sformułujesz i uzasadnisz wnioski na podstawie wykonywanych doświadczeń;

opiszesz prowadzone rozumowania językiem matematyki;

wykorzystasz narzędzia prawdopodobieństwa do wyboru najlepszego rozwiązania w sytuacjach z życia codziennego.

Słuchając audiobooka, zwróćcie uwagę na sytuacje, w których intuicyjnie chcemy zastosować średnią arytmetyczną, co w konsekwencji może doprowadzić nas do uzyskania wyniku znacznie odbiegającego od poprawnego.

Przed wysłuchaniem nagrania porozmawiajcie o znanych wam, wykorzystywanych w statystyce, miarach położenia i ich zastosowaniach. Przypomnijcie sobie również, jaka jest zależność między drogą, prędkością, a czasem w ruchu jednostajnym.

Z jaką prędkością wracać od babci, czyli wyrażenia wymierne w praktyce

Rozdział 1 
Uliczna ankieta

Marcin opowiada o wynikach sondażu, który przeprowadził.

Witam wszystkich bardzo serdecznie. Mam na imię Marcin i chciałbym przedstawić wam wyniki sondażu, który przeprowadziłem wczoraj w naszym mieście. Stu przechodniów poprosiłem o rozwiązanie następującego zadania:

W środę pojechałem rowerem do babci. W jedną stronę jechałem z prędkością 20 kilometrów na godzinę. Z powrotem było z górki, więc jechałem znacznie szybciej, z prędkością 30 kilometrów na godzinę. Z jaką średnią prędkością przebyłem całą trasę „tam” i „z powrotem”?

Dziewięćdziesiąt pięć osób obliczyło średnią arytmetyczną liczb 20 i 30, czyli dwadzieścia dodać trzydzieści równa się pięćdziesiąt, pięćdziesiąt podzielić przez dwa równa się dwadzieścia pięć, i uznało, że poruszałem się ze średnią prędkością 25 kilometrów na godzinę. Tylko pięć osób podało inny wynik. Cztery stwierdziły, że średnia prędkość to 24 kilometry na godzinę. Jedna orzekła, że wynosiła ona 0 kilometrów na godzinę i upierała się, że ma rację.

Jak myślicie, który wynik jest poprawny: 25 kilometrów na godzinę czy 24 kilometry na godzinę? A może wręcz 0 kilometrów na godzinę? Przeanalizujcie problem w grupach i zaprezentujcie innym wasze obliczenia.

Rozdział 2 
Średnia harmoniczna

Rozmowa Marcina z ekspertem w zakresie statystyki i matematyki.

— Aby ostatecznie rozstrzygnąć, z jaką średnią prędkością jechałem do babci i z powrotem, poprosiłem o pomoc eksperta panią Ewę, która jest nie tylko matematykiem, ale również fizykiem. Pani Ewo, czy może nam pani wyjaśnić, skąd wzięła się niespójność w wynikach uzyskanych przez ankietowanych?

— To bardzo proste. Większość respondentów, analizując zadanie zauważyła, że długość drogi, jaką przebyłeś, jadąc do babci była równa długości drogi, jaką przebyłeś w drodze powrotnej. Osoby te przyjęły więc za pewnik, że ta wielkość nie odgrywa istotnej roli w obliczeniach i pominęły ją. Średnią prędkość obliczyły, opierając się na znanych analogiach, na przykład obliczaniu średniej ocen. Korzystały więc ze średniej arytmetycznej i otrzymały rozwiązanie: 25 kilometrów na godzinę.

— Więc ten wynik jest poprawny?

— Niestety, nie.

— Gdzie zatem tkwi błąd w rozumowaniu?

— Czy pamiętasz czym jest prędkość w ruchu jednostajnym?

— Tak. Można powiedzieć, że prędkość to zmiana odległości podzielona przez jednostkę czasu, w jakiej została dokonana.

— No właśnie. W rozważanym przez nas przypadku, długość drogi „tam” była równa długości drogi „z powrotem”, ale czas jazdy był inny. Z powrotem jechałeś dużo szybciej, więc pokonałeś trasę w krótszym czasie, niż jadąc z domu do babci.

— Rzeczywiście. Jeśli więc założę, że długość drogi z domu do babci jest równa s, to cała przebyta przeze mnie droga ma długość 2s. Wtedy czas jazdy „tam” będzie wynosił s podzielić przez 20, a czas jazdy „z powrotem” s podzielić przez 30.

— Oczywiście. Aby obliczyć średnią prędkość należy podzielić długość drogi, czyli 2 s przez czas jazdy, czyli sumę, której składniki to s przez 20 i s przez 30.

— Obliczam. Mój wynik to 24 kilometry na godzinę. Czy to już jest prawidłowa odpowiedź?

— I tak, i nie.

— Jak to?

— Fizyk bez wątpienia ustaliłby, że prędkość wynosiła zero kilometrów na godzinę.

— To zaskakujące. Czy może nam pani to dokładnie wyjaśnić?

— Na co dzień posługujemy się naprzemiennie terminami prędkość i szybkość, czyli wartość prędkości. W fizyce, jednak terminy te mają inne znaczenia. Szybkość jest wielkością skalarną, czyli liczbą. Prędkość jest natomiast wielkością wektorową. Twoje przemieszczenie w podróży „tam” i „z powrotem” było równe zeru – wyjechałeś z domu i wróciłeś do domu. Stąd wniosek, że twoja średnia prędkość też była równa zeru.

— Ale średnia szybkość była równa 24 kilometry na godzinę?

— Tak. Doskonale zrozumiałeś różnicę między średnią prędkością, a średnią szybkością. Aby obliczyć średnią szybkość, utożsamianą zwykle ze średnią prędkością, wykorzystaliśmy wzór na średnią harmoniczną dwóch wielkości. Zauważ, że średnia harmoniczna w naszym przypadku była mniejsza niż średnia arytmetyczna tych samych wielkości. Czy jest tak zawsze – przedyskutuj ten problem z kolegami z klasy.

— Bardzo dziękuję za interesującą rozmowę i rozwiązanie nurtującego mnie problemu. Przy okazji uświadomiła mi też pani, że przeprowadzając sondaż należy doprecyzować zawarte w nim pytania.

Rozdział 3 
Podsumowanie

Marcin podsumowuje rezultaty ankiety i rozmowy z ekspertem.

Rozmowa z naszym ekspertem zainspirowała mnie do poszukania wiadomości na temat średniej harmonicznej. W badaniach statystycznych średnia harmoniczna jest miarą położenia rozkładu, podobnie jak średnia arytmetyczna. Stosuje się ją, gdy wartości zmiennej podane są w jednostkach względnych (na przykład w km/h).

Średnią harmoniczną liczb dodatnich aIndeks dolny 1₁, aIndeks dolny 2₂, aIndeks dolny 3₃,…,aIndeks dolny n_n obliczamy jako iloraz liczby wszystkich danych przez sumę ich odwrotności. Średnia harmoniczna n liczb jest nie większa od średniej geometrycznej i nie większa od średniej arytmetycznej tych liczb. Ze średnią harmoniczną mamy do czynienia na przykład obliczając średnią szybkość, czy dobierając oporności oporników w połączeniu równoległym. A teraz zadanie dla was. Do babci pojadę samochodem z prędkością 40 kilometrów na godzinę. Z jaką prędkością muszę wracać od babci, aby moja średnia szybkość na całej trasie była równa 48 kilometrów na godzinę?