Wirtualne laboratorium WL‑I
Wyznaczanie częstotliwości rezonansowej wahadła zawieszonego na drgającym pręcie
W dołączonym do tego e‑materiału wirtualnym laboratorium zbadasz zależność amplitudy drgań wymuszonych wahadła matematycznego od częstotliwości siły wymuszającej.
W Doświadczeniu 1. zaproponujesz przebieg obserwacji zmian amplitudy wywołanych zmianą częstotliwości wymuszającej. Celem obserwacji będzie zbadanie ogólnego kształtu krzywej rezonansowej.
W Doświadczeniu 2. przeprowadzisz pomiar zależności - amplitudy drgań wymuszonych od częstotliwości siły wymuszającej. Sporządzisz wykres tej zależności i na jego podstawie określisz wartość częstotliwości rezonansowej układu Porównasz częstotliwość rezonansową wahadła z częstotliwością własną , obliczoną w przybliżeniu drgań harmonicznych. Jest ona odwrotnością - okresu drgań swobodnych wahadła.
Gdy długość wahadła oznaczymy przez a przyspieszenie grawitacyjne przez to (zob. e‑materiał „Czy okres drgań wahadła matematycznego jest zależny od długości wahadła?”) obowiązują związki
Zanim przystąpisz do pomiarów, zapoznaj się z dołączoną do laboratorium instrukcją. Życzymy Ci owocnej nauki!
Badanie krzywej rezonansowej wahadła
Celem eksperymentu jest jakościowa obserwacja zależności - amplitudy drgań wymuszonych wahadła matematycznego od częstotliwości siły wymuszającej.
Zależność jest niemonotonicznaniemonotoniczna i osiąga maksymalną wartość dla jednej częstotliwości.
Wykorzystaj wyposażenie Wirtualnego laboratorium.
Zaproponuj zmiany w wyposażeniu laboratorium, które pozwoliłyby przeprowadzić podobną obserwację wymuszania drgań masy na sprężenie.
Zapoznaj się z instrukcją postępowania w Wirtualnym laboratorium.
Rozpocznij obserwację od najwyższej dostępnej częstotliwości wymuszania. Odczekaj, aż amplituda drgań się ustabilizuje. Zaobserwuj orientacyjną wartość amplitudy drgań.
Zmniejszaj częstotliwość wymuszania, korzystając z jej regulacji zgrubnej, każdorazowo o 0,1 Hz. Obserwuj zmiany wartości amplitudy drgań po upewnieniu się, że układ znajduje się w stanie ustabilizowanym.
Zapisuj swoje spostrzeżenia w miarę przebiegu obserwacji. Zwróć uwagę na zakresy częstotliwości, w których zmiany amplitudy są szybkie oraz na obszar, w którym amplituda zmienia się powoli.
Określ przedział częstotliwości, w którym uzyskujesz maksimum amplitudy. Nie staraj się minimalizować tego przedziału w trakcie obserwacji - ten przedział wykorzystasz w Doświadczeniu 2.
Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DWIEAIjvJ
Uporządkuj swoje notatki i zapisz je w formie opisu przebiegu obserwacji.
Rozstrzygnij, czy poczynione obserwacje są jakościowo zgodne z modelowym przebiegiem krzywej rezonansowej. Zapisz swoje rozstrzygnięcie, wraz z krótką argumentacją za jego przyjęciem, w Zeszycie obserwacji.
Zapisz orientacyjne granice przedziału, w którym leży częstotliwość rezonansowa układu, czyli ta, dla której amplituda drgań osiąga maksymalną wartość.
Sporządź konspekt prezentacji obserwacji zależności amplitudy drgań od częstotliwości z punktu widzenia prowadzącego taką obserwację. Konspekt zapisz w Zeszycie obserwacji.
Wynik eksperymentu może pozostawiać pewien niedosyt. Udało Ci się zapewne zaobserwować przebieg krzywej rezonansowej i stwierdzić, że jest ona niemonotonicznaniemonotoniczna. Osiąga ona maksymalną wartość dla jednej częstotliwości. Możesz jednak mieć wątpliwość, czy wahadło nie ma dwóch, trzech lub nawet więcej częstotliwości rezonansowych, jak struna gitarowa opisana w części Przeczytaj.
Zaproponuj modyfikację w wyposażeniu laboratorium, która pozwoli Ci doświadczalnie zbadać, czy wahadło ma tylko jedną częstotliwość rezonansową. Rozstrzygnij także, czy zastosowanie Twojej propozycji umożliwia ostateczne rozwianie Twoich wątpliwości na drodze eksperymentalnej. Zapisz swoją propozycję, rozstrzygnięcie i komentarze w przeznaczonym do tego polu Zeszytu obserwacji.
Stabilizacja amplitudy drgań wymuszonych wahadła
Udało Ci się zapewne zaobserwować, że po pierwszym włączeniu generatora, a także po zmianie częstotliwości wymuszania, amplituda drgań wahadła nie była stała. Zależnie od sytuacji mogła ona rosnąć, ale równie dobrze zmaleć, by następnie wzrosnąć. Ustabilizowanie się amplitudy wahadła mogło następować dopiero po kilkunastu cyklach jego wahań.
Takie zachowanie może Ci wydawać się dziwne, a nawet „sprzeczne z prawami przyrody”. Powiesz, nie bez częściowej racji, że skoro wymuszamy drgania wahadła, to energia powinna być do niego bez przerwy dostarczana - jego amplituda powinna więc wzrastać. Ktoś Ci przypomni, że na realne wahadło działają siły oporu, powodujące rozpraszanie jego energii mechanicznej. Zgoda, odpowiesz, dopuszczam więc myśl, że amplituda drgań, początkowo niewielka, będzie rosnąć. Powinna się wtedy ustabilizować na poziomie równowagowym. Odpowiadałby on sytuacji, w której tempo uzyskiwania energii przez wahadło od czynnika wymuszającego jest równa tempu, w jakim energia jest rozpraszana. Ale żeby amplituda drgań malała?
Przyjrzyj się trzem wykresom pokazującym zależność wychylenia od czasu masy zaczepionej na sprężynie, pobudzanej do drgań siłą harmoniczną. Wykresy uzyskano na drodze symulacji komputerowej. We wszystkich trzech przypadkach amplituda wymuszania była jednakowa, zaś okres wymuszania wynosił 2,6 s. Z kolei okres drgań własnych układu był równy około 2,81 s. Dlaczego więc wykresy są różne? Powodem jest ustawienie w każdej symulacji tłumienia o różnych efektywnościach niż w pozostałych.
Spróbuj odgadnąć, który z wykresów odpowiada układowi bez tłumienia, a który przedstawia układ najsilniej tłumiony. Przyjmij przy tym, że zmiana tłumienia nie wpływa w sposób zauważalny na okres drgań własnych układu.
Wyznaczanie częstotliwości rezonansowej wahadła
Celem eksperymentu jest wyznaczenie częstotliwości rezonansowej wahadła na podstawie jego krzywej rezonansowej.
Częstotliwość rezonansowa jest równa częstotliwości własnej drgań harmonicznych wahadła , określonych wyrażeniem (1).
Wykorzystaj wyposażenie Wirtualnego laboratorium.
Zapoznaj się z instrukcją postępowania w Wirtualnym laboratorium.
Rozpocznij pomiary od największej dostępnej częstotliwości wymuszania. Odczekaj, aż amplituda drgań się ustabilizuje. Zamierz wartość amplitudy drgań, korzystając z miarki.
Zmniejszaj częstotliwość, każdorazowo o korzystając z regulacji zgrubnej. Mierz amplitudę drgań po upewnieniu się, że obserwujesz stan ustabilizowany. Zapisuj wyniki w Tabeli pomiarów.
W obrębie przedziału częstotliwości (określonego w części 1.), w którym usytuowane jest maksimum amplitudy, wykorzystaj w razie potrzeby możliwość dokładniejszego zmniejszania częstotliwości.
Dla każdej amplitudy oszacuj niepewność jej odczytu Przyjmij, że niepewność graniczna pomiaru amplitudy jest sumą niepewności odczytu różnej dla różnych amplitud, oraz niepewności związanej z rozdzielczością miarki, niezależnej od amplitudy.
Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DWIEAIjvJ
Wyznacz niepewność pomiaru amplitudy ze wzoru Na niepewność graniczną składają się dwa czynniki: rozdzielczość miarki (niezależnie od procedury odczytu) oraz niepewność samego odczytu amplitudy. Ten drugi przyczynek ma charakter subiektywny i może być różny dla różnych amplitud i częstotliwości. Ten przyczynek powinien zostać określony podczas wykonywania pomiaru każdej amplitudy.
Sporządź wykres krzywej rezonansowej Wykres taki możesz przygotować w arkuszu kalkulacyjnym lub odręcznie, na papierze milimetrowym. Nanieś na wykres odcinki niepewności punktów pomiarowych.
Na przygotowanym wykresie naszkicuj możliwy przebieg krzywej rezonansowej. Krzywa ta powinna być „gładka” i powinna przechodzić w pobliżu punktów pomiarowych przecinając ich odcinki niepewności. Natomiast jej przebieg nie musi być symetryczny.
Przeanalizuj kształt uzyskanej krzywej i określ częstotliwość rezonansową w której położone jest jej maksimum. Oszacuj granice przedziału, i , w którym według Twojej oceny częstotliwość rezonansowa mieści się „na pewno”. Zwróć uwagę, że przedział ten nie jest tożsamy z przedziałem określonym w poleceniu 2.3, ze względu na cel i sposób jego określenia.
Zweryfikuj hipotezę - sprawdź, czy częstotliwość drgań badanego wahadła o długości oraz wartości , określona wyrażeniem (1) w przybliżeniu drgań harmonicznych, należy do wyznaczonego przez Ciebie przedziału. Skomentuj uzyskany wynik.
Badanie zjawiska rezonansu mechanicznego
Ula i Witek, uczniowie szkoły średniej, dostali zadanie zbadania zjawiska rezonansu mechanicznego na przykładzie wahadła, którego punkt zaczepienia jest rytmicznie przesuwany poziomo wzdłuż jednej prostej, na przykład w kierunku prawo‑lewo. Urządzenie wymuszające taki ruch jest zasadniczym elementem wyposażenia wirtualnego laboratorium. Zaczęli więc od zapoznania się z całym jego wyposażeniem.
Na ekranie przedstawiono stół laboratoryjny, na którym umieszczona jest linijka w kształcie fragmentu łuku okręgu, wyskalowana w centymetrach i opisana jako miarka wychylna. Najniższy punkt łuku jest środkiem linijki i jest oznaczony symbolem zero. Od tego punktu, zarówno w prawo w górę jak i w lewo w górę, obie połówki linijki są jednakowo wyskalowane w zakresie od zera do czterdziestu centymetrów. Dłuższe znaczniki skali, co dziesięć centymetrów, są opisane; jedynie ostatnie znaczniki mają zamiast czterdziestki napis cm. Krótsze znaczniki, co centymetr, nie są opisane. Miarkę można chwycić myszką i dowolnie przesuwać po ekranie. Celowe jest umieszczenie miarki, w tle za ciężarkiem zwisającym pionowo na nitce pośrodku ekranu, w taki sposób, by ciężarek znalazł się w położeniu zero. Ciężarek na nici stanowi wahadło, które w eksperymencie jest pobudzane do drgań. Górny koniec nici jest przymocowany do poziomego pręta, który może być wprawiany w ruch w kierunku prawo‑lewo. Ruch ten jest okresowy i ma ustaloną amplitudę; jego częstotliwość można zmieniać w zakresie od jednej dziesiątej herca do dwóch herców. Urządzenie wymuszające ruch pręta jest umieszczone na prawo od punktu zaczepienia nici – pręt wychodzi z bocznej ściany urządzenia. Na przednim panelu urządzenia jest przycisk włączający i wyłączający opisany ON/OFF oraz dwie pary przycisków zwiększających i zmniejszających częstotliwość przemieszczania pręta i, jednocześnie, wymuszania drgań wahadła. Lewa para przycisków służy zgrubnej regulacji częstotliwości wymuszania, co jedną dziesiątą herca. Para położona bliżej środka służy regulacji dokładnej, pozwalając zmieniać częstotliwość co jedną setną herca. Każda para jest odpowiednio opisana. Aktualnie nastawiona częstotliwość jest wyświetlana w prawej górnej części panelu czołowego. W lewym górnym rogu ekranu umieszczono przycisk w postaci kółka z małą literą ‘i’ w środku. Jego wciśnięcie wyświetla instrukcję obsługi i postępowania w laboratorium. W lewym dolnym rogu umieszczony jest przycisk RESET, którego wciśnięcie przywraca program do stanu wyjściowego.
Ula i Witek wykonali kilka wstępnych obserwacji drgań wymuszonych wahadła. Po rozpoznaniu możliwości laboratorium podzielili swoją pracę na dwie części. W pierwszej celem jest zgrubne, jakościowe zademonstrowanie istnienia zjawiska rezonansu. W części drugiej celem jest wykazanie, że częstotliwość rezonansowa zaobserwowana w eksperymencie, przy najdokładniejszej regulacji częstotliwości, jest równa częstotliwości własnej wahadła drgającego swobodnie.
Doświadczenie 1.
Jak zademonstrować zjawisko rezonansu mechanicznego?
Ula i Witek postanowili zbadać zależność drgań ciężarka pobudzanego do drgań od częstotliwości wymuszania. Postawili hipotezę, że zależność amplitudy od częstotliwości jest niemonotonicznaniemonotoniczna w badanej dziedzinie i osiąga wartość maksymalną dla jednej częstotliwości Przyjęli także następujące ogólne zasady postępowania:
Badanie zostanie przeprowadzone w zakresie częstotliwości nieco mniejszym niż dostępny w urządzeniu. Stwierdzili bowiem wcześniej, przy częstotliwościach wymuszania poniżej pół herca oraz powyżej jednego i pięciu dziesiątych herca, że zachowanie wahadła nie przypominało drgania lecz raczej poruszanie się w takt ruchu punktu zaczepienia. Maksymalne wychylenie w tym ruchu było praktycznie niezależne od częstotliwości.
Częstotliwość będzie zmieniana z wykorzystaniem regulacji zgrubnej, krokami co jedną dziesiątą herca.
Mierzone będzie wychylenie nici, tuż nad ciężarkiem, zanotowane po ustabilizowaniu się drgań ciężarka.
Nastawione częstotliwości i zmierzone wartości amplitudy młodzi badacze umieścili w tabeli 1.
Lp. | (Hz) | (cm) |
|---|---|---|
1 | 0,5 | 3 |
2 | 0,6 | 4 |
3 | 0,7 | 6 |
4 | 0,8 | 17 |
5 | 0,9 | 14 |
6 | 1,0 | 7 |
7 | 1,1 | 5 |
8 | 1,2 | 4 |
9 | 1,3 | 4 |
10 | 1,4 | 3 |
11 | 1,5 | 3 |
Zasadniczym argumentem przemawiającym za takim rozstrzygnięciem jest fakt, że
# wraz ze wzrostem częstotliwości wymuszania amplituda drgań początkowo rośnie, po czym maleje.
{} wraz ze wzrostem częstotliwości wymuszania amplituda drgań początkowo maleje, po czym rośnie.
{} uzyskana zależność amplitudy od częstotliwości jest wyłącznie rosnąca.
{} uzyskana zależność amplitudy od częstotliwości kilkakrotnie zmienia charakter z rosnącej na malejącą.
Na podstawie uzyskanych wyników Ula i Witek zaczęli planować drugie doświadczenie, w którym wykorzystaliby możliwość dokładnej regulacji częstotliwości wymuszania. Zależało im na określeniu przedziału częstotliwości, w którym na pewno znajduje się częstotliwość przy której amplituda drgań wahadła osiąga maksymalną wartość, czyli rezonansowa częstotliwość badanego układu. Z drugiej strony byli oni zainteresowani, by przedział ten był możliwie wąski.
Doświadczenie 2. Jak określić częstotliwość rezonansową wahadła?
Na podstawie pierwszej części doświadczenia można było stwierdzić, że częstotliwość rezonansowa oraz że mieści się ona w przedziale od siedmiu do dziewięciu dziesiątych herca. Taki wniosek jest wiarygodny, ale wynik może być niezadowalający.
Ula i Witek uznali wynik za niedokładny: połowa szerokości tego przedziału (jedna dziesiąta herca) stanowi ponad dwanaście procent wartości w jego środku (osiem dziesiątych herca). Można więc powiedzieć, że wartość częstotliwości rezonansowej została określona z dokładnością rzędu dziesięciu procent lub nawet gorszą.
Badacze postanowili więc ponownie zbadać tę samą zależność, w zawężonym przedziale od siedmiu do dziewięciu dziesiątych herca, ale w odstępach pomiędzy częstotliwościami znacznie mniejszymi niż jedna dziesiąta herca. Przeprowadzenie serii pomiarów próbnych pozwoliło naszym eksperymentatorom zorganizować właściwe pomiary w sposób nieco nietypowy. Zastosowali oni różne przyrosty częstotliwość pomiędzy pomiarami:
w obszarze częstotliwości zdecydowanie poniżej rezonansowej co trzy setne herca,
następnie w okolicach częstotliwości rezonansowej co jedną setną herca,
wreszcie w obszarze powyżej częstotliwości rezonansowej co dwie setne herca.
Wyniki pomiarów zawarli w tabeli 2. Umieścili w niej także wyniki dla trzech częstotliwości obecnych w doświadczeniu 1.
Lp. | (Hz) | (cm) |
|---|---|---|
1 | 0,70 | 6 |
2 | 0,73 | 6 |
3 | 0,76 | 8 |
4 | 0,79 | 13 |
5 | 0,80 | 17 |
6 | 0,81 | 19 |
7 | 0,82 | 25 |
8 | 0,83 | 24 |
9 | 0,84 | 23 |
10 | 0,86 | 21 |
11 | 0,88 | 17 |
12 | 0,90 | 14 |
Przyjmij, że długość wahadła , zaś przyspieszenie ziemskie . Oblicz częstotliwość własną wahadł . Skorzystaj z wyrażenia
i zaokrąglij wynik do dwóch cyfr znaczących.
{}
Słowniczek
(ang.: unmonotonic (non‑monotonic) function) – funkcja, która jest rosnąca w obrębie niektórych podzbiorów swojej dziedziny i malejąca na innych podzbiorach dziedziny.