Temat

Reguła mnożenia, reguła dodawania

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

XI. Kombinatoryka.

Zakres podstawowy. Uczeń:

1. Zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych;

2. Zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności w sytuacjach nie trudniejszych niż:

a) obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2,
b) obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych
i teoretycznych.

Cele szczegółowe

1. Zliczanie obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych.

2. Zliczanie obiektów przy zastosowaniu reguły mnożenia i dodawania.

3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych,

- zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania.

Metody kształcenia

1. Metoda odwróconej klasy.

2. Dyskusja.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca w parach.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie będą pracować metodą odwróconej klasy.

W tym celu, w domu, przygotowują informacje na temat reguły dodawania i reguły mnożenia.
Ich zadaniem jest również przygotowanie odpowiedzi na pytanie, co to jest kombinatoryka.

Realizacja lekcji

Pracując w parach, uczniowie dyskutują nad przygotowanymi w domu materiałami. Porównują swoje notatki, dyskutują nad wątpliwościami.

Trzy chętne zespoły prezentują wiadomości, omawiając kolejno tematy:

- Czym zajmuje się kombinatoryka?
- Reguła dodawania.
- Reguła mnożenia.

Powinny pojawić się określenia:

- Kombinatoryka to teoria wyznaczania liczby elementów zbiorów skończonych lub układów tych elementów.

- Reguła dodawania

Liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia, które polega na wykonaniu jednej z n czynności, z których pierwsza może zakończyć się na jeden z kIndeks dolny 1₁ sposobów, druga – na jeden z kIndeks dolny 2₂ sposobów, trzecia – na jeden z kIndeks dolny 3₃ sposobów i tak dalej do n - tej czynności, która może zakończyć się na jeden z kIndeks dolny n_n sposobów, jest równa kIndeks dolny 1₁ + kIndeks dolny 2₂ + kIndeks dolny 3₃ +…+ kIndeks dolny n_n.

- Reguła mnożenia

Liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia, które polega na wykonaniu po kolei n czynności, z których pierwsza może zakończyć się na jeden z kIndeks dolny 1₁ sposobów, druga – na jeden z kIndeks dolny 2₂ sposobów, trzecia – na jeden z kIndeks dolny 3₃ sposobów i tak dalej do n - tej czynności, która może zakończyć się na jeden z kIndeks dolny n_n sposobów, jest równa kIndeks dolny 1₁· kIndeks dolny 2₂ · kIndeks dolny 3₃·…· kIndeks dolny n_n.

Uczniowie pracują indywidualnie, korzystając z komputerów. Ich zadaniem jest zapoznanie się z ilustracją interaktywną, przedstawiającą sposób zastosowania reguły dodawania i reguły mnożenia.

[Ilustracja interaktywna]

Po skończonym ćwiczeniu przedstawiają wyniki swoich obserwacji:

- jeżeli podejmujemy kilka niezależnych decyzji częściowych, które dotyczą jednego całościowego wyboru, to liczby decyzji mnożymy, jeśli natomiast dokonujemy wykluczających się wyborów, to liczby wyborów dodajemy.

Na podstawie wcześniej przygotowanych i omówionych informacji, uczniowie, pracując w parach, rozwiązują zadania.

Polecenie 1

Ile jest możliwości ułożenia planu lekcji na jeden dzień, jeśli w tym dniu ma być po jednej lekcji polskiego, matematyki, historii, biologii, informatyki i języka angielskiego?

Polecenie 2

Na ile sposobów można ułożyć czterocyfrowy kod, utworzony jedynie za pomocą cyfr ze zbioru {2,4,6,7,8}, jeśli:

a) cyfry mogą się powtarzać,
b) każda cyfra może pojawić się tylko raz.

Polecenie 3

W barze do wyboru jest 5 różnych zup, 7 rodzajów drugich dań i 4 rodzaje napojów. Ile różnych zestawów obiadowych składających się z zupy, drugiego dania i napoju, można zamówić w tym barze?

Nauczyciel ocenia pracę uczniów, wyjaśnia wątpliwości.

Polecenie dla chętnych:

Ile jest dodatnich dzielników całkowitych liczby 132300?

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wiadomości do zapamiętania.

- Reguła dodawania

Liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia, które polega na wykonaniu jednej z n czynności, z których pierwsza może zakończyć się na jeden z kIndeks dolny 1₁ sposobów, druga – na jeden z kIndeks dolny 2₂ sposobów, trzecia – na jeden z kIndeks dolny 3₃ sposobów i tak dalej do n - tej czynności, która może zakończyć się na jeden z kIndeks dolny n_n sposobów, jest równa kIndeks dolny 1₁ + kIndeks dolny 2₂ + kIndeks dolny 3₃+…+ kIndeks dolny n_n.

- Reguła mnożenia

Liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia, które polega na wykonaniu po kolei n czynności, z których pierwsza może zakończyć się na jeden z kIndeks dolny 1₁ sposobów, druga – na jeden z kIndeks dolny 2₂ sposobów, trzecia – na jeden z kIndeks dolny 3₃ sposobów i tak dalej do n - tej czynności, która może zakończyć się na jeden z kIndeks dolny n_n sposobów, jest równa kIndeks dolny 1₁· kIndeks dolny 2₂· kIndeks dolny 3₃·…· kIndeks dolny n_n.