Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Udostępnij materiał Zapisz jako PDF
Przykład 1

W prostokącie o polu równym 56 jeden z boków jest o 10 dłuższy od drugiego. Obliczymy obwód tego prostokąta.
Rozwiązanie
Oznaczmy długość krótszego boku tego prostokąta przez x, gdzie > 0. Wtedy drugi bok tego prostokąta ma długość x+10, a pole tego prostokąta jest równe xx+10. Wiadomo, że pole tego prostokąta jest równe 56. Otrzymujemy więc równanie

xx+10=56.

Przekształcamy to równanie równoważnie

x2+10x=56
x2+10x-56=0.

Szukamy zatem miejsc zerowych funkcji kwadratowej fx=x2+10x-56. Obliczamy wyróżnik tej funkcji Δ=102-41-56=324. Wyróżnik jest dodatni, więc funkcja ta ma dwa miejsca zerowe

x1=-10-32421=-10-182=-14

oraz

x2=-10+32421=-10+182=4.

Warunki zadania spełnia jedynie x=4. Długość drugiego boku tego prostokąta jest równa x+10=14, a obwód prostokąta jest równy 24+14=36.
Uwaga. Można od razu zauważyć, że 44+10=56, wobec tego liczba 4 jest rozwiązaniem równania xx+10=56. Jest to więc miejsce zerowe funkcji kwadratowej fx=x2+10x-56. Wzór tej funkcji można zapisać w postaci iloczynowej, gdzie jednym z czynników jest x-4

fx=x2+10x-56=x2-4x+14x-56=xx-4+14x-4=x-4x+14.
Przykład 2

W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 8, a jedna z przyprostokątnych jest o 2 krótsza od drugiej. Wykażemy, że pole tego trójkąta jest równe 15.
Rozwiązanie
Oznaczmy długość krótszej przyprostokątnej tego trójkąta przez x, gdzie > 0. Wtedy druga przyprostokątna ma długość x+2. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy równanie

x2+x+22=82.

Przekształcamy to równanie równoważnie

x2+x2+4x+4=64
2x2+4x-60=0
x2+2x-30=0.

Szukamy zatem dodatnich miejsc zerowych funkcji kwadratowej fx=x2+2x-30. Obliczamy wyróżnik tej funkcji Δ=22-41-30=124. Ponieważ >0, więc funkcja ta ma dwa miejsca zerowe

x1=-2-12421=-2-2312=-1-31
x2=-2+12421=-2+2312=-1+31.

Warunki zadania spełnia jedynie x=31-1. Wobec tego przyprostokątne tego trójkąta mają długości 31-1 oraz 31+1, a jego pole jest równe 1231-131+1=12312-12=1230=15, co należało wykazać.

Przykład 3

Wyznaczymy współrzędne punktów, w których prosta o równaniu y=2x+9 przecina parabolę o równaniu y=x2+1.
Rozwiązanie
Ponieważ współrzędne szukanych punktów przecięcia spełniają każde z równań y=2x+9 oraz y=x2+1, więc x2+1=2x+9, stąd x2-2x-8=0.
Szukamy zatem miejsc zerowych funkcji kwadratowej y=x2-2x-8. Obliczamy wyróżnik tej funkcji Δ=-22-41-8=36. Funkcja ta ma więc dwa miejsca zerowe
x1=2-3621=2-62=-2 oraz x2=2+3621=2+62=4.
Gdy x=-2, to y=2-2+9=5, a gdy x=4, toy=24+9=17. Wobec tego prosta o równaniu y=2x+9 przecina parabolę o równaniu y=x2+1 w dwóch punktach: jeden ma współrzędne -2,5, a drugi ma współrzędne 4,17.

isA2lPIdwn_d5e184

Równanie kwadratowe. Liczba rozwiązań równania kwadratowego

W przykładach rozwiązanie zadania sprowadzało się do znalezienia rozwiązań równania z niewiadomą x, które przekształcaliśmy do postaci
ax2 + bx + c = 0, gdzie a0.
Każde równanie takiego typu nazywamy równaniem kwadratowym z niewiadomą x.
Ponieważ rozwiązania takiego równania to miejsca zerowe funkcji fx=ax2+bx+c, więc korzystając z omówionych wcześniej własności funkcji kwadratowej możemy podać algorytm, pozwalający ustalić istnienie i liczbę rozwiązań równania kwadratowego w zależności od wartości wyróżnika Δ=b2-4ac.

Liczba rozwiązań równania kwadratowego
Twierdzenie: Liczba rozwiązań równania kwadratowego

Równanie kwadratowe

ax2 + bx + c = 0
  • nie ma rozwiązań rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy  < 0,

  • ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste x0=-b2a wtedy i tylko wtedy, gdy  = 0,

  • ma dwa (różne) rozwiązania rzeczywiste x1=-b-Δ2a oraz x2= -b+Δ2a wtedy i tylko wtedy, gdy > 0.

Warto pamiętać, że przy rozwiązywaniu równań kwadratowych nie zawsze wskazane jest automatyczne stosowanie powyższych wzorów. Bardzo przydatne jest na przykład spostrzeżenie, że iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników tego iloczynu jest równy zero.

Pokażemy na kilku przykładach, jak można rozwiązać równanie kwadratowe.

Przykład 4

Rozwiążemy równanie.

  1. 2x+15x-3=0 
    Można przekształcić to równanie do postaci 10x2-x-3=0 i wyznaczyć jego rozwiązania za pomocą wzorów, ale jest to zupełnie niepotrzebne. Wystarczy przecież zauważyć, że 2x+15x-3=0 wtedy i tylko wtedy, gdy 2x+1=0 lub 5x-3=0, stąd x=-12 lub x=35Indeks dolny .

  2. x2+16=0 
    Zauważamy, że lewa strona równania jest sumą liczby nieujemnej x2 oraz liczby 16, a więc jest dodatnia. Zatem równanie x2+16=0 nie ma rozwiązań rzeczywistych.

  3. 4x+72=112 
    Aby wyznaczyć wszystkie rozwiązania, przekształcimy równanie, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów

4x+72=112
4x+72-112=0

4x+7-114x+7+11=04x-44x+18=0stąd x=1 lub x=-92.

  1. 6x2=19x 
    x6x-19=0 Przekształcając to równanie do postaci x6x+19=0, stwierdzamy, że ma ono dwa rozwiązania 0-196.

Przykład 5

Rozwiążemy równanie
x2+10x-11=0

  • sposób I

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego zapisanego po lewej stronie równania: Δ=102-41-11=144. Ponieważ Δ>0, więc równanie ma dwa rozwiązania
x1=-10-14421=-11 oraz x2=-10+14421=1.

  • sposób II

Można zauważyć, że 1 jest rozwiązaniem danego równania, gdyż 12+101-11=0.
Zatem trójmian x2+10x-11 możemy zapisać w postaci iloczynowej, gdzie jednym z czynników jest x-1:
x2+10x-11=x2-x+11x-11=xx-1+11x-1=x-1x+11.
Wobec tego równanie ma dwa rozwiązania x1=1 oraz x2=-11.

Przykład 6

Rozwiążemy równanie
2x2+9x+7=0

  • sposób I

Obliczamy wyróżnik trójmianu 2x2+9x+7

Δ=92-427=25.

Ponieważ Δ>0, więc równanie ma dwa rozwiązania
x1=-9-2522=-72 oraz x2=-9+2522=-1.

  • sposób II

Zauważmy, że 1 jest rozwiązaniem równania 2-12+9-1+7=2-9+7=0. Wobec tego trójmian 2x2+9x+7 można zapisać w postaci iloczynowej, gdzie jednym z czynników jest x+1

2x2+9x+7=2x2+2x+7x+7=2xx+1+7x+1=2x+7x+1.

Zatem równanie ma dwa rozwiązania x1=-1 oraz x2=-72.

Przykład 7

Rozwiążemy równanie
3x2+4x+5=345

  • sposób I

Przekształcamy równanie do postaci 3x2+4x-340=0. Następnie obliczamy wyróżnik trójmianu 3x2+4x-340

Δ=42-43-340=4096.

Ponieważ Δ>0, więc równanie ma dwa rozwiązania
x1=-4-409623=-343 oraz x2=-4+409623=10.

  • sposób II

Zauważamy, że 10 jest rozwiązaniem równania 3102+410+5=345. Zatem trójmian 3x2+4x-340 można zapisać w postaci iloczynowej, gdzie jednym z czynników jest x-10

3x2+4x-340=3x2-30x+34x-340=3xx-10+34x-10=3x+34x-10

Oznacza to, że równanie ma dwa rozwiązania x1=10 oraz x2=-343.

Przykład 8

Rozwiążemy równanie
25x2-90x+81=0

  • sposób I

Obliczamy wyróżnik trójmianu 25x2-90x+81

Δ=-902-42581=0

Ponieważ Δ=0, więc równanie ma jedno rozwiązanie

x0=90225=95
  • sposób II

Zauważmy, że trójmian 25x2-90x+81 można przekształcić do postaci 5x2-25x9+92=5x-92. Zatem równanie ma jedno rozwiązanie x0=95.

Przykład 9

Wykażemy, że równanie 3x2-4x+2=0 nie ma rozwiązań rzeczywistych.
Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego 3x2-4x+2

Δ=-42-432=16-24=-8<0.

Oznacza to, że równanie 3x2-4x+2=0 nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Przykład 10

Uzasadnimy, że żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania 2x2+3x-4=0.
Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego 2x2+3x-4

Δ=32-42-4=41.

Rozwiązaniami danego równania są więc
x1=-3-414 oraz x2=-3+414.
Ponieważ 41 nie jest liczbą wymierną, więc żadna z liczb x1, x2 nie jest liczbą wymierną.
Wobec tego żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania 2x2+3x-4=0.
Uwaga. Ponieważ liczba 41 jest niewymierna, więc każdy z pierwiastków danego równania jest liczbą niewymierną.

Przykład 11

Ustalimy liczbę rozwiązań równania x2-2x+c=0 w zależności od wartości współczynnika c.
Wyróżnik trójmianu x2-2x+c jest równy Δ=-22-41c=4-4c. Zatem dane równanie:

  • ma dwa różne rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy 4-4c>0, czyli dla c<1,

  • ma jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy 4-4c=0, czyli dla c=1,

  • nie ma rozwiązań rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy 4-4c<0, czyli dla c>1.

Uwaga. Można też równanie przekształcić następująco

x2-2x=-c
x2-2x+1=-c+1
x-12=1-c.

Wystarczy teraz zauważyć, że lewa strona otrzymanego równania jest nieujemna, zatem równanie nie ma rozwiązań, gdy 1-c<0, czyli gdy c>1.
Jeśli natomiast c=1, to otrzymujemy równanie x-12=0, które ma jedno rozwiązanie, x=1.
Pozostaje wyznaczyć rozwiązania równania, gdy c<1. Wtedy jego lewa strona jest dodatnia, więc równanie można zapisać w postaci

x-12=1-c2

stąd

x-12-1-c2=0
x-1-1-cx-1+1-c=0.

Zatem, gdy c<1, równanie ma dwa rozwiązania x1=1+1-c oraz x2=1-1-c.

isA2lPIdwn_d5e476
classicmobile
Ćwiczenie 1

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1NMqoEefkJ5v
static
classicmobile
Ćwiczenie 2

Liczby x1x2 są rozwiązaniami równania -3x+2x-7=0. Wówczas

R1MamtVVIlREI
static
classicmobile
Ćwiczenie 3

Liczby x1x2 są rozwiązaniami równania 2x+5x-1=2x+53-xx1<x2. Wówczas

R1DgAvrCO1fmY
static
classicmobile
Ćwiczenie 4

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RkiUr7pXo5Tub
static
classicmobile
Ćwiczenie 5

Liczby x1x2 są rozwiązaniami równania x2-8x+5=0x1<x2. Wówczas

ROwhOKAFoi6ox
static
classicmobile
Ćwiczenie 6

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1KmVqoGkT4AG
static
classicmobile
Ćwiczenie 7

Większą z dwóch liczb spełniających równanie -2x+1x+4=0 jest

RA88AC0GeJjEj
static
isA2lPIdwn_d5e855
classicmobile
Ćwiczenie 8

Liczby x1 oraz x2 są rozwiązaniami równania 4x-2x+5=0. Suma x1+x2 jest równa

RJmRYHnuL8H5y
static
classicmobile
Ćwiczenie 9

Równanie -x+32=-22

RxzptYFkCrbkt
static
classicmobile
Ćwiczenie 10

Rozwiązaniami równania x-52x+9=x5-x są liczby

R16THxLymMQ1G
static
classicmobile
Ćwiczenie 11

Liczby x1 oraz x2 są różnymi rozwiązaniami równania x2+10x-24=0. Suma x12+x22 jest równa

R18T6K2dCNreI
static
classicmobile
Ćwiczenie 12

Wskaż równanie, które nie ma rozwiązań rzeczywistych.

R17eaQzwPco5p
static
classicmobile
Ćwiczenie 13

Liczby x1 oraz x2 są rozwiązaniami równania 5x2+4x-1=0x1<x2. Oblicz 3x1+10x2.

R4fOXuZ0RVZWh
static
isA2lPIdwn_d5e1154
classicmobile
Ćwiczenie 14

Liczby x1 oraz x2 są różnymi rozwiązaniami równania 10x2+3x-1=0. Suma 1x1+1x2 jest równa

Rxb7TQiFGBjhA
static
A
Ćwiczenie 15

Rozwiąż równanie.

  1. x+5x-6=0

  2. 2x-33x+7=0

  3. 4x-12-x=0

  4. 8-2x9x+11=0

A
Ćwiczenie 16

Rozwiąż równanie.

  1. 3x2-108=0

  2. x2+2=0

  3. -4x2+49=0

  4. -2x2-50=0

A
Ćwiczenie 17

Rozwiąż równanie.

  1. x2-4x+4=0

  2. x2-4x=0

  3. 9x2+12x+4=0

  4. 12x-9x2=0

A
Ćwiczenie 18

Rozwiąż równanie.

  1. x2+2x-35=0

  2. x2+6x+11=0

  3. 4x2-11x-15=0

  4. 3x2+5x-28=0

A
Ćwiczenie 19

Rozwiąż równanie.

  1. x2+4x+7=0

  2. x2-6x+1=0

  3. x2-8x+9=0

  4. x2+25x+3=0

A
Ćwiczenie 20

Rozwiąż równanie.

  1. 2x2+15x=17

  2. 3x2+7x=370

  3. x-52=3x-15

  4. 2x-72=28-8x

A
Ćwiczenie 21

Kwadrat liczby x jest 8 razy większy od liczby x-2. Oblicz x.

A
Ćwiczenie 22

Jeżeli dodatnią liczbę x pomnożymy przez liczbę o 5 większą od połowy liczby x, to w wyniku otrzymamy 168. Jaka to liczba?

A
Ćwiczenie 23

Dwie ujemne liczby całkowite różnią się o 5, a suma ich kwadratów jest równa 193. Znajdź te liczby.

A
Ćwiczenie 24

Suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych dodatnich jest równa 245. Znajdź te liczby.

isA2lPIdwn_d5e1501
A
Ćwiczenie 25

Wyznacz współrzędne punktów wspólnych prostej o równaniu y=x+2 oraz paraboli o równaniu y=2x2+x.

A
Ćwiczenie 26

Wyznacz wszystkie punkty wspólne wykresów funkcji fx=x2-3x oraz gx=2x2-4.

A
Ćwiczenie 27

W prostokącie A jeden z boków jest dwa razy dłuższy od drugiego. Gdyby skrócić krótszy bok tego prostokąta o 1 i jednocześnie przedłużyć dłuższy bok o 2, to otrzymalibyśmy prostokąt B o polu równym 16. Wyznacz wymiary prostokąta A.

A
Ćwiczenie 28

W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 17, a jedna z przyprostokątnych jest o 7 dłuższa od drugiej. Oblicz długości przyprostokątnych tego trójkąta.

A
Ćwiczenie 29

Każdy z dwóch prostokątów ma przekątną długości 25. Krótszy bok pierwszego prostokąta jest o 8 dłuższy od krótszego boku drugiego prostokąta, a dłuższy bok pierwszego prostokąta jest o 4 krótszy od dłuższego boku drugiego prostokąta. Oblicz wymiary każdego z tych prostokątów.

A
Ćwiczenie 30

Wyznacz wszystkie wartości b, dla których liczba b jest rozwiązaniem równania x2-b+2x+10=0. Dla otrzymanej wartości b wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania.

A
Ćwiczenie 31

Wyznacz wszystkie wartości c, dla których liczba c jest rozwiązaniem równania x2-10x+3c=0. Dla otrzymanej wartości c wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania.

A
Ćwiczenie 32

Wyznacz wszystkie dodatnie wartości b, dla których równanie x2+2bx+b=0 ma dokładnie jedno rozwiązanie. Dla otrzymanej wartości b wyznacz to rozwiązanie.

A
Ćwiczenie 33

Wykaż, że dla każdej wartości m równanie x2-m+3x+2m+1=0 ma co najmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste.

A
Ćwiczenie 34

Wykaż, że dla każdej dodatniej wartości całkowitej k równanie x2-7kx+10k2=0 ma dwa różne rozwiązania całkowite.