Przeczytaj

Nierówność kwadratowa

Definicja: Nierówność kwadratowa

Nierównością kwadratową z niewiadomą $x$ nazywamy każdą nierówność postaci

$a x^{2} + b x + c > 0$ lub $a x^{2} + b x + c \geq 0$ lub $a x^{2} + b x + c < 0$ lub $a x^{2} + b x + c \leq 0$

gdzie:
$a$ , $b$ , $c$ – są ustalonymi liczbami rzeczywistymi i $a \neq 0$ .

Nierówności, w których wszystkie współczynniki trójmianu kwadratowego są różne od $0$ , nazywamy nierównościami kwadratowymi zupełnymi.

Nierówności, w których współczynniki trójmianu kwadratowego $b$ lub $c$ są równe $0$ , nazywamy nierównościami kwadratowymi niezupełnymi.

Jeżeli $b = 0$ i $c = 0$ to nierówność kwadratowanierówność kwadratowanierówność kwadratowa jest postaci $a x^{2} > 0$ lub $a x^{2} < 0$ lub $a x^{2} \geq 0$ lub $a x^{2} \leq 0$ .

Przykład 1

Rozwiążemy nierówność kwadratową niezupełną $x^{2} - 16 \leq 0$ .

Zapiszemy nierówność w postaci równoważnej.

$(x - 4) (x + 4) \leq 0$

Obliczamy miejsca zerowe funkcji $f (x) = (x - 4) (x + 4)$ .

$x - 4 = 0$ lub $x + 4 = 0$

$x = 4$ lub $x = - 4$

Szkicujemy przybliżony wykres funkcji $f$ . Parabola ma ramiona skierowane „do góry”, bo współczynnik przy $x^{2}$ jest dodatni i wykres przechodzi przez wyznaczone punkty.

RW70HlFD0JF5n

Rysunek przedstawia poziomą oś X z zaznaczonymi na niej liczbami: -4; 4. Liczby zaznaczono zamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do minus czterech wykres znajduje się nad osią, w punkcie minus cztery przechodzi pod oś i biegnie pod osią do czwórki. Fragment pod osią oznaczono minusami znajdującymi się między osią a wykresem. Od czwórki do plus nieskończoności wykres przebiega nad osią.

Zbiór rozwiązań: $x \in ⟨- 4, 4⟩$ .

Przykład 2

Rozwiążemy nierówność $x^{2} + 1 < 0$ .

Lewa strona nierówności jest liczbą dodatnią, a prawa strona jest równa zero. Zatem nierówność jest sprzeczna. Nie posiada rozwiązań.

Przykład 3

Rozwiążemy nierówność kwadratową niezupełnąnierówność kwadratowa niezupełnanierówność kwadratową niezupełną $- 3 x^{2} + 6 x < 0$ .

Wyłączymy $3 x$ przed nawias.

$3 x (- x + 2) < 0$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $f (x) = 3 x (- x + 2)$ .

$3 x (- x + 2) = 0$

$x = 0$ lub $x = 2$

Szkicujemy parabolę, która ma ramiona skierowane „do dołu” i przechodzi na osi $X$ przez punkty o współrzędnej odpowiednio $(0)$ i $(2)$ .

RLCfPei9SHvdQ

Rysunek przedstawia poziomą oś X z zaznaczonymi na niej liczbami: 0; 2. Liczby zaznaczono niezamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do zera wykres znajduje się pod osią, co oznaczono minusami między osią a wykresem. W zerze przechodzi nad oś i biegnie nad nią do dwójki. W dwójce wykres znowu przechodzi pod oś, co podkreślono minusami.

Funkcja przyjmuje wartości ujemne dla $x \in (- \infty, 0) \cup (2, \infty)$ .

Rozwiązaniem nierówności jest $(- \infty, 0) \cup (2, \infty)$ .

Przykład 4

Rozwiążemy nierówność $0 < x^{2} \leq 9$ .

Zapiszemy nierówność w postaci koniunkcji nierówności $x^{2} > 0$ i $x^{2} \leq 9$ .

Korzystając z wykresu funkcji $f (x) = x^{2}$ odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności $x^{2} > 0$ .

RnIVLbi5FM7a7

Rysunek przedstawia poziomą oś X z zaznaczonym na niej za pomocą niezamalowanego kółka zerem. Przez punkt ten poprowadzono wykres wielomianu w kształcie paraboli tak, że wierzchołek pokrywa się z zerem, a ramiona wykresu skierowane są do góry. Po obu stronach ramion fakt, iż wykres znajduje się nad osią, oznaczono plusami.

x \in ℝ ∖ \{0\}

Rozwiążemy teraz nierówność $x^{2} \leq 9$ .

Zapiszemy nierówność w postaci równoważnej.

$(x - 3) (x + 3) \leq 0$

Obliczamy miejsca zerowe funkcji $f (x) = (x - 3) (x + 3)$ .

$x = 3$ lub $x = - 3$

Szkicujemy przybliżony wykres funkcji $f$ .

ReZ0FJPy3H4du

Rysunek przedstawia poziomą oś X z zaznaczonymi na niej liczbami: -3; 3. Liczby zaznaczono zamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do minus trzech wykres znajduje się nad osią. W minus trójce wykres przebija pod oś i biegnie pod nią do trójki, co oznaczono minusami między osią a wykresem. W trójce wykres przechodzi nad oś i biegnie nad nią do plus nieskończoności.

Zbiór rozwiązań nierówności $x^{2} \leq 9$ to $x \in ⟨- 3, 3⟩$ .

$\{\begin{cases} x^{2} > 0 \\ x^{2} \leq 9 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} x \in ℝ ∖ \{0\} \\ x \in ⟨- 3, 3⟩ \end{array} \Leftrightarrow x \in ⟨- 3, 0) \cup (0, 3⟩$

Zbiór rozwiązań podwójnej nierówności tworzą wszystkie liczby $x$ takie, że

$x \in ⟨- 3, 0) \cup (0, 3⟩$ .

Przykład 5

Wyznaczymy sumę i iloczyn całkowitych rozwiązań nierówności

$(5 - x) (5 + x) \geq 0$ i $x (5 - x) > 0$ .

Zajmiemy się najpierw rozwiązaniem nierówności $(5 - x) (5 + x) \geq 0$ .

$x = 5 \lor x = - 5$

R7KbOwQHcwtGa

Rysunek przedstawia poziomą oś X z zaznaczonymi na niej liczbami: -5; 5. Liczby zaznaczono zamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do minus pięciu wykres znajduje się pod osią. W minus piątce wykres przebija nad oś i biegnie nad nią do piątki, co oznaczono plusami między osią a wykresem. W piątce wykres przechodzi pod oś i biegnie pod nią do plus nieskończoności.

x \in ⟨- 5, 5⟩

Zbiór całkowitych rozwiązań nierówności to $\{- 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ .

Rozwiążemy nierówność $x (5 - x) > 0$ .

$x = 0 \lor x = 5$

Rj2YxAwfvgGI6

Rysunek przedstawia poziomą oś X z zaznaczonymi na niej liczbami: 0; 5. Liczby zaznaczono niezamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do zera wykres znajduje się pod osią. W zerze wykres przebija nad oś i biegnie nad nią do piątki, co oznaczono plusami między osią a wykresem. W piątce wykres przechodzi pod oś i biegnie pod nią do plus nieskończoności.

x \in (0, 5)

Całkowite rozwiązania tej nierówności to $\{1, 2, 3, 4\}$ .

Wyznaczymy teraz sumę i iloczyn całkowitych rozwiązań nierówności.

$\{- 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\} \cap \{1, 2, 3, 4\} = \{1, 2, 3, 4\}$

$\{- 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\} \cup \{1, 2, 3, 4\} =$

$= \{- 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ .

Przykład 6

Obliczymy, dla jakich $x$ funkcja $f (x) = 2 x^{2} + 1$ przyjmuje wartości większe od wartości funkcji $g (x) = {(x - 1)}^{2}$ .

Warunki zadania będą spełnione dla $x$ należących do zbioru rozwiązań nierówności $f (x) > g (x)$ .

$2 x^{2} + 1 > {(x - 1)}^{2}$

$2 x^{2} + 1 > x^{2} - 2 x + 1$

$x^{2} + 2 x > 0$

$x (x + 2) > 0$

$x = 0$ lub $x = - 2$

R1RrkCsXhlHkx

Rysunek przedstawia poziomą oś X z zaznaczonymi na niej liczbami: -2; 0. Liczby zaznaczono niezamalowanymi kółkami i poprowadzono przez nie wykres wielomianu tak, że od minus nieskończoności do minus dwóch wykres znajduje się nad osią, co oznaczono plusami. W minus dwójce wykres przebija pod oś i biegnie pod nią do zera. W zerze wykres przebija nad oś, co również oznaczono plusami.

x \in (- \infty, - 2) \cup (0, \infty)

Funkcja $f$ przyjmuje wartości większe od wartości funkcji $g$ dla $x \in (- \infty, - 2) \cup (0, \infty)$ .

Słownik

nierówność kwadratowa

każda nierówność postaci

$a x^{2} + b x + c > 0$ lub $a x^{2} + b x + c \geq 0$ lub $a x^{2} + b x + c < 0$ lub $a x^{2} + b x + c \leq 0$

gdzie:
$a$ , $b$ , $c$ – są ustalonymi liczbami rzeczywistymi i $a \neq 0$

nierówność kwadratowa niezupełna

nierówność, w której współczynniki trójmianu kwadratowego $b$ lub $c$ są równe $0$

Wprowadzenie

Animacja

Słownik