Animacja

Polecenie 1

Zapoznaj się z metodą wyprowadzenia wzorów redukcyjnych dla kątów $\frac{3 π}{2} - α$ zaprezentowaną w animacji. Wykorzystaj wyprowadzone wzory w zadaniach. Swoje rozwiązania porównaj z odpowiedziami.

RQsyKMdDGXKsT

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DFDQ2cY2X

Film nawiązujący do treści lekcji dotyczący wzorów redukcyjnych dla kątów 3 pi drugich minus alfa.

Polecenie 2

Wykorzystując wzory redukcyjne dla kątów $\frac{3 π}{2} - α$ , oblicz wartość wyrażenia:

$\frac{\sin \frac{7 π}{6} - 4 \cos^{2} \frac{4 π}{3}}{- 2 {tg}^{2} \frac{5 π}{4}}$ .

Mamy: $\sin \frac{7 π}{6} = \sin (\frac{9 π - 2 π}{6}) = \sin (\frac{3 π}{2} - \frac{2 π}{6}) = - \cos \frac{π}{3} = - \frac{1}{2}$

$\cos \frac{4 π}{3} = \cos \frac{8 π}{6} = \cos (\frac{9 π - π}{6}) = \cos (\frac{3 π}{2} - \frac{π}{6}) = - \sin \frac{π}{6} = - \frac{1}{2}$

$tg \frac{5 π}{4} = tg (\frac{6 π - π}{4}) = tg (\frac{3 π}{2} - \frac{π}{4}) = ctg \frac{π}{4} = 1$

Zatem: $\frac{\sin \frac{7 π}{6} - 4 \cos^{2} \frac{4 π}{3}}{- 2 {tg}^{2} \frac{5 π}{4}} = \frac{- \frac{1}{2} - 4 {(- \frac{1}{2})}^{2}}{- 2 \cdot 1^{2}} = \frac{- \frac{1}{2} - 1}{- 2} = \frac{- \frac{3}{2}}{- 2} = \frac{3}{4}$

Odp.: Wartość wyrażenia wynosi $\frac{3}{4}$ .

Polecenie 3

Sprawdź, czy prawdziwa jest równość:

$(\frac{- 1}{\cos (\frac{3 π}{2} - α)} + tg (\frac{3 π}{2} - α)) (1 + \sin (\frac{3 π}{2} - α)) = \sin α$ .

Przekształcamy lewą stronę równości tak długo, aż otrzymamy prawą stronę. Wykorzystamy związki:

$\frac{1}{tg α} = \frac{\cos α}{\sin α}$ i $1 - \cos^{2} α = \sin^{2} α$

oraz wzór skróconego mnożenia: $((a + b) \cdot a - b) = a^{2} - b^{2}$ .

$L = (\frac{- 1}{\cos (\frac{3 π}{2} - α)} + tg (\frac{3 π}{2} - α)) (1 + \sin (\frac{3 π}{2} - α)) =$

$= (\frac{- 1}{- \sin α} + \frac{1}{tg α}) (1 - \cos α) = (\frac{1}{\sin α} + \frac{\cos α}{\sin α}) (1 - \cos α) =$

$= \frac{1 + \cos α}{\sin α} (1 - \cos α) = \frac{(1 + \cos α) (1 - \cos α)}{\sin α} = \frac{1^{2} - \cos^{2} α}{\sin α} = \frac{\sin^{2} α}{\sin α} = \sin α = P$

Ponieważ przekształcając lewą stronę równości, doprowadziliśmy do strony prawej, więc równość jest prawdziwa.

Przeczytaj

Sprawdź się