianu oznaczymy przez $a$ , to korzystając z własności kwadratu otrzymujemy $p = a \sqrt{2}$ . Mamy dwanaście przekątnych ścian sześcianu tej samej długości.

RxRAg74ucqvax

Grafika przedstawia sześcian. Bok sześcianu jest podpisany literą a. Przekątna ściany bocznej sześcianu jest podpisana literą p i ma kolor różowy.

Przykład 1

Obliczymy sumę krawędzi sześcianu o przekątnej ściany bocznej równej $8 cm$ .

Korzystając ze wzoru na długość przekątnej ściany bocznej otrzymujemy $p = a \sqrt{2} = 8$ , a to oznacza, że $a = 4 \sqrt{2} cm$ .

Czyli suma krawędzi sześcianu wynosi $12 a = 48 \sqrt{2} cm$ .

Najdłuższym odcinkiem w sześcianie jest przekątna sześcianuprzekątna sześcianuprzekątna sześcianu – jest to odcinek łączący wierzchołek dolnej podstawy sześcianu z wierzchołkiem górnej podstawy sześcianu, który nie leży na tej samej ścianie. Przekątną sześcianu będziemy oznaczać przez $d$ .

RYgdVybk4vp3Y

Grafika przedstawia sześcian. Bok sześcianu jest podpisany literą a. Przekątna sześcianu jest podpisana literą d i ma kolor zielony.

W każdym sześcianie są cztery przekątne sześcianu tej samej długości.

R3UPL2MXz32Sc

Grafika przedstawia sześcian o długości krawędzi oznaczonej literą a. W sześcianie zostały narysowane jego 4 przekątne, przy czym przekątne wychodzące z górnych wierzchołków lewej ściany mają kolor zielony, a przekątne wychodzące z górnych wierzchołków prawej ściany mają kolor granatowy.

Zauważmy, że krawędź sześcianu, przekątna ściany bocznej i przekątna sześcianu łączące trzy wierzchołki sześcianu tworzą trójkąt prostokątny. Wynika to z faktu, że krawędź boczna jest wysokością sześcianu, a zatem jest prostopadła do każdego odcinka poprowadzonego w podstawie. Możemy więc wyznaczyć długość przekątnej sześcianu w zależności od długości jego krawędzi.

R7zRvOlSy3prA

Grafika przedstawia sześcian o długości krawędzi oznaczonej literą a. Przekątną sześcianu narysowano kolorem zielonym i oznaczono literą d. Zaznaczono przekątną podstawy, w taki sposób że ma wspólny wierzchołek z przekątną sześcianu. Przekątna podstawy ma kolor różowy. Kąt pomiędzy przekątną podstawy sześcianu a krawędzią sześcianu to kąt prosty. Przekątna sześcianu jest podpisana literą p i ma długość a2.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy zatem $a^{2} + {(a \sqrt{2})}^{2} = d^{2}$ . Stąd $d^{2} = 3 a^{2}$ i ostatecznie:

d = a \sqrt{3}

Przykład 2

Przekątna sześcianu ma długość $15 cm$ . Obliczymy długość krawędzi i przekątnej ściany.

Mamy $d = a \sqrt{3} = 15$ .

Mnożąc obustronnie przez $\sqrt{3}$ otrzymujemy $3 a = 15 \sqrt{3}$ i stąd $a = 5 \sqrt{3} cm$ .

Przekątna ściany ma więc długość $p = a \sqrt{2} = 5 \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 5 \sqrt{6} cm$ .

W sześcianie można również poprowadzić inne odcinki, których długość możemy policzyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

Przykład 3

Krawędź sześcianu ma długość $10$ . W tym sześcianie poprowadzono odcinek łączący środek krawędzi z wierzchołkiem leżącym na tej samej ścianie. Obliczymy długość tego odcinka.

Zrobimy rysunek pomocniczy.

RUKzNSxgfSKRv

Grafika przedstawia sześcian o boku długości dziesięć. W płaszczyźnie ściany bocznej zaznaczono odcinek oznaczony literą x, łączący wierzchołek podstawy z punktem na krawędzi bocznej, znajdującym się w odległości równej 5 od wierzchołka podstawy. Powstał trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 5 i 10 oraz przeciwprostokątnej długości x.

Obliczymy długość odcinka $x$ , korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:

$5^{2} + 10^{2} = x^{2}$ , czyli

$x^{2} = 125$ , a stąd $x = 5 \sqrt{5}$ .

Przykład 4

Obliczymy odległość krawędzi sześcianu o krawędzi $6$ od przekątnej sześcianu, która nie ma z nią punktów wspólnych.

Zauważmy, że odległość od krawędzi do przekątnej, która nie ma z nią punktów wspólnych jest długością odcinka łączącego środek krawędzi ze środkiem tej przekątnej.

R1MyyzIER3iaT

Grafika przedstawia sześcian. Wierzchołki sześcianu to kolejno A, B, C, D, E, F, G. Przy czym wierzchołki A, B, C, D tworzą dolną podstawę sześcianu. Przekątna sześcianu o końcach B oraz H ma kolor granatowy. Na górnej krawędzi podstawy o końcach F oraz E został zaznaczony punkt I. Zaznaczono dwa odcinki wychodzące z punktu I odcinek IH oraz IB. Z punktu I wychodzi także odcinek w kolorze zielonym. Łączy ona punkt I z punktem J, znajdującym się na przekątnej sześcianu.

$I$ jest środkiem odcinka $E F$ , $J$ jest środkiem przekątnej $B H$ . Odcinek $I J$ jest wysokością trójkąta równoramiennego $B I H$ (mamy $|B I| = |I H|$ , ponieważ są to przeciwprostokątne przystających trójkątów prostokątnych.

Obliczmy długość odcinka $I H$ z twierdzenia Pitagorasa:

${|I H|}^{2} = 3^{2} + 6^{2}$

A stąd $|I H| = \sqrt{45} = 3 \sqrt{5}$ .

Przekątna tego sześcianu ma długość $6 \sqrt{3}$ .

Obliczymy długość $I J$ z twierdzenia Pitagorasa:

${|I J|}^{2} + {(3 \sqrt{3})}^{2} = {(3 \sqrt{5})}^{2}$ .

Czyli ${|I J|}^{2} = 45 - 27 = 18$ . A zatem $|I J| = 3 \sqrt{2}$ .

Uwaga: Odległość krawędzi od przekątnej sześcianu, która nie ma z nią punktów wspólnych jest równa połowie długości przekątnej ściany bocznej.

Przykład 5

Punkty $J$ i $K$ są środkami krawędzi sześcianu o boku długości a wychodzących z tego samego wierzchołka. Punkt $L$ jest punktem przecięcia przekątnych ściany przeciwległej do ściany zawierającej odcinek $J K$ . Obliczymy długość wysokości trójkąta $J K L$ wychodzącej z wierzchołka $L$ .

Zróbmy rysunek pomocniczy:

RIAvPKzbOy1Rx

Grafika przedstawia sześcian. Wierzchołki sześcianu to kolejno A, B, C, D, E, F, G. Przy czym wierzchołki A, B, C, D tworzą dolną podstawę sześcianu. W dolnej podstawie sześcianu narysowane zostały jej przekątne. Na przecięciu się przekątnych dolnej podstawy znajduje się punkt O. Bezpośrednio nad punktem O w płaszczyźnie górnej podstawy znajduje się punkt L. Na linii przekątnej dolnej podstawy, pomiędzy punktem O oraz C znajduje się punkt N. Punkty O, L, N tworzą trójkąt prostokątny. Gdzie LN to przeciwprostokątna, ON to krótsza przyprostokątna, a LO to dłuższa przyprostokątna. Na krawędzi dolnej podstawy o wierzchołkach CD znajduje się punkt K. Natomiast na krawędzi BC znajduje się punkt J.

Trójkąt $J K L$ jest równoramienny, przy czym $|J K| = \frac{\sqrt{2}}{2} a$ (jest to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego równoramiennego o przyprostokątnej długości $\frac{a}{2}$ ).

Oznaczmy przez $O$ punkt przecięcia przekątnych podstawy $A B C D$ .

Odcinek $N C$ jest wysokością Trójkąta $J C K$ poprowadzoną z wierzchołka trójkąta równoramiennego prostokątnego i ma długość $\frac{a \sqrt{2}}{4}$ .

A zatem $|N O| = \frac{a \sqrt{2}}{4}$ .

Ponadto $|L O| = a$ .

Obliczamy długość odcinka $L N$ z twierdzenia Pitagorasa: $a^{2} + {(\frac{a \sqrt{2}}{4})}^{2} = {|L N|}^{2}$ .

Czyli ${|L N|}^{2} = \frac{18}{16} a^{2}$ , a stąd $|L N| = \frac{3 \sqrt{2}}{4} a$ .

Słownik

sześcian

graniastosłup, którego wszystkie ściany są przystającymi kwadratami

przekątna ściany sześcianu

przekątna kwadratu, który jest ścianą sześcianu

przekątna sześcianu

odcinek łączący dwa wierzchołki równoległych ścian, które nie są wierzchołkami tej samej ściany

Wprowadzenie

Animacja 3D

Słownik