Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Zaznacz poprawną odpowiedź.

R1FDlbWVf8fQN

Objętość kuli o średnicy długości $\frac{1}{3}$ wynosi:

$\frac{π}{162}$
$\frac{4 π}{81}$
$\frac{π}{216}$

Ćwiczenie 2

R16Qcr3DCLobA

Wstaw w tekst odpowiednie liczby. Jeżeli kulę wpisano w sześcian o krawędzi długości

6

, to:

promień kuli jest równy 1. $6$ , 2. $2 \sqrt{3}$ , 3. $288 π$ , 4. $36 π$ , 5. $3$ , 6. $32 π \sqrt{3}$ ,
objętość kuli wynosi 1. $6$ , 2. $2 \sqrt{3}$ , 3. $288 π$ , 4. $36 π$ , 5. $3$ , 6. $32 π \sqrt{3}$ .

Jeżeli kulę opisano na sześcianie o krawędzi długości

4

, to:

promień kuli jest równy 1. $6$ , 2. $2 \sqrt{3}$ , 3. $288 π$ , 4. $36 π$ , 5. $3$ , 6. $32 π \sqrt{3}$ ,
objętość kuli wynosi 1. $6$ , 2. $2 \sqrt{3}$ , 3. $288 π$ , 4. $36 π$ , 5. $3$ , 6. $32 π \sqrt{3}$ .

Wstaw w tekst odpowiednie liczby.

$288 π$ , $32 π \sqrt{3}$ , $6$ , $36 π$ , $3$ , $2 \sqrt{3}$

Jeżeli kulę wpisano w sześcian o krawędzi długości $6$ , to:
- promień kuli jest równy ............,
- objętość kuli wynosi .............
Jeżeli kulę opisano na sześcianie o krawędzi długości $4$ , to:
- promień kuli jest równy ............,
- objętość kuli wynosi .............

Ćwiczenie 3

RzRMJVwV9yiWH

Zaznacz zdania, które są prawdziwe.

Promień kuli o objętości $27 π$ ma długość $\sqrt[3]{\frac{81}{4}}$ .
Objętość kuli o promieniu długości $\frac{\sqrt{2}}{2}$ wynosi $\frac{π}{3}$ .
Promień kuli o objętości $\frac{1}{3} π$ ma długość $\sqrt[3]{4}$ .
Objętość kuli o promieniu długości $2 \sqrt{3}$ wynosi $32 \sqrt{3} π$ .

Ćwiczenie 4

R16hdilcc5lRG

Połącz w pary długość promienia $R$ kuli z odpowiadającą mu objętością $V$ .

$R = \sqrt{3}$
$R = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$R = \frac{1}{3}$
$R = 3$

Ćwiczenie 5

RYuPQ7dsxgExr

Pogrupuj elementy, zgodnie z podanym opisem. Kula o promieniu równym promieniowi koła o polu

24 π

: Możliwe odpowiedzi: 1. ma promień równy

3 \sqrt{3}

, 2. ma objętość równą

64 π \sqrt{6}

, 3. ma objętość równą

108 π \sqrt{3}

, 4. ma pole powierzchni równe

108 π

, 5. ma pole powierzchni równe

24 π

, 6. ma promień równy

2 \sqrt{6}

Kula o promieniu równym promieniowi koła o obwodzie

6 π \sqrt{3}

Możliwe odpowiedzi: 1. ma promień równy

3 \sqrt{3}

, 2. ma objętość równą

64 π \sqrt{6}

, 3. ma objętość równą

108 π \sqrt{3}

, 4. ma pole powierzchni równe

108 π

, 5. ma pole powierzchni równe

24 π

, 6. ma promień równy

2 \sqrt{6}

Pogrupuj elementy, zgodnie z podanym opisem.

ma pole powierzchni równe <math><mn>96</mn><mi>π</mi></math>, ma objętość równą <math><mn>108</mn><mi>π</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt></math>, ma pole powierzchni równe <math><mn>108</mn><mi>π</mi></math>, ma promień równy <math><mn>3</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt></math>, ma promień równy <math><mn>2</mn><msqrt><mn>6</mn></msqrt></math>, ma objętość równą <math><mn>64</mn><mi>π</mi><msqrt><mn>6</mn></msqrt></math>

Kula o promieniu równym promieniowi koła o polu $24 π$ :
Kula o promieniu równym promieniowi koła o obwodzie $6 π \sqrt{3}$

Ćwiczenie 6

Pewną kulę przecięto płaszczyzną. Otrzymany przekrój jest kołem o promieniu długości $3 \sqrt{2}$ i środku oddalonym od środka kuli o $4$ . Wyznacz objętość tej kuli.

Narysujmy rysunek pomocniczy do zadania i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

R1ZqPGH29Yb4j

Ilustracja przedstawia kulę przeciętą dwoma płaszczyznami. Pierwsza przechodzi przez oś symetrii kuli, druga natomiast jest równoległa do pierwszej i oddalona od niej o długość d. Odcinek d wychodzący ze środka kuli, łączy obie płaszczyzny w ich środkach i jest prostopadły do promienia mniejszej płaszczyzny. Oba odcinki zostały połączone odcinkiem R i w ten sposób utworzony został trójkąt prostokątny o przyprostokątnych d i r oraz przeciwprostokątnej R.

Z warunków podanych w zadaniu mamy, że $r = 3 \sqrt{2}$ oraz $d = 4$ .

Do wyznaczenia długości promienia $R$ rozpatrywanej kuli zastosujemy twierdzenie Pitagorasa.

Zatem:

$R^{2} = r^{2} + d^{2}$

$R^{2} = {(3 \sqrt{2})}^{2} + 4^{2}$

$R^{2} = 34$ , czyli $R = \sqrt{34}$ .

Zatem objętość tej kuli wynosi:

$V = \frac{4}{3} \cdot π \cdot {(\sqrt{34})}^{3} = \frac{136}{3} π \sqrt{34}$ .

Ćwiczenie 7

Wiadomo, że objętość kuli wynosi $V$ . Wyznacz pole powierzchni tej kuli.

Niech $R$ będzie długością promienia kuli.

Zatem objętość kuli wyraża się wzorem:

$V = \frac{4}{3} π R^{3}$ .

Po przekształceniu tego wzoru promień kuli wyraża się wzorem:

$R = \sqrt[3]{\frac{3 V}{4 π}}$ .

Zatem pole powierzchni tej kuli wynosi:

$P = 4 \cdot π \cdot R^{2} = 4 \cdot π \cdot {(\sqrt[3]{\frac{3 V}{4 π}})}^{2}$ .

Ćwiczenie 8

Dwie miedziane kule o promieniach $R_{1} = 4$ oraz $R_{2} = 3$ przetopiono w jedną kulę. Oblicz promień powstałej kuli.

Jeżeli $R_{1} = 4$ , to objętość tej kuli wynosi:

$V_{1} = \frac{4}{3} \cdot π \cdot 4^{3} = \frac{4}{3} \cdot π \cdot 64 = \frac{256}{3} π$ .

Jeżeli $R_{2} = 3$ , to objętość tej kuli wynosi:

$V_{2} = \frac{4}{3} \cdot π \cdot 3^{3} = \frac{4}{3} \cdot π \cdot 27 = 36 π$ .

Zatem objętość kuli powstałej po przetopieniu dwóch kul wynosi:

$V = \frac{256}{3} π + 36 π = \frac{364}{3} π$ .

Jeżeli $R$ będzie długością promienia powstałej kuli, to korzystając ze wzoru na objętość kuli, rozwiązujemy równanie:

$\frac{364}{3} π = \frac{4}{3} {π R}^{3}$

$R^{3} = 91$ , czyli $R = \sqrt[3]{91}$ .

Galeria zdjęć interaktywnych

Dla nauczyciela