Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1NXSBNxYUs0P1

Ćwiczenie 1

Jeżeli $\sin x > \frac{1}{3}$ i $\cos x > \frac{1}{4}$ , to:

$\sin 2 x > \frac{1}{6}$
$\sin 2 x > \frac{1}{12}$
$\sin 2 x > \frac{1}{8}$
$\sin 2 x > \frac{1}{7}$

R1bCuKC2j6dpA1

Ćwiczenie 2

Zbiorem rozwiązań równania $\sqrt{\sin x} = \sqrt{- \cos x}$ jest:

$"{"\frac{3 π}{4} + 2 k π, k \in ℤ"}"$
$"{"\frac{π}{4} + 2 k π, k \in ℤ"}"$
$"{"\frac{7 π}{4} + 2 k π, k \in ℤ"}"$
$"{"\frac{5 π}{4} + 2 k π, k \in ℤ"}"$

R3kL1Tn7tLxRa2

Ćwiczenie 3

Wskaż nierówności, których rozwiązaniem jest zbiór liczb rzeczywistych.

$\sin x + \cos x \geq \sin^{2} x + \cos^{2} x$
$\sin x + \cos x \leq \sin^{2} x + \cos^{2} x$
$\sin^{4} x + \cos^{4} x \leq \sin^{2} x + \cos^{2} x$
$\sin^{4} x + \cos^{4} x \geq \sin^{2} x + \cos^{2} x$
$\sin^{3} x + \cos^{3} x \leq \sin^{5} x + \cos^{5} x$
$\sin^{3} x + \cos^{3} x \geq \sin^{5} x + \cos^{5} x$

R1EXsBrhodI982

Ćwiczenie 4

Wskaż funkcje, których dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych.

$f (x) = \sqrt{\cos^{2} x - 3 \cos x + 2}$
$f (x) = \frac{1}{\sqrt{\cos^{2} x - 3 \cos x + 2}}$
$f (x) = \sqrt{\sin^{2} x - 5 \cos x + 6}$
$f (x) = \frac{1}{\sqrt{\sin^{2} x - 5 \cos x + 6}}$

R6UIVw3FxEx1b2

Ćwiczenie 5

Podziel nierówności na grupy ze względu zbiór rozwiązań. Rozwiązaniem jest

ℝ

. Możliwe odpowiedzi: 1.

\sin x + \cos x \geq - x^{2} - 3 x + \frac{9}{4}

, 2.

\sin x + \cos x < x^{2} + x + 1

, 3.

\sin x + \cos x > - x^{2} - 2

, 4.

\sin x + \cos x \geq - x^{2} - \sqrt{2}

, 5.

\sin x + \cos x \leq 2 x^{2} + \sqrt{3}

, 6.

\sin x + \cos x < x^{2} + x + 2

Rozwiązaniem nie jest

ℝ

. Możliwe odpowiedzi: 1.

\sin x + \cos x \geq - x^{2} - 3 x + \frac{9}{4}

, 2.

\sin x + \cos x < x^{2} + x + 1

, 3.

\sin x + \cos x > - x^{2} - 2

, 4.

\sin x + \cos x \geq - x^{2} - \sqrt{2}

, 5.

\sin x + \cos x \leq 2 x^{2} + \sqrt{3}

, 6.

\sin x + \cos x < x^{2} + x + 2

Podziel nierówności na grupy ze względu zbiór rozwiązań.

Rozwiązaniem jest $ℝ$ .
Rozwiązaniem nie jest $ℝ$ .

R14TYCF4jBLAC2

Ćwiczenie 6

Załóżmy, że $\cos α + \cos β = 0, 3$ i $\sin α + \sin β = - 1, 1$ . Wówczas wyrażenie $tg \frac{α + β}{2}$ ma wartość:

$- \frac{11}{3}$
$- \frac{3}{11}$
$\frac{3}{11}$
$\frac{11}{3}$

Ćwiczenie 7

Uzasadnij, że nierówność $\cos (α - 9 °) \cdot \cos (α - 45 °) > \sin (α + 40 °) \cdot \cos (α - 4 °)$ jest prawdziwa dla każdej wartości $α$ .

Skorzystajmy ze wzoru na iloczyn sinusa i cosinusa pewnych kątów:

$\frac{1}{2} (\cos (α - 9 ° + α - 45 °) + \cos (α - 9 ° - α + 45 °)) >$

$> \frac{1}{2} (\sin (α + 40 ° + α - 4 °) + \sin 44 °)$ .

$\cos (2 α - 54 °) + \cos 36 ° > \sin (2 α + 36 °) + \sin 44 °$

$\cos (2 α - 90 ° + 36 °) + \sin 54 ° > \sin (2 α + 36 °) + \sin 44 °$

$\sin (2 α + 36 °) + \sin 54 ° > \sin (2 α + 36 °) + \sin 44 °$

$\sin 54 ° > \sin 44 °$

Ćwiczenie 8

Rozwiąż w liczbach rzeczywistych układ równań: $\{\begin{cases} 2 \sin x + \frac{1}{\cos y} = 2 \\ \frac{\sin x}{\cos y} = 0, 5 \end{cases}$ .

Zapiszmy założenia: $y \neq \frac{π}{2} + π k$ , $k \in ℤ$ .

Przekształcamy kolejno układ:

$\{\begin{cases} 2 \sin x \cdot \cos y + 1 = 2 \cos y \\ 2 \sin x = \cos y \end{cases}$

$\{\begin{cases} \cos^{2} y - 2 \cos y + 1 = 0 \\ 2 \sin x = \cos y \end{cases}$

$\{\begin{cases} {(\cos y - 1)}^{2} = 0 \\ 2 \sin x = \cos y \end{cases}$

$\{\begin{cases} \cos y = 1 \\ 2 \sin x = 1 \end{cases}$

$\{\begin{cases} \cos y = 1 \\ \sin x = \frac{1}{2} \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 2 π k \\ x = \frac{π}{6} + 2 π n \end{cases}$ lub $\{\begin{cases} y = 2 π k \\ x = \frac{5 π}{6} + 2 π n \end{cases}$ , gdzie $k$ , $n \in ℤ$ .

Infografika

Dla nauczyciela