O pewnym kącie w trójkącie

Rozważmy trójkąt, w którym kąty przy podstawie mają miary $40°$ i $74°$, a okrąg wpisany w ten trójkąt jest styczny do dwóch jego boków odpowiednio w punktach $P$ i $Q$, jak na rysunku.

RGMecr3Un6Xgk

Ilustracja przedstawia trójkąt, w który wpisano okrąg. Oznaczono dwa kąty wewnętrzne w trójkącie: kąt 40 stopni oraz kąt 74 stopnie. Literą R oznaczono wierzchołek trójkąta, przy którym nie zaznaczono kąta wewnętrznego. Zaznaczono również dwa punkty na okręgu, w których okrąg styka się z bokami trójkąta rozpinającymi nieopisany kąt. Punkty te oznaczono literami P i Q. Punkty te połączono odcinkiem, który znajduje się całkowicie w okręgu. Oznaczono kąt R P Q jako kąt alfa.

Wyznaczenie miary kąta $\alpha$, jaki tworzy cięciwa $PQ$ z bokiem trójkąta, sprowadza się do wykorzystania bilansu kątów w trójkącie oraz zasadniczego twierdzenia planimetrii.

Ponieważ $\left|PR\right|=\left|RQ\right|$, jako odcinki stycznych poprowadzone z jednego punktu, to trójkąt $PRQ$ jest równoramienny oraz $\left|\sphericalangle PQR\right|=\alpha$. Stąd

$\alpha =\frac{1}{2}·\left(180°-\left|\sphericalangle PRQ\right|\right)=\frac{1}{2}·\left(180°-\left(180°-74°-40°\right)\right)=\frac{1}{2}·114°=57°$.

Kąt $\alpha$, zaznaczony na rysunku, jest w istocie kątem, jaki cięciwa okręgu tworzy ze styczną do tego okręgu poprowadzoną w punkcie, który jest końcem tej cięciwy i jest znany, jako kąt między styczną i cięciwą lub krótko, jako kąt dopisany do okręgu, co będzie tematem niniejszej lekcji.