Rozwiążemy nierówność $\left|x+1\right|+\left|2x-4\right|<5$.

Najpierw zapiszemy wyrażenie $\left|x+1\right|$ bez użycia symbolu wartości bezwzględnej, korzystając z definicji wartości bezwzględnej. 0trzymujemy:

$\left|x+1\right|=\left\{\begin{array}{ll}x+1& \mathrm{dla} x\ge -1\\ -\left(x+1\right)& \mathrm{dla} x<-1\end{array}\right.$

Analogicznie:

$\left|2x-4\right|=\left\{\begin{array}{ll}2x-4& \mathrm{dla} x\ge 2\\ -\left(2x-4\right)& \mathrm{dla} x<2\end{array}\right.$

Przedstawimy teraz, jak zmieniają się znaki wyrażeń w wyznaczonych przedziałach na osi liczbowej.

R1DYJy0On9uJa

Ilustracja przedstawia poziomą oś X na odcinku od minus dwóch do trzech. Na osi zaznaczone są cztery przedziały, przy czym dwa są tuż przy osi, a dwa wyżej. Przedziały tuż przy osi ilustrują graficzne rozwiązanie wzoru $\left|x+1\right|$ i są następujące: pierwszy przedział jest otwarty od minus nieskończoności do minus jeden, drugi to przedział lewostronnie domknięty od minus jeden do plus nieskończoności. Przedziały zaznaczone wyżej są ilustracją rozwiązania wzoru $\left|2x-4\right|$ i są następujące: pierwszy przedział jest otwarty od minus nieskończoności do dwóch, a drugi jest lewostronnie domknięty od dwóch do plus nieskończoności.

1. Jeśli $x\in \left(-\infty , -1\right)$ to nierówność jest postaci:

$-\left(x+1\right)-\left(2x-4\right)<5$

$-x-1-2x+4<5$

$-3x<2$

$x>-\frac{2}{3}$

Po uwzględnieniu założenia otrzymujemy $x\in \varnothing$.

2. Jeśli $x\in \left.⟨-1, 2\right)$ to nierówność jest postaci:

$x+1-\left(2x-4\right)<5$

$x+1-2x+4<5$

$-x+5<5$

$-x<0$

$x>0$

Po uwzględnieniu założenia otrzymujemy $x\in \left(0, 2\right)$.

3. Jeśli $x\in \left.⟨2, \infty \right)$ to nierówność jest postaci:

$x+1+2x-4<5$

$3x-3<5$

$3x<8$

$x<2\frac{2}{3}$

Po uwzględnieniu założenia otrzymujemy $x\in \left.⟨2, 2\frac{2}{3}\right)$.

Rozwiązaniem nierówności jest suma rozwiązań z poszczególnych przypadków.

Rozwiązanie nierówności: $x\in \left(0, 2\frac{2}{3}\right)$.

Wykażemy, że zbiorem rozwiązań nierówności $3+4\sqrt{1+4x+4x^2}>\left|2x+1\right|$ jest zbiór liczb rzeczywistych.

Zauważmy, że:

$\sqrt{1+4x+4x^2}=\sqrt{{\left(1+2x\right)}^2}=\left|1+2x\right|$

Zatem nierówność zapiszemy w postaci  $3+4·\left|1+2x\right|>\left|1+2x\right|$.

Czyli:

$3·\left|1+2x\right|>-3$

$\left|1+2x\right|>-1$

Ponieważ  wartość bezwzględna liczby jest zawsze liczbą nieujemną, nasza nierówność jest zawsze prawdziwa. Zatem zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór liczb rzeczywistych.

Wykażemy, że nierówność $\left|\left|x+2\right|+\left|4x-8\right|\right|<1$ to nierówność sprzecznanierówność sprzecznanierówność sprzeczna.

Zapiszemy nierówność z wartością bezwzględną jako koniunkcję nierówności.

$\left|x+2\right|+\left|4x-8\right|<1$ i $\left|x+2\right|+\left|4x-8\right|>-1$

Druga nierówność jest zawsze prawdziwa ponieważ wartość bezwzględna przyjmuje zawsze nieujemne wartości, zatem suma takich wartości - również.

Określimy zbiór rozwiązań nierówności:

$\left|x+2\right|+\left|4x-8\right|<1$

1. Jeśli $x\in \left(-\infty , -2\right)$ to nierówność jest postaci:

$-\left(x+2\right)-\left(4x-8\right)<1$

$-x-2-4x+8<1$

$-5x<-5$

$x>1$

Po uwzględnieniu założenia otrzymujemy $x\in \varnothing$.

2. Jeśli $x\in \left.⟨-2, 2\right)$ to nierówność jest postaci:

$x+2-\left(4x-8\right)<1$

$x+2-4x+8<1$

$-3x<-9$

$x>3$

Po uwzględnieniu założenia otrzymujemy $x\in \varnothing$.

3. Jeśli $x\in \left.⟨2, \infty \right)$ to nierówność jest postaci:

$x+2+4x-8<1$

$5x-6<1$

$5x<7$

$x<1\frac{2}{5}$

Po uwzględnieniu założenia otrzymujemy $x\in \varnothing$.

Zatem nierówność nie posiada rozwiązania.

Ponieważ rozwiązaniem nierówności $\left|\left|x+2\right|+\left|4x-8\right|\right|<1$ jest koniunkcja rozwiązań nierówności $\left|x+2\right|+\left|4x-8\right|<1$ i $\left|x+2\right|+\left|4x-8\right|>-1$, zatem nierówność ta jest sprzeczna. Nie posiada rozwiązania.

nierówność, która nie jest spełniona przez żadną liczbę należącą do dziedziny tej nierówności