Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Zapoznaj się z rysunkiem prostopadłościanu i rozwiąż poniższe zadanie.

RxstMC1sANEb0

Grafika przedstawia prostopadłościan. Podstawa prostopadłościanu to prostokąt, którego boki są podpisane literami a oraz b. Krawędź boczna prostopadłościanu jest podpisana literą c. Przekątna podstawy jest podpisana literą p i ma kolor zielony. Przekątna prostopadłościanu jest podpisana literą d i ma kolor różowy.

R1Bhgnf4q96wu

Dopasuj w pary wielkość związaną z prostopadłościanem, której użyjesz rozwiązując zadanie do podanego kontekstu praktycznego. Najdłuższy kij włożony do pudła Możliwe odpowiedzi: 1. Długość przekątnej graniastosłupa

d = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}

, 2. Objętość

V = a b c

, 3. Pole powierzchni bocznej

P = 2 (a c + b c)

, 4. Pole powierzchni całkowitej

P = 2 (a b + a c + b c)

, 5. Długość przekątnej podstawy graniastosłupa

p = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

Ilość farby potrzebnej do pomalowania ścian w pokoju Możliwe odpowiedzi: 1. Długość przekątnej graniastosłupa

d = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}

, 2. Objętość

V = a b c

, 3. Pole powierzchni bocznej

P = 2 (a c + b c)

, 4. Pole powierzchni całkowitej

P = 2 (a b + a c + b c)

, 5. Długość przekątnej podstawy graniastosłupa

p = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

Ilość powietrza w pomieszczeniu Możliwe odpowiedzi: 1. Długość przekątnej graniastosłupa

d = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}

, 2. Objętość

V = a b c

, 3. Pole powierzchni bocznej

P = 2 (a c + b c)

, 4. Pole powierzchni całkowitej

P = 2 (a b + a c + b c)

, 5. Długość przekątnej podstawy graniastosłupa

p = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

Ilość papieru ozdobnego potrzebnego do opakowania pudełka z prezentem Możliwe odpowiedzi: 1. Długość przekątnej graniastosłupa

d = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}

, 2. Objętość

V = a b c

, 3. Pole powierzchni bocznej

P = 2 (a c + b c)

, 4. Pole powierzchni całkowitej

P = 2 (a b + a c + b c)

, 5. Długość przekątnej podstawy graniastosłupa

p = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

Najdłuższy pręt leżący na podłodze Możliwe odpowiedzi: 1. Długość przekątnej graniastosłupa

d = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}

, 2. Objętość

V = a b c

, 3. Pole powierzchni bocznej

P = 2 (a c + b c)

, 4. Pole powierzchni całkowitej

P = 2 (a b + a c + b c)

, 5. Długość przekątnej podstawy graniastosłupa

p = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

Dopasuj wielkość związaną z prostopadłościanem, której użyjesz rozwiązując zadanie do podanego kontekstu praktycznego. Połącz w pary.

Pole powierzchni bocznej <math><mi>P</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mfenced><mrow><mi>a</mi><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>c</mi></mrow></mfenced></math>, Pole powierzchni całkowitej <math><mi>P</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mfenced><mrow><mi>a</mi><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>a</mi><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>c</mi></mrow></mfenced></math>, Długość przekątnej podstawy graniastosłupa <math><mi>p</mi><mo>=</mo><msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></msqrt></math>, Długość przekątnej graniastosłupa <math><mi>d</mi><mo>=</mo><msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup></msqrt></math>, Objętość <math><mi>V</mi><mo>=</mo><mi>a</mi><mi>b</mi><mi>c</mi></math>

Najdłuższy kij włożony do pudła
Ilość farby potrzebnej do pomalowania ścian w pokoju
Ilość powietrza w pomieszczeniu
Ilość papieru ozdobnego potrzebnego do opakowania pudełka z prezentem
Najdłuższy pręt leżący na podłodze

RdNYiWBnU6KNR1

Ćwiczenie 2

Janek planuje zbudować prostopadłościenny karmnik dla ptaków o wymiarach $30 cm \times 25 cm \times 20 cm$ . Zaczyna od zbudowania stelaża z listewek - wszystkich dwunastu krawędzi bryły, które w następnej kolejności od góry i od dołu obije deskami. Ile metrów bieżących listewki potrzebuje Janek do tej konstrukcji? Zaznacz poprawną odpowiedź.

$3 mb$
$2 mb$
$1, 5 mb$
$0, 75 mb$

R1DHQjk1QYOwE2

Ćwiczenie 3

Ile w przybliżeniu waży powietrze znajdujące się w sali lekcyjnej o wymiarach $8 m \times 14 m \times 4 m$ ? Przyjmijmy, że powietrze w sali ma gęstość około $1, 2 \frac{kg}{m^{3}}$ . Zaznacz poprawną odpowiedź.

$537, 6 kg$
$268, 8 kg$
$480 kg$
$240 kg$

R1eyIRBj4aPFJ2

Ćwiczenie 4

Ania planuje pomalować ściany w swoim pokoju w kształcie prostopadłościanu. Podłoga ma wymiary $4 m \times 5 m$ , wysokość pokoju to $3 m$ . Wydajność farby wynosi $15 \frac{m^{2}}{l}$ . Ile litrów farby potrzebuje Ania? Zaznacz poprawną odpowiedź.

$3, 6 l$
$1, 8 l$
$3, 1 l$
$3, 5 l$
$6, 3 l$

Ćwiczenie 5

RqNpaKJowzhlx

Jakiej długości pręt zmieści się do sześciennego pudełka o polu powierzchni całkowitej równej $54 m^{2}$ ? Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi.

$5, 13 m$
$5, 24 m$
$3, 54 m$
$4, 78 m$
$3 m$
$5, 2 m$

$6 a^{2} = 54$ , stąd $a^{2} = 9$ czyli $a = 3$ . Długość przekątnej sześcianu wynosi $3 \sqrt{3} \approx 5, 196$ .

Ćwiczenie 6

Chcemy zapakować ołówek długości $30 cm$ do możliwie najmniejszego prostopadłościennego pudełka, którego wysokość to $10 cm$ , a głębokość to $4 cm$ . Ile wynosi długość tego pudełka?

$\sqrt{a^{2} + 10^{2} + 4^{2}} = 30$

$a^{2} + 116 = 900$

$a^{2} = 784$

$a = 28$

Długość pudełka wynosi $28 cm$ .

Ćwiczenie 7

Największa na świecie wytopiona sztaba złota ma po uśrednieniu do prostopadłościanu wymiary ok. $20 cm \times 40, 5 cm \times 16 cm$ . Pamiętając, że gęstość złota wynosi $19300 \frac{kg}{m^{3}}$ , oblicz wagę tej sztaby. Wynik zaokrąglij do pełnych kilogramów.

$V = 0, 2 \cdot 0, 405 \cdot 0, 16 = 0, 01296 m^{3}$

$m = 0, 01296 \cdot 19300 = 250, 128 \approx 250 kg$

Największa sztaba złota waży $250 kg$ .

Ćwiczenie 8

RSq4oAbKsuKtL1

Grafika przedstawia samochód dostawczy. Samochód obrócony jest w prawą stronę. Kabina ciężarówki jest pomarańczowa. Przyczepa ma kształt prostokąta i jest w kolorze szarym.

Pan Adam dysponuje samochodem dostawczym o przestrzeni bagażowej będącej prostopadłościanem o wewnętrznych wymiarach (długość $\times$ szerokość $\times$ wysokość) $3 m \times 2 m \times 2 m$ . Chce przewieźć nim pręt o długości $5 m$ , mocując go po przekątnej całej przestrzeni, jednak pręt wystaje. Zgodnie z przepisami ruchu drogowego, szerokość pojazdu wraz z prętem nie może przekroczyć $2, 55 m$ . Grubość ściany auta wynosi $10 cm$ , a bagażnik jest najszerszą częścią pojazdu. Czy panu Adamowi uda się w ten sposób przetransportować załadunek?

RBZeKlDTUHk13

Grafika przedstawia prostopadłościan. Podstawa prostopadłościanu to prostokąt, którego boki mają długość 3 i 2. Krawędź boczna prostopadłościanu ma długość 2. Przekątna prostopadłościanu jest podpisana literą d i ma kolor różowy.

Rozwiązanie jest podobne jak w przykładzie $1$ z lekcji.

$d = \sqrt{3^{2} + 2^{2} + 2^{2}} > 4, 12$

Zatem co najmniej $4, 12 m$ pręta będzie przewożone wewnątrz auta.

Teraz zbudujemy model, w którym umieścimy szukaną przez nas wartość. Szerokość pojazdu wraz z załadunkiem będzie równa długości odcinka $B P$ powiększonego o $10 cm$ grubości prawej ściany auta (bliższa ściana na rysunku). Grubość lewej (dalszej na rysunku) ściany pomijamy, ponieważ pręt wystaje poza nią.

RfWh121yQsw54

Trójkąty $I P B$ oraz $H C B$ są podobne z cechy kąt, kąt, kąt:

RN57N8z08k2SQ

Rysunek przedstawia dwa trójkąty prostokątne. Trójkąty te są trójkątami podobnymi. Posiadają wspólny wierzchołek B oraz taki sam kąt pomiędzy przeciwprostokątną a krótszą przyprostokątną. Trójkąt pierwszy o wierzchołkach: B, I, P jest większym trójkątem. Przeciwprostokątną w tym trójkącie jest odcinek B,I. Dłuższą przyprostokątną w tym trójkącie jest odcinek P,I. Odcinek P,I ma orientację poziomą. Krótszą przyprostokątną jest odcinek PB. Trójkąt drugi o wierzchołkach: B, C, H jest częścią pierwszego trójkąta. Przeciwprostokątną w tym trójkącie jest odcinek BH, który ma długość 4,12. Dłuższa przyprostokątna to odcinek CH, jest ona podpisana h dolny indeks 1. Krótsza przyprostokątna, którą stanowi odcinek CB ma długość 2. Odcinek HI, który jest fragmentem przeciwprostokątnej większego trójkąta ma długość 0,88.

$\frac{|B C|}{|B P|} = \frac{|B H|}{|B I|}$

$\frac{2}{|B P|} = \frac{4, 12}{5}$

$|B P| \approx 2, 427$

Szerokość pojazdu z załadunkiem wynosi mniej niż $2, 53 m$ , zatem pan Adam może przetransportować pręt w zaplanowany sposób.

Film edukacyjny

Dla nauczyciela