Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał
1
Pokaż ćwiczenia:
R13pAkCgsSDsm1
Ćwiczenie 1
Zaznacz poprawną odpowiedź. Liczba 122+112+102+92+8252+62+72+82+92 jest równa: Możliwe odpowiedzi: 1. 125, 2. 3318, 3. 2, 4. 1
R1ABOn7ddhWv01
Ćwiczenie 2
Zaznacz poprawną odpowiedź. Jedno z rozwiązań równania x-12+x+12=y2 z niewiadomymi x, y to: Możliwe odpowiedzi: 1. x=3, y=2, 2. x=2, y=3, 3. x=1, y=2, 4. x=2, y=1
RTeFpNofd4Gbg2
Ćwiczenie 3
Uzupełnij rozkład każdego z danych wielomianów na sumę kwadratów dwóch wyrażeń. Wpisz odpowiednie liczby. x4+x2+1=(x2- Tu uzupełnij )2+3x2 x4+9x2+25=(x2- Tu uzupełnij )2+19x2 x4+7x2-4x+13=(x2+ Tu uzupełnij )2+x-22
RmhNPwphgm1Py21
Ćwiczenie 4
Dostępne opcje do wyboru: . Polecenie: Jeżeli p jest liczbą pierwszą większą od 3, to liczba K=4p2+1 jest sumą kwadratów trzech liczb naturalnych.
Uzupełnij dowód powyższego twierdzenia, przeciągając odpowiednie wyrażenia. Rozważymy dwa przypadki, pamiętając, że liczba p musi być liczbą nieparzystą.

– Liczba p w dzieleniu przez 3 daje resztę 1, czyli można ją zapisać w postaci p=3k+1, gdzie k jest liczbą naturalną dodatnią.
Wtedy
K=4p^2+1
K=4〖(3k+1)〗^2+1=36k^2+24k+5
K=16k^2+16k^2+4k^2+16k+8k+4+1
K=(16k^2+16k+4)+(16k^2+8k+1)+(4k^2 )
K=(4k+2)^2+(4k+1)^2+(2k)^2
Liczba k jest naturalna, zatem każda z liczb 4k+2,4k+1,2k jest liczbą naturalną.

– Liczba p w dzieleniu przez 3 daje resztę 2, czyli można ją zapisać w postaci p=3k+2, gdzie k jest liczbą naturalną dodatnią.
Wtedy

K=4p^2+2
K=4〖(3k+2)〗^2+1=36k^2+48k+17
K=16k^2+16k^2+4k^2+24k+16k+8k+4+9+4
K=(16k^2+24k+9)+(16k^2+16k+4)+(4k^2+8k+4)
K=(4k+3)^2+(4k+2)^2+(2k+2)^2
Liczba k jest naturalna, zatem każda z liczb 4k+3,4k+2,2k+2 jest liczbą naturalną.
RDZTYFfO4pVLu2
Ćwiczenie 5
Połącz w pary równe wyrażenia. a2-a+12+8a+2 Możliwe odpowiedzi: 1. 3a+72-5a+132, 2. 2a2-1, 3. a+12+3a2, 4. 2a+12+a2-a-12 1-11+4a2 Możliwe odpowiedzi: 1. 3a+72-5a+132, 2. 2a2-1, 3. a+12+3a2, 4. 2a+12+a2-a-12 2a22-2a2-12 Możliwe odpowiedzi: 1. 3a+72-5a+132, 2. 2a2-1, 3. a+12+3a2, 4. 2a+12+a2-a-12 2a+12-2a Możliwe odpowiedzi: 1. 3a+72-5a+132, 2. 2a2-1, 3. a+12+3a2, 4. 2a+12+a2-a-12
RaWJbnnV6odlH21
Ćwiczenie 6
Łączenie par. Zaznacz, która równość jest prawdziwa, a która fałszywa.. x+y2-x-y2=-4xy. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. x-y2+x+y2=2y2+2x2. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. x+y2-y-x2=4xy. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. -x-y2-x+y2=-2x2-2y2. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz
3
Ćwiczenie 7

Rozwiąż w liczbach naturalnych równanie x2+y2=z2, gdzie x, y, z (w tej kolejności), to kolejne liczby naturalne.

3
Ćwiczenie 8

Wykaż, że równanie x2+x+12+x+22+x+32+x+42=y2 nie ma rozwiązań w zbiorze liczb całkowitych.