Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R13pAkCgsSDsm1

Ćwiczenie 1

R1ABOn7ddhWv01

Ćwiczenie 2

Zaznacz poprawną odpowiedź. Jedno z rozwiązań równania ${(x - 1)}^{2} + {(x + 1)}^{2} = y^{2}$ z niewiadomymi $x$ , $y$ to:

$x = 3$ , $y = 2$
$x = 2$ , $y = 3$
$x = 1$ , $y = 2$
$x = 2$ , $y = 1$

RTeFpNofd4Gbg2

Ćwiczenie 3

RmhNPwphgm1Py21

Ćwiczenie 4

Dostępne opcje do wyboru:

16 k^{2} + 16 k + 4

4 k^{2} + 16 k

36 k^{2} + 48 k + 17

36 k^{2} + 24 k + 5

4 k + 1

4 k + 3

3 k + 2

4 k^{2} + 8 k + 4

16 k + 8 k + 4

. Polecenie: Jeżeli

p

jest liczbą pierwszą większą od

3

, to liczba

K = 4 p^{2} + 1

jest sumą kwadratów trzech liczb naturalnych.
Uzupełnij dowód powyższego twierdzenia, przeciągając odpowiednie wyrażenia. Rozważymy dwa przypadki, pamiętając, że liczba

p

musi być liczbą nieparzystą.
– Liczba

p

w dzieleniu przez

3

daje resztę

1

, czyli można ją zapisać w postaci

p = 3 k + 1

, gdzie

k

jest liczbą naturalną dodatnią.
Wtedy:

K = 4 p^{2} + 1

K = 4 {(3 k + 1)}^{2} + 1 =

luka do uzupełnienia

K = 16 k^{2} + 16 k^{2} +

luka do uzupełnienia

+ 8 k + 4 + 1

K = (

luka do uzupełnienia

) + (16 k^{2} + 8 k + 1) + (4 k^{2})

K = {(4 k + 2)}^{2} + (

luka do uzupełnienia

)^{2} + {(2 k)}^{2}

Liczba

k

jest naturalna, zatem każda z liczb

4 k + 2

4 k + 1

2 k

jest liczbą naturalną.

– Liczba

p

w dzieleniu przez

3

daje resztę

2

, czyli można ją zapisać w postaci

p =

luka do uzupełnienia , gdzie

k

jest liczbą naturalną dodatnią.
Wtedy:

K = 4 p^{2} + 2

K = 4 {(3 k + 2)}^{2} + 1 =

luka do uzupełnienia

K = 16 k^{2} + 16 k^{2} + 4 k^{2} + 24 k +

luka do uzupełnienia

+ 9 + 4

K = (16 k^{2} + 24 k + 9) + (16 k^{2} + 16 k + 4) + (

luka do uzupełnienia

)

K = (

luka do uzupełnienia

)^{2} + {(4 k + 2)}^{2} + {(2 k + 2)}^{2}

Liczba

k

jest naturalna, zatem każda z liczb

4 k + 3

4 k + 2

2 k + 2

jest liczbą naturalną.

RDZTYFfO4pVLu2

Ćwiczenie 5

Połącz w pary równe wyrażenia.

${(a^{2} - a + 1)}^{2} + 8 a + 1$
$1 - {(11 + 4 a)}^{2}$
${(2 a^{2})}^{2} - {(2 a^{2} - 1)}^{2}$
${(2 a + 1)}^{2} - 2 a$

RaWJbnnV6odlH21

Ćwiczenie 6

Zaznacz, która równość jest prawdziwa, a która fałszywa.

Równość	Prawda	Fałsz
${(x + y)}^{2} - {(x - y)}^{2} = - 4 x y$	□	□
${(x - y)}^{2} + {(x + y)}^{2} = 2 y^{2} + 2 x^{2}$	□	□
${(x + y)}^{2} - {(y - x)}^{2} = 4 x y$	□	□
$- {(x - y)}^{2} - {(x + y)}^{2} = - 2 x^{2} - 2 y^{2}$	□	□

Ćwiczenie 7

Rozwiąż w liczbach naturalnych równanie $x^{2} + y^{2} = z^{2}$ , gdzie $x$ , $y$ , $z$ (w tej kolejności), to kolejne liczby naturalne.

Równanie $x^{2} + y^{2} = z^{2}$ jest równoważne równaniu $x^{2} + {(x + 1)}^{2} = {(x + 2)}^{2}$ .

$x^{2} + {(x + 1)}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

$x^{2} + x^{2} + 2 x + 1 = x^{2} + 4 x + 4$

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$

$(x + 1) (x - 3) = 0$

$x = - 1 < 0$ – nie spełnia warunków zadania

$x = 3 \Rightarrow y = 4$ , $z = 5$

Równanie ma jedno rozwiązanie: $x = 3$ , $y = 4$ , $z = 5$ .

Ćwiczenie 8

Wykaż, że równanie $x^{2} + {(x + 1)}^{2} + {(x + 2)}^{2} + {(x + 3)}^{2} + {(x + 4)}^{2} = y^{2}$ nie ma rozwiązań w zbiorze liczb całkowitych.

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy.

$x^{2} + x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} + 4 x + 4 + x^{2} + 6 x + 9 + x^{2} + 8 x + 16 = y^{2}$

$5 x^{2} + 20 x + 30 = y^{2}$

$5 (x^{2} + 4 x + 6) = y^{2}$

Lewa strona równania jest podzielna przez $5$ , zatem i prawa strona musi być podzielna przez $5$ .

Zatem $y = 5 a$ , gdzie $a$ jest pewną liczbą całkowitą.

$5 (x^{2} + 4 x + 6) = 25 a^{2} | : 5$

$x^{2} + 4 x + 6 = 5 a^{2}$

${(x + 2)}^{2} + 2 = 5 a^{2}$

$5 a^{2} - {(x + 2)}^{2} = 2$

Kwadrat liczby całkowitej w dzieleniu przez $5$ nigdy nie daje reszty $(2)$ , zatem prawa strona równania nie równa się lewej – równanie nie ma rozwiązania, co należało wykazać.

Animacja

Dla nauczyciela