Jeżeli $W\left(x\right)$ i $P\left(x\right)$ są wielomianami, $P\left(x\right)$ nie jest wielomianem zerowym $\left(P\left(x\right)\not\equiv 0\right)$ to równanie

nazywamy równaniem wymiernym z jedną niewiadomą $x$.

Jednomianem nazywamy takie wyrażenie algebraiczne, które jest liczbą, literą lub iloczynem liczb i liter.

Rozwiążemy równanie $\frac{\left(x+1\right)\left(3-x\right)}{x^2}=0$.

Dziedziną równania jest $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$.

Ułamek jest równy zero, jeżeli licznik ułamka jest równy zero.

$\left(x+1\right)\left(3-x\right)=0$

$x+1=0$ lub $3-x=0$

$x=-1$ lub $x=3$

$-1\in D$, $3\in D$

Rozwiązaniem równania są liczby $-1$, $3$.

Rozwiążemy równanie $\frac{x^2-2x}{4x^2}=0$.

Dziedziną równania jest $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$.

$x^2-2x=0$

$x\left(x-2\right)=0$

$x=0$ lub $x=2$

$0\notin D$, $2\in D$

Rozwiązaniem równania jest liczba $2$.

Rozwiążemy równanie $\frac{4x^2-2x}{-4x}=\frac{1}{2}$.

Dziedziną równania jest $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$.

W liczniku ułamka algebraicznego wyłączymy przed nawias jednomianjednomianjednomian $2x$.

$\frac{2x(2x-1)}{-4x}=\frac{1}{2}$

Wyrażenie z lewej strony równania skracamy przez $2x$ ($x\ne 0$).

$\frac{2x-1}{-2}=\frac{1}{2}$

Mnożymy „na krzyż”.

$2·\left(2x-1\right)=-2$

$2x-1=-1$

$2x=0$

$x=0$

$0\notin D$

Równanie nie posiada rozwiązania. Jest sprzeczne.

Rozwiążemy równanie $\frac{2x{\left(x-1\right)}^2}{2x^2}=\frac{x+1}{x}$.

Dziedziną równania jest $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$.

Zapisujemy równanie w postaci równoważnej.

$\frac{{(x-1)}^2}{x}=\frac{x+1}{x}$

Korzystamy z własności proporcji (mnożymy „na krzyż”).

${\left(x-1\right)}^2·x=x\left(x+1\right)$

Dzielimy obie strony równania przez $x$ ($x\ne 0$).

${\left(x-1\right)}^2=x+1$

$x^2-2x+1=x+1$

$x^2-3x=0$

$x\left(x-3\right)=0$

$x=0$ lub $x=3$

$0\notin D$, $3\in D$

Rozwiązaniem równania jest liczba $3$.

Rozwiążemy równanie $\frac{x+1}{x}+\frac{x^2-1}{x^2}=1$.

Dziedziną równania jest $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$.

Sprowadzimy lewą stronę równania do wspólnego mianownika.

$\frac{x\left(x+1\right)+x^2-1}{x^2}=1$

$\frac{x^2+x+x^2-1}{x^2}=1$

$\frac{2x^2+x-1}{x^2}=1|\cdot x^2$, $x\ne 0$

$2x^2+x-1=x^2$

$x^2+x-1=0$

$∆=1+4=5$

$\sqrt{∆}=\sqrt{5}$

$x_1=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$

$x_2=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$

Równanie ma dwa rozwiązania $\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$, $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$.

Rozwiążemy równanie $\frac{\left|x+1\right|x}{x^2}=\frac{x+1}{2}$.

Dziedziną równania jest $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$.

Mnożymy „na krzyż”.

$\left|x+1\right|·2x=x^2\left(x+1\right)$

$\left|x+1\right|·2=x\left(x+1\right)$

$2·\left|x+1\right|-x^2-x=0$

Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej.

1. $D: x+1\ge 0$

   $x\ge -1$

   $2·\left(x+1\right)-x^2-x=0$

   $2x+2-x^2-x=0$

   $-x^2+x+2=0$

   $x^2-x-2=0$

   $\left(x-2\right)\left(x+1\right)=0$

   $x=2$ lub $x=-1$

   $2\in D$, $-1\in D$

2. $D: x+1<0$

   $x<-1$

   $-2·\left(x+1\right)-x^2-x=0$

   $-2x-2-x^2-x=0$

   $-x^2-3x-2=0$

   $x^2+3x+2=0$

   $\left(x+1\right)\left(x+2\right)=0$

   $x=-1$ lub $x=-2$

   $-1\notin D$, $-2\in D$

Równanie ma trzy rozwiązania $-2$, $-1$, $2$.

równanie $\frac{W\left(x\right)}{P\left(x\right)}=0$ z jedną niewiadomą $x$, gdzie $W\left(x\right)$ i $P\left(x\right)$ są wielomianami, $P\left(x\right)$ nie jest wielomianem zerowym $\left(P\left(x\right)\not\equiv 0\right)$

takie wyrażenie algebraiczne, które jest liczbą, literą lub iloczynem liczb i liter