Wydrukuj Zapisz jako PDF Dodaj do ulubionych Udostępnij materiał
Rov5Hp8AkmKeS1

Z jaką prędkością wracać od babci, czyli wyrażenia wymierne w praktyce

Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., cc0.

Wstęp

Niekiedy zdarza się, że po przeanalizowaniu danych uzyskanych w efekcie przeprowadzonego doświadczenia, otrzymujemy zaskakujące wyniki. I to zdawałoby się sprzeczne ze zdrowym rozsądkiem.

Przykładem takiego dysonansu poznawczego jest odkrycie, że średnia prędkośćPrędkośćprędkość poruszających się pojazdów na drodze „tam” i „z powrotem” nie jest średnią arytmetyczną prędkości na poszczególnych odcinkach drogi.

Warto wtedy skorzystać z prostych narzędzi statystycznych, pozwalających na sprawdzenie poprawności poczynionych obserwacji.

RACHBILXcpgAL1
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
Nauczysz się

sformułujesz i uzasadnisz wnioski na podstawie wykonywanych doświadczeń;

opiszesz prowadzone rozumowania językiem matematyki;

wykorzystasz narzędzia prawdopodobieństwa do wyboru najlepszego rozwiązania w sytuacjach z życia codziennego.

1

Cele edukacyjne zgodne z etapem kształcenia

Po zapoznaniu się z e‑materiałem uczeń:

dobiera i tworzy modele matematyczne przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.

me95ef98cbb161c6f_1502093859156_0

Z JAKĄ PRĘDKOŚCIĄ WRACAĆ OD BABCI, CZYLI WYRAŻENIA WYMIERNE W PRAKTYCE – audiobook

Rozdziały:

  1. Uliczna ankieta

  2. Średnia harmoniczna

  3. Podsumowanie

1
Notatka dla prowadzącego

Przed rozpoczęciem pracy z audiobookiem, możesz skorzystać z przygotowanego scenariusza lekcji, który pokazuje, jak włączyć materiały multimedialne w tok lekcji.

6,6
RXze7bIvTONw5

Pobierz załącznik

Scenariusz lekcji
Plik PDF o rozmiarze 914.97 KB w języku polskim
R1ZUQoE9lJdph

Pobierz załącznik

Załącznik do scenariusza lekcji
Plik PDF o rozmiarze 252.85 KB w języku polskim
Wskazówka

Słuchając audiobooka, zwróćcie uwagę na sytuacje, w których intuicyjnie chcemy zastosować średnią arytmetyczną, co w konsekwencji może doprowadzić nas do uzyskania wyniku znacznie odbiegającego od poprawnego.

Przed wysłuchaniem nagrania porozmawiajcie o znanych wam, wykorzystywanych w statystyce, miarach położenia i ich zastosowaniach. Przypomnijcie sobie również, jaka jest zależność między drogą, prędkością, a czasem w ruchu jednostajnym.

RYQnMXfiK1YgC1
Na ekranie pokazany jest panel sterowania z aktywnymi klawiszami do odtwarzania zawartości audiobooka. W części górnej części znajdują się trzy klawisze. Pierwszy od lewej „Widok” umożliwia przełączenie między odtwarzaczem dźwiękowym audiobooka oznaczonym jako „Odtwarzacz” na liście wyboru a podglądem treści audiobooka oznaczonym jako „Tekst”. Odtwarzacz dźwiękowy oznaczony jako „Odtwarzacz” przedstawia żółty pasek, na którym podczas odtwarzania pojawia się tekst. Widok „Tekst” prezentuje pełny tekst pojawiający się w nagraniu. Widok „Dynamiczny” stanowi połączenie widoku „Odtwarzacz” i „Tekst". Klawisz środkowy „Książka” umożliwia nawigację po treści audiobooka. Klawisz trzeci od lewej „Więcej” – zawiera informacje o programie. Poniżej oddzielony linią znajduje się panel sterowania odtwarzacza nagrania. Poniżej panelu sterowania znajduje się żółty pasek, na którym w trakcie odtwarzania pokazywany jest tekst nagrania.
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
Zobacz także

Z jaką prędkością wracać od babci, czyli wyrażenia wymierne w praktyce

Rozdział 1 
Uliczna ankieta

Marcin opowiada o wynikach sondażu, który przeprowadził.

Witam wszystkich bardzo serdecznie. Mam na imię Marcin i chciałbym przedstawić wam wyniki sondażu, który przeprowadziłem wczoraj w naszym mieście. Stu przechodniów poprosiłem o rozwiązanie następującego zadania:

W środę pojechałem rowerem do babci. W jedną stronę jechałem z prędkością 20 kilometrów na godzinę. Z powrotem było z górki, więc jechałem znacznie szybciej, z prędkością 30 kilometrów na godzinę. Z jaką średnią prędkością przebyłem całą trasę „tam” i „z powrotem”?

Dziewięćdziesiąt pięć osób obliczyło średnią arytmetyczną liczb 20 i 30, czyli dwadzieścia dodać trzydzieści równa się pięćdziesiąt, pięćdziesiąt podzielić przez dwa równa się dwadzieścia pięć, i uznało, że poruszałem się ze średnią prędkością 25 kilometrów na godzinę. Tylko pięć osób podało inny wynik. Cztery stwierdziły, że średnia prędkość to 24 kilometry na godzinę. Jedna orzekła, że wynosiła ona 0 kilometrów na godzinę i upierała się, że ma rację.

Jak myślicie, który wynik jest poprawny: 25 kilometrów na godzinę czy 24 kilometry na godzinę? A może wręcz 0 kilometrów na godzinę? Przeanalizujcie problem w grupach i zaprezentujcie innym wasze obliczenia.

Rozdział 2 
Średnia harmoniczna

Rozmowa Marcina z ekspertem w zakresie statystyki i matematyki.

— Aby ostatecznie rozstrzygnąć, z jaką średnią prędkością jechałem do babci i z powrotem, poprosiłem o pomoc eksperta panią Ewę, która jest nie tylko matematykiem, ale również fizykiem. Pani Ewo, czy może nam pani wyjaśnić, skąd wzięła się niespójność w wynikach uzyskanych przez ankietowanych?

— To bardzo proste. Większość respondentów, analizując zadanie zauważyła, że długość drogi, jaką przebyłeś, jadąc do babci była równa długości drogi, jaką przebyłeś w drodze powrotnej. Osoby te przyjęły więc za pewnik, że ta wielkość nie odgrywa istotnej roli w obliczeniach i pominęły ją. Średnią prędkość obliczyły, opierając się na znanych analogiach, na przykład obliczaniu średniej ocen. Korzystały więc ze średniej arytmetycznej i otrzymały rozwiązanie: 25 kilometrów na godzinę.

— Więc ten wynik jest poprawny?

— Niestety, nie.

— Gdzie zatem tkwi błąd w rozumowaniu?

— Czy pamiętasz czym jest prędkość w ruchu jednostajnym?

— Tak. Można powiedzieć, że prędkość to zmiana odległości podzielona przez jednostkę czasu, w jakiej została dokonana.

— No właśnie. W rozważanym przez nas przypadku, długość drogi „tam” była równa długości drogi „z powrotem”, ale czas jazdy był inny. Z powrotem jechałeś dużo szybciej, więc pokonałeś trasę w krótszym czasie, niż jadąc z domu do babci.

— Rzeczywiście. Jeśli więc założę, że długość drogi z domu do babci jest równa s, to cała przebyta przeze mnie droga ma długość 2s. Wtedy czas jazdy „tam” będzie wynosił s podzielić przez 20, a czas jazdy „z powrotem” s podzielić przez 30.

— Oczywiście. Aby obliczyć średnią prędkość należy podzielić długość drogi, czyli 2 s przez czas jazdy, czyli sumę, której składniki to s przez 20 i s przez 30.

— Obliczam. Mój wynik to 24 kilometry na godzinę. Czy to już jest prawidłowa odpowiedź?

— I tak, i nie.

— Jak to?

— Fizyk bez wątpienia ustaliłby, że prędkość wynosiła zero kilometrów na godzinę.

— To zaskakujące. Czy może nam pani to dokładnie wyjaśnić?

— Na co dzień posługujemy się naprzemiennie terminami prędkość i szybkość, czyli wartość prędkości. W fizyce, jednak terminy te mają inne znaczenia. Szybkość jest wielkością skalarną, czyli liczbą. Prędkość jest natomiast wielkością wektorową. Twoje przemieszczenie w podróży „tam” i „z powrotem” było równe zeru – wyjechałeś z domu i wróciłeś do domu. Stąd wniosek, że twoja średnia prędkość też była równa zeru.

— Ale średnia szybkość była równa 24 kilometry na godzinę?

— Tak. Doskonale zrozumiałeś różnicę między średnią prędkością, a średnią szybkością. Aby obliczyć średnią szybkość, utożsamianą zwykle ze średnią prędkością, wykorzystaliśmy wzór na średnią harmoniczną dwóch wielkości. Zauważ, że średnia harmoniczna w naszym przypadku była mniejsza niż średnia arytmetyczna tych samych wielkości. Czy jest tak zawsze – przedyskutuj ten problem z kolegami z klasy.

— Bardzo dziękuję za interesującą rozmowę i rozwiązanie nurtującego mnie problemu. Przy okazji uświadomiła mi też pani, że przeprowadzając sondaż należy doprecyzować zawarte w nim pytania.

Rozdział 3 
Podsumowanie

Marcin podsumowuje rezultaty ankiety i rozmowy z ekspertem.

Rozmowa z naszym ekspertem zainspirowała mnie do poszukania wiadomości na temat średniej harmonicznej. W badaniach statystycznych średnia harmoniczna jest miarą położenia rozkładu, podobnie jak średnia arytmetyczna. Stosuje się ją, gdy wartości zmiennej podane są w jednostkach względnych (na przykład w km/h).

Średnią harmoniczną liczb dodatnich aIndeks dolny 1, aIndeks dolny 2, aIndeks dolny 3,…,aIndeks dolny n obliczamy jako iloraz liczby wszystkich danych przez sumę ich odwrotności. Średnia harmoniczna n liczb jest nie większa od średniej geometrycznej i nie większa od średniej arytmetycznej tych liczb. Ze średnią harmoniczną mamy do czynienia na przykład obliczając średnią szybkość, czy dobierając oporności oporników w połączeniu równoległym. A teraz zadanie dla was. Do babci pojadę samochodem z prędkością 40 kilometrów na godzinę. Z jaką prędkością muszę wracać od babci, aby moja średnia szybkość na całej trasie była równa 48 kilometrów na godzinę?

Polecenie 1

Oblicz szybkość średnią każdego z rowerzystów, jeżeli rowerzysta A od godziny 13.00 do godziny 14.00 jechał z szybkością 15 km/h, a od godziny 14.00 do godziny 15.00 jechał z szybkością 25 km/h, rowerzysta B przez 10 km jechał z szybkością 10 km/h, a przez następne 10 km z szybkością 30 km/h, rowerzysta C godzinę jechał z szybkością 20 km/h, a przez następne 10 km jechał z szybkością 20 km/h.

Polecenie 2

Wykaż, że dla dodatnich liczb a i b

a) zachodzi nierówność

Rm1T0EcdRux051
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

b) zachodzi nierówność

RTnp9nEugS2la1
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

c) odwrotność średniej arytmetycznej tych liczb jest równa średniej harmonicznej odwrotności tych liczb.

Polecenie 3

Jak dobrać oporności trzech oporników o łącznym oporze 18 Ω, połączonych równolegle, aby opór zastępczy był największy?

Wskazówka 1
Skorzystaj z nierówności między średnią arytmetyczną a harmoniczną.

Połączenie szeregowe

R1JsZIF6RlKeJ1
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Opór zastępczy R oporów RIndeks dolny 1, RIndeks dolny 2 połączonych szeregowo, wyraża się wzorem

RETHlhiq6oTeS1
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Połączenie równoległe

RPOrJxvDne7151
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Opór zastępczy R oporów RIndeks dolny 1, RIndeks dolny 2 połączonych równolegle, wyraża się wzorem

RFM6yrHC7iCkN1
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
me95ef98cbb161c6f_1502093867461_0

Podsumowanie

Średnia harmonicznaŚrednia harmonicznaŚrednia harmoniczna jest jednym z parametrów statystycznych. Stosuje się ją, gdy wartości zmiennej podane są w jednostkach względnych (np. km/h).

Średnią harmoniczną liczb dodatnich

R7nkDINqyMWww1
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

obliczamy jako iloraz liczby wszystkich danych przez sumę ich odwrotności

Rny5wIn6ogDNp1
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Geometrycznie średnia harmoniczna to długość odcinka zawartego w trapezie, przechodzącego przez punkt przecięcia przekątnych trapezu i równoległego do postaw.

Praca domowa
Polecenie 4.1

Zadanie 1.

Przeprowadź wśród uczniów twojej szkoły ankietę, w której zapytasz o średnią szybkość, z jaką poruszał się samochód, który z magazynu zawiózł ładunek do sklepu oddalonego o 100 km i powrócił tą samą trasą. Z magazynu do sklepu samochód jechał z prędkością 40 km/h, a z powrotem z prędkością 60 km/h.

RtfkINYbRgiNb1
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
R1CewcGMD4BCi1
Załącznik stanowi kartę pracy w formacie pliku PDF. Na górze dokumentu znajduje się napis „PRACA DOMOWA”. Poniżej znajduje się polecenie o treści „Przeprowadź wśród uczniów twojej szkoły ankietę. Poproś respondentów o zaznaczenie poprawnej odpowiedzi”. Pod spodem znajduje się nagłówek „ANKIETA”, a pod nim treść zadania: „Z jaką średnią szybkością poruszał się samochód, który z magazynu zawiózł ładunek do sklepu oddalonego o 100 km i powrócił tą samą trasą. Z magazynu do sklepu samochód jechał z prędkością 40 km/h, a z powrotem z prędkością 60 km/h”. Pod treścią zadania do ankiety jest zamieszczona tabela, która jest arkuszem odpowiedzi dla ankietowanych. Tabela składa się z czterech kolumn i 17 wierszy. Pierwszy wiersz tabeli jest uzupełniony. Komórka w pierwszej kolumnie w pierwszym wierszu zawiera napis „UCZEŃ”, w drugiej mieści się odpowiedź do wyboru o wartości „50 km/h”, w trzeciej kolumnie „52 km/h”, a w czwartej kolumnie „48 km/h”. Na dole dokumentu pod tabelą znajduje się informacja „znaczkiem X zaznacz poprawną odpowiedź”.
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
me95ef98cbb161c6f_1503905579466_0

Zadania

classicmobile
Ćwiczenie 1
R9FEk1ZvE7gmd1
Na ekranie wyświetla się w ramce Zadanie 1. zatytułowane „Średnia arytmetyczna”. Poniżej znajduje się polecenie o treści „Oblicz średnią arytmetyczną poniższych liczb”. Pod poleceniem znajduje się osiem zestawów liczb, do których należy wyliczyć średnią arytmetyczną.
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
static
classicmobile
Ćwiczenie 2
Rt69c9RxkoLmU1
Na ekranie wyświetla się w ramce Zadanie 2. zatytułowane „Średnia harmoniczna”. Poniżej znajduje się polecenie o treści „Oblicz średnią harmoniczną poniższych liczb. Odpowiedzi podaj w postaci ułamków nieskracalnych (do zapisu użyj prawego ukośnika)”. Pod poleceniem znajduje się osiem zestawów liczb, do których należy wyliczyć średnią harmoniczną.
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
static
classicmobile
Ćwiczenie 3
RAmjOCo6nUzKL1
Na ekranie wyświetla się w ramce Zadanie 3. zatytułowane „Średnia harmoniczna”. Poniżej znajduje się polecenie o treści „Średnia harmoniczna liczb 8 i x wynosi 13,44. Wyznacz i wskaż x.”. Pod poleceniem znajduje się dziewięć proponowanych odpowiedzi, spośród których jedna jest prawidłową odpowiedzią.
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
static
me95ef98cbb161c6f_1502358147126_0

Słowniczek

Prędkość
Prędkość

Prędkość to wielkość wektorowa. W praktyce szkolnej oblicza się prędkość jako stosunek długości drogi przebytej przez ciało do czasu, w jakim ruch się odbywał.  

Średnia harmoniczna
Średnia harmoniczna

Średnia harmoniczna liczb dodatnich

R7nkDINqyMWww1
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

to iloraz liczby wszystkich danych przez sumę ich odwrotności.

Rny5wIn6ogDNp1
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
Szybkość
Szybkość

Szybkość to wielkość skalarna. Najczęściej przyjmuje się, że jest to wartość liczbowa prędkości.

me95ef98cbb161c6f_1522759004116_0

Powrót do e‑podręcznika

E‑podręcznik „Odkryj, zrozum, zastosuj...”

https://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student‑canon

3.3. Wyrażenia wymierne. Równania wymierne:

https://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student‑canon/m/iIEiNx2IIi#iIEiNx2IIi_d25e1

3.4. Zastosowanie równań wymiernych do interpretacji zagadnień praktycznych:

https://www.epodreczniki.pl/reader/c/129738/v/22/t/student‑canon/m/iYcmaHaJ3L

RsAjQ5hA0OaLv1
Źródło: Eduexpert Sp. z o.o. / Evaco Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.